Теорема Вієта пов'язує корені квадратного рівняння з його коефіцієнтами: для зведеного рівняння \(x^2 + px + q = 0\) сума коренів дорівнює \(-p\), а добуток дорівнює \(q\). Це дозволяє знаходити корені усно — підбором, без дискримінанта. На цій сторінці — точні формули для зведеного рівняння та для загального вигляду, обернена теорема Вієта, алгоритм підбору коренів, розібрані приклади та інтерактивний тренажер.
Що таке теорема Вієта
Теорема Вієта — це правило, яке пов'язує корені квадратного рівняння з його коефіцієнтами. Формулюється вона так: якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені зведеного квадратного рівняння \(x^2 + px + q = 0\), то
Словами: сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Знак мінус у сумі — найважливіше місце всієї теми: пишуть саме \(-p\), а не \(p\).
Для рівняння загального вигляду \(ax^2 + bx + c = 0\) (де \(a \neq 0\)) формули отримуються діленням на \(a\):
Теорема працює тільки тоді, коли дійсні корені існують, тобто при \(D \ge 0\). Якщо дискримінант від'ємний, підбирати нічого: дійсних чисел з такою сумою і таким добутком не існує.
Зведене рівняння та загальний вигляд: де потрібно ділити на a
Зведеним називають квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при \(x^2\) дорівнює одиниці: \(x^2 + px + q = 0\). Саме для нього теорема Вієта звучить найкоротше, тому підбір коренів завжди починають зі зведення.
Якщо \(a \neq 1\), рівняння спочатку ділять на \(a\) почленно. Наприклад, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) після ділення на \(3\) перетворюється на \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), тобто \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Звідси \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) і \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ту ж думку можна записати одразу для загального вигляду, не зводячи рівняння: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Помилка, яку роблять найчастіше, — застосувати «короткі» формули \(-p\) і \(q\) до незведеного рівняння і отримати суму \(10\) замість \(\frac{10}{3}\).
Обернена теорема Вієта
У теореми Вієта є обернена, і саме вона дозволяє розв'язувати рівняння підбором. Звучить вона так: якщо числа \(m\) і \(n\) такі, що
то \(m\) і \(n\) — корені рівняння \(x^2 + px + q = 0\).
Різниця принципова. Пряма теорема йде від коренів до коефіцієнтів: корені вже відомі, ми отримуємо зв'язки між ними. Обернена йде від коефіцієнтів до коренів: ми вгадали пару чисел з потрібною сумою і потрібним добутком — і маємо повне право назвати їх коренями, нічого більше доводити не потрібно.
Звідси ж випливає корисне правило: якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені, то многочлен розкладається на множники \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Наприклад, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Підбір коренів за теоремою Вієта: алгоритм
Підбір коренів — головне практичне застосування теореми. Працює він швидше за дискримінант, коли корені цілі, і займає п'ять кроків.
Знаки коренів за коефіцієнтами p і q
Ще до підбору можна зрозуміти, які знаки матимуть корені, — достатньо подивитися на знаки \(p\) і \(q\). Це сильно скорочує перебір: одразу видно, шукати пару з двох додатних чисел, двох від'ємних чи чисел різних знаків.
| p і q | Корені | Приклад |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | обидва > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | обидва < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | різних знаків | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 і −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Теорема Вієта чи дискримінант: що вибрати
Формула коренів через дискримінант \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) працює завжди, але потребує обчислень. Теорема Вієта працює миттєво, але тільки якщо корені вгадуються — зазвичай це невеликі цілі числа.
Практичне правило таке:
- рівняння зведене, а \(q\) розкладається на пару невеликих дільників → спробуй підбір за Вієта, відповідь виходить усно;
- коефіцієнти великі або дробові, корені не вгадуються за 10–15 секунд → рахуй дискримінант;
- потрібна тільки кількість коренів або знаки коренів, а самі корені не потрібні → вистачить \(D\) і таблиці знаків вище.
Корисно і поєднання: порахував дискримінант і знайшов корені — перевір відповідь за Вієта. Сума має дати \(-p\), добуток \(q\). Така перевірка займає пару секунд і ловить майже будь-яку арифметичну помилку.
