Нерівність — це два вирази, з'єднані знаком \(<\), \(>\), \(\le\) або \(\ge\). Розв'язати нерівність — означає знайти всі значення змінної, при яких вона перетворюється на вірну числову нерівність. Відповіддю буде не одне число, а ціла множина: проміжок на числовій осі або об'єднання проміжків. На цій сторінці зібрано базу, спільну для всіх видів нерівностей: як читати знаки, які перетворення дозволені, чому знак перевертається при діленні на від'ємне число і як правильно записати відповідь. А далі — огляд усіх видів нерівностей з посиланнями на докладні розбори та тренажер для перевірки себе.
Що означає розв'язати нерівність
Розв'язання нерівності — це будь-яке значення змінної, яке перетворює нерівність на вірну числову. А розв'язати нерівність — означає знайти всі такі значення і записати їх множиною.
Порівняй з рівнянням. У рівняння \(2x = 8\) відповідь — одне число \(x = 4\). У нерівності \(2x < 8\) відповідь — безліч чисел: підійдуть і \(3\), і \(0\), і \(-100\), і \(3{,}999\). Записати їх по одному неможливо, тому відповідь оформлюють проміжком: \(x < 4\), тобто \((-\infty;\ 4)\).
Перевірити, чи є конкретне число розв'язком, легко: підстав його замість змінної і подивись, чи вийшла вірна нерівність.
- \(x = 1\) у нерівності \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — вірно, отже \(1\) — розв'язок.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — невірно, отже \(5\) розв'язком не є.
Дві нерівності називають рівносильними, якщо в них збігаються множини розв'язків. Увесь розв'язок нерівності — це ланцюжок переходів до простішої рівносильної нерівності, поки зліва не залишиться самотній \(x\).
Знаки нерівностей: строгі та нестрогі
Знаків чотири, і від того, який з них стоїть, залежить і відповідь, і оформлення. Строгі знаки \(<\) і \(>\) саму граничну точку у відповідь не беруть, нестрогі \(\le\) і \(\ge\) — беруть.
Ця відмінність тягнеться через увесь розв'язок: строгий знак дає виколоту (порожню) точку на осі та круглу дужку у відповіді, нестрогий — зафарбовану точку та квадратну дужку.
| Знак | Як читається і що дає у відповіді |
|---|---|
| < | меншестрогийточка виколота, дужка кругла |
| > | більшестрогийточка виколота, дужка кругла |
| ≤ | менше або дорівнюєнестрогийточка зафарбована, дужка квадратна |
| ≥ | більше або дорівнюєнестрогийточка зафарбована, дужка квадратна |
Рівносильні перетворення: що можна робити з нерівністю
З нерівністю дозволено робити майже те саме, що і з рівнянням, але з однією важливою поправкою. Додавати і віднімати можна вільно: якщо до обох частин додати або з обох частин відняти одне й те саме, множина розв'язків не зміниться. Саме так доданки «переносять» через знак, змінюючи їм плюс на мінус.
А от множення і ділення залежать від знака множника. При множенні або діленні обох частин на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний: \(<\) стає \(>\), \(\le\) стає \(\ge\) і навпаки. Причина видна на числах: з вірного \(3 < 5\) після множення на \(-1\) виходить \(-3\) і \(-5\), а \(-3 > -5\) — порядок чисел перевернувся.
Те саме відбувається, якщо поміняти місцями ліву і праву частини: з \(7 < y\) виходить \(y > 7\).
| Що робимо з обома частинами | Що зі знаком |
|---|---|
| Додаємо або віднімаємо однакове число чи вираз | знак зберігається |
| Множимо або ділимо на додатне число | знак зберігається |
| Множимо або ділимо на від'ємне число | знак змінюється |
| Міняємо ліву і праву частини місцями | знак змінюється |
| Множимо або ділимо на вираз зі змінною (x − 2) | так не можна |
Як записати відповідь: числова вісь та проміжки
Коли змінна залишилася одна, розв'язок майже готовий — залишається оформити його. Найзручніше спочатку позначити відповідь на числовій осі, а вже з осі рахувати проміжок.
Правил запису всього три, і вони не змінюються від виду нерівності:
- кругла дужка — точка у відповідь не входить (строгий знак, виколота точка);
- квадратна дужка — точка входить (нестрогий знак, зафарбована точка);
- у нескінченності дужка завжди кругла: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — запису вигляду \([-\infty;\ 4]\) не існує, нескінченність не число і досягнута бути не може.
Якщо розв'язком виявилися два шматки осі, їх з'єднують знаком об'єднання \(\cup\): наприклад, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Види нерівностей та способи їх розв'язання
Нерівності розрізняють за тим, як у них входить змінна — чи стоїть вона у першому степені, під квадратом, у знаменнику чи під модулем. Саме це і визначає спосіб розв'язання, тому перший крок будь-якого розв'язання — дізнатися вид нерівності. Загальна логіка далі одна: привести нерівність до вигляду «вираз порівнюється з нулем», а потім застосувати прийом, що підходить цьому виду. Зведення видів і методів — у таблиці нижче.
Окремо варто запам'ятати, як розкривається модуль, — таблиця цього не вміщує. При \(a > 0\) нерівність \(|f(x)| < a\) рівносильна подвійній нерівності \(-a < f(x) < a\) (отримується система), а \(|f(x)| > a\) — сукупності \(f(x) < -a\) або \(f(x) > a\) (отримується об'єднання проміжків). Якщо ж \(a < 0\), думати взагалі ні про що: модуль невід'ємний, тому \(|f(x)| < a\) розв'язків не має, а \(|f(x)| > a\) вірна при всіх допустимих \(x\).
Ірраціональні (з коренем) та показникові нерівності розбирають у старшій школі: до звичайних перетворень там додається робота з областю допустимих значень.
Докладні розбори окремих видів: лінійні нерівності, раціональні нерівності та метод інтервалів, а корені квадратного тричлена зручно підбирати за теоремою Вієта.
| Вид | Як виглядає і чим розв'язують |
|---|---|
| Лінійне | ax + b > 0переносимо доданки і ділимо на коефіцієнт при x |
| Квадратне | ax2 + bx + c > 0шукаємо корені тричлена і дивимося на параболу |
| Дробово-раціональне | P(x) / Q(x) ≥ 0метод інтервалів, нулі знаменника виколюємо |
| З модулем | | f(x) | < aрозкриваємо модуль за означенням |
| Система | дві нерівності у фігурних дужкахрозв'язуємо кожну, беремо перетин |
Системи та сукупності нерівностей
Часто одна нерівність розпадається на дві, і тоді важливо не переплутати, що робити з отриманими множинами.
Система (фігурна дужка) означає «і те, і інше одночасно». Розв'язуємо кожну нерівність окремо, позначаємо обидві відповіді на одній осі і беремо перетин — спільну частину. Якщо спільної частини немає, у системи розв'язків немає.
Сукупність (квадратна дужка) означає «або одне, або інше». Тут беруть об'єднання — усе, що зафарбовано хоча б однією з відповідей. Сукупність з'являється, наприклад, при розкритті модуля зі знаком «більше».
Окремо стоїть подвійна нерівність вигляду \(-3 < 2x + 1 \le 7\): це коротка запис системи. Перетворення виконують одразу над усіма трьома частинами — віднімають, ділять, і при діленні на від'ємне число перевертають обидва знаки разом.
Приклади розв'язання нерівностей
Приклад 1. Перевірити, чи є число розв'язком
Завдання. Чи є \(x = -1\) розв'язком нерівності \(3x + 5 \ge 1\)?
Крок 1. Підставляємо \(-1\) замість \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Крок 2. Порівнюємо з правою частиною: \(2 \ge 1\) — вірна числова нерівність.
Відповідь. Так, \(-1\) — один із розв'язків. Але розв'язати нерівність — це знайти всі такі числа, а не одне: тут відповідь \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Приклад 2. Лінійна нерівність зі зміною знака
Завдання. Розв'язати \(7 - 3x < 1\).
Крок 1. Переносимо \(7\) вправо (тобто віднімаємо \(7\) від обох частин — знак нерівності не змінюється): \(-3x < 1 - 7\), отже \(-3x < -6\).
Крок 2. Ділимо обидві частини на \(-3\). Дільник від'ємний, тому знак перевертається: \(x > 2\).
Крок 3. Позначаємо на осі: виколота точка в \(2\), зафарбовуємо все вправо.
Відповідь. \(x > 2\), тобто \(x \in (2;\ +\infty)\).
Приклад 3. Квадратна нерівність
Завдання. Розв'язати \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Крок 1. Знаходимо корені тричлена: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), звідки \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Крок 2. Коефіцієнт при \(x^2\) додатний, отже вітки параболи спрямовані вгору: між коренями тричлен від'ємний, а поза коренями — додатний.
Крок 3. Нам потрібен знак \(\le 0\), тобто від'ємні значення та самі корені (знак нестрогий) — беремо відрізок між коренями разом із кінцями.
Відповідь. \(x \in [-1;\ 5]\).
Приклад 4. Нерівність з модулем
Завдання. Розв'язати \(|x + 1| > 4\).
Крок 1. Модуль більший за додатне число — отже вираз під модулем або більший за \(4\), або менший за \(-4\). Отримуємо сукупність: \(x + 1 > 4\) або \(x + 1 < -4\).
Крок 2. Розв'язуємо кожну: з першої \(x > 3\), з другої \(x < -5\).
Крок 3. Це сукупність, тому беремо об'єднання проміжків, а не перетин.