Приклади розв'язання за теоремою Вієта
Приклад 1. Підбір коренів: обидва корені додатні
Розв'язати \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Крок 1. Рівняння зведене: \(p = -9\), \(q = 20\).
Крок 2. Перевіряємо дискримінант: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — два корені є.
Крок 3. Записуємо зв'язки: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Крок 4. Перебираємо розклади числа 20: \(1\cdot 20\) (сума 21), \(2\cdot 10\) (сума 12), \(4\cdot 5\) (сума 9) — підходить остання пара. Обидва множники додатні, бо \(q > 0\), а \(p < 0\).
Крок 5. Перевірка підстановкою. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Приклад 2. Корені різних знаків
Розв'язати \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Крок 1. Рівняння зведене: \(p = 3\), \(q = -28\).
Крок 2. \(q < 0\), отже корені різних знаків і дискримінант завчасно додатний: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Крок 3. Зв'язки: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Крок 4. Розклади 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Потрібна різниця 3 — підходить пара 4 і 7. Оскільки сума від'ємна, більший за модулем корінь беремо зі знаком мінус: \(4\) і \(-7\).
Крок 5. Перевірка. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Приклад 3. Рівняння загального вигляду (a ≠ 1)
Розв'язати \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Крок 1. Коефіцієнт \(a = 3\), тому «короткі» формули \(-p\) і \(q\) застосовувати не можна. Використовуємо загальний вигляд: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Крок 2. Добуток дорівнює 1 — отже корені взаємно обернені: якщо один дорівнює \(t\), другий дорівнює \(\tfrac{1}{t}\). Сума \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) підказує \(t = 3\), адже \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Крок 3. Перевірка підстановкою. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Приклад 4. Скласти рівняння за його коренями
Завдання. Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють \(-4\) і \(6\).
Крок 1. Рахуємо суму та добуток: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Крок 2. За оберненою теоремою Вієта коефіцієнти дорівнюють \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) і \(q = x_1 x_2 = -24\). Тут і ховається головна пастка: \(p\) — це сума з протилежним знаком.
Крок 3. Записуємо рівняння: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Крок 4. Перевірка підстановкою. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Відповідь: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Той самий результат дає розклад \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Приклад 5. Перевірка чужої відповіді за теоремою Вієта
Завдання. Учень розв'язав рівняння \(x^2 + 5x + 6 = 0\) і записав відповідь: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Перевірити, чи не помилився він.
Крок 1. За Вієтом має бути \(x_1 + x_2 = -p = -5\) і \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Крок 2. У запропонованої відповіді добуток збігається (\(2\cdot 3 = 6\)), а сума — ні: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Отже, відповідь невірна: загублено знак.
Крок 3. Шукаємо правильну пару: потрібні числа з добутком \(6\) і сумою \(-5\) — це \(-2\) і \(-3\) (обидва від'ємні, бо \(q > 0\) і \(p > 0\)).
Крок 4. Перевірка підстановкою. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Відповідь: правильні корені — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Часті помилки при роботі з теоремою Вієта
-
Гублять мінус у сумі: пишуть $x_1 + x_2 = p$ замість $x_1 + x_2 = -p$.
Мінус стоїть тільки біля суми, добуток береться з тим самим знаком: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Перевір на простому рівнянні \(x^2 - 5x + 6 = 0\): тут \(p = -5\), сума коренів дорівнює \(5\), і корені дійсно 2 і 3.
-
Застосовують формули $-p$ і $q$ до незведеного рівняння: для $2x^2 - 9x + 4 = 0$ кажуть «сума 9, добуток 4».
Поки \(a \neq 1\), працюють формули загального вигляду: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Корені тут 4 і \(\tfrac{1}{2}\), а не 4 і 1. Або спочатку поділи все рівняння на \(a\).
-
Підбирають корені, не перевіривши дискримінант: у $x^2 + x + 1 = 0$ намагаються знайти пару чисел із сумою $-1$ і добутком $1$.