Відповідь. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Приклад 5. Система нерівностей
Завдання. Розв'язати систему \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Крок 1. Перша нерівність: \(2x > -4\), ділимо на додатне \(2\) — знак зберігається, \(x > -2\).
Крок 2. Друга нерівність: \(x \le 4\).
Крок 3. Позначаємо обидві відповіді на одній осі і беремо перетин — ділянку, зафарбовану двічі. Ліва межа не входить (строгий знак), права входить (нестрогий).
Відповідь. \(x \in (-2;\ 4]\).
Часті помилки при розв'язанні нерівностей
-
Розділили на від'ємне число і залишили попередній знак.
При множенні та діленні обох частин на від'ємне число знак обов'язково змінюється на протилежний. З \(-5x \ge 10\) виходить \(x \le -2\), а не \(x \ge -2\). Перевірити себе можна підстановкою: \(x = -3\) дає \(15 \ge 10\) — вірно, отже правильна відповідь дійсно «менше або дорівнює».
-
Пишуть квадратну дужку біля нескінченності: $[-\infty;\ 7]$.
Нескінченність — не число, її не можна «досягти», тому дужка біля \(\infty\) завжди кругла: \((-\infty;\ 7]\). Квадратна дужка ставиться тільки біля скінченної межі, яка входить у відповідь.
-
Плутають тип дужки та тип точки: строгий знак записують квадратною дужкою.
Строгий знак (\(<\), \(>\)) — межа не входить: виколота точка і кругла дужка. Нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — межа входить: зафарбована точка і квадратна дужка. Перевірка проста: підстав саму граничну точку у вихідну нерівність і подивись, чи вірно вийшло.
-
Множать обидві частини на вираз зі змінною, щоб «позбутися дробу».
Знак такого виразу невідомий, тому незрозуміло, перевертати знак нерівності чи ні — перетворення нерівносильне. Замість цього переносять усе в одну частину, зводять до одного дробу і застосовують метод інтервалів.
-
У відповідь записують одне число: «$x = 3$» замість множини.
Розв'язок нерівності — це множина значень. Запиши його проміжком: \(x > 3\), тобто \((3;\ +\infty)\). Одне число може бути лише елементом відповіді, але не самою відповіддю.
-
У системи беруть об'єднання, а у сукупності — перетин.
У системи (фігурна дужка, «і») — перетин, спільна частина проміжків. У сукупності (квадратна дужка, «або») — об'єднання через знак \(\cup\). І ще: запис вигляду «\(-2 < x > 5\)» не має сенсу — таку відповідь оформлюють як об'єднання двох проміжків.
Запитання та відповіді
Що означає розв'язати нерівність?
Розв'язати нерівність — означає знайти всі значення змінної, при яких вона перетворюється на вірну числову нерівність, і записати їх множиною. Відповіддю буде проміжок або об'єднання проміжків, а не окреме число.
Які бувають види нерівностей?
За виглядом виразу зі змінною розрізняють лінійні (\(ax + b > 0\)), квадратні (\(ax^2 + bx + c > 0\)), дробово-раціональні (змінна у знаменнику), з модулем, ірраціональні та показникові. Окремо виділяють системи та сукупності нерівностей. За знаком нерівності ділять на строгі (\(<\), \(>\)) та нестрогі (\(\le\), \(\ge\)).
Коли знак нерівності змінюється на протилежний?
У двох випадках: коли обидві частини множать або ділять на від'ємне число і коли ліву та праву частини міняють місцями. При додаванні, відніманні та діленні на додатне число знак залишається попереднім.
Коли дужка кругла, а коли квадратна?
Кругла — якщо гранична точка у відповідь не входить (строгий знак, виколота точка на осі). Квадратна — якщо входить (нестрогий знак, зафарбована точка). Біля \(+\infty\) та \(-\infty\) дужка кругла завжди.
Чим розв'язок нерівності відрізняється від розв'язку рівняння?
Перетворення майже ті ж, але у рівняння відповідь зазвичай складається з окремих чисел, а у нерівності — з цілих проміжків. Крім того, у нерівності є правило зміни знака при множенні та діленні на від'ємне число, якого в рівняннях немає.
Яка нерівність вважається дробовою і де її розбирають?
Дробовою (дробово-раціональною) називають нерівність, у якій змінна стоїть у знаменнику, — наприклад \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); через знаменник у неї з'являється область допустимих значень, і звичайним діленням її не розв'язати. Покроковий алгоритм із прикладами — в окремому матеріалі раціональні нерівності та метод інтервалів.
В якому класі вивчають розв'язання нерівностей?
Лінійні нерівності та числові проміжки проходять у 8 класі (у Мерзляка — у 9), квадратні та дробово-раціональні нерівності з методом інтервалів — у 8–9 класах, а ірраціональні та показникові — у старшій школі.