Спочатку переконайся, що корені є: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), дійсних коренів немає, підбір неможливий. Теорема Вієта працює тільки при \(D \ge 0\).
-
Підбирають пару тільки за добутком, не перевіряючи суму: для $x^2 - 8x + 12 = 0$ беруть 3 і 4, бо їх добуток дорівнює 12.
Перевіряти треба обидва зв'язки одразу. Для \(x^2 - 8x + 12 = 0\) добуток 12 дають пари (1; 12), (2; 6), (3; 4), а суму 8 — тільки пара 2 і 6. Перевірка: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) і \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Складаючи рівняння за коренями, беруть $p$ рівним сумі: для коренів 2 і 5 пишуть $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Коефіцієнт \(p\) дорівнює сумі з протилежним знаком: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), тобто \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Підстановка підтверджує: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Вважають, що теорема Вієта правильна тільки для цілих коренів, і не застосовують її для перевірки відповіді.
Зв'язки \(x_1 + x_2 = -p\) і \(x_1 x_2 = q\) виконуються при будь-яких дійсних коренях — цілих, дробових та ірраціональних. Просто усний підбір зручний для цілих, а для інших теорема залишається швидким способом перевірити знайдений дискримінантом відповідь.
Запитання та відповіді
Як звучить теорема Вієта простими словами?
Якщо у зведеного квадратного рівняння \(x^2 + px + q = 0\) є корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток дорівнює вільному члену: \(x_1 + x_2 = -p\) і \(x_1 x_2 = q\).
Чому дорівнюють сума та добуток коренів рівняння $ax^2 + bx + c = 0$?
Для рівняння загального вигляду сума коренів дорівнює \(-\dfrac{b}{a}\), а добуток \(\dfrac{c}{a}\). Ці формули отримуються зі зведеного випадку діленням усього рівняння на \(a\).
Чим обернена теорема Вієта відрізняється від прямої?
Пряма теорема йде від коренів до коефіцієнтів: знаючи корені, ми отримуємо суму \(-p\) і добуток \(q\). Обернена йде навпаки: якщо пара чисел дає потрібну суму і потрібний добуток, то ці числа і є коренями рівняння. Саме обернена теорема дозволяє розв'язувати рівняння підбором.
Як підібрати корені за теоремою Вієта?
Зведіть рівняння до вигляду \(x^2 + px + q = 0\), переконайтеся, що \(D \ge 0\), випишіть \(x_1 + x_2 = -p\) і \(x_1 x_2 = q\), переберіть розклади числа \(q\) на пари множників і виберіть ту пару, у якої сума дорівнює \(-p\). Наприклад, для \(x^2 + 6x + 8 = 0\) потрібні числа з добутком 8 і сумою \(-6\) — це \(-2\) і \(-4\).
Чи працює теорема Вієта, якщо коефіцієнт при $x^2$ не дорівнює одиниці?
Так, але у формі загального вигляду: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Короткі формули \(-p\) і \(q\) вірні тільки для зведеного рівняння, тому при \(a \neq 1\) рівняння спочатку ділять на \(a\).
Що робити, якщо корені за теоремою Вієта не підбираються?
Значить, корені не цілі або їх зовсім немає. Порахуйте дискримінант: при \(D < 0\) дійсних коренів немає, а при \(D \ge 0\) знайдіть корені за формулою \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) і вже потім перевірте відповідь за теоремою Вієта.
Як визначити знаки коренів, не розв'язуючи рівняння?
За знаками \(p\) і \(q\) при \(D \ge 0\): якщо \(q > 0\) і \(p < 0\) — обидва корені додатні; якщо \(q > 0\) і \(p > 0\) — обидва від'ємні; якщо \(q < 0\) — корені різних знаків; якщо \(q = 0\) — один із коренів дорівнює нулю.
В якому класі проходять теорему Вієта?
У 8 класі на уроках алгебри, одразу після квадратних рівнянь та дискримінанта. Далі її використовують при розкладанні квадратного тричлена на множники \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), при дослідженні коренів з параметром та у завданнях ЗНО і ДПА.
