Середнє арифметичне, медіана, мода та розмах — це чотири способи опису набору чисел. Три з них — середнє арифметичне, медіана та мода — є мірами центральної тенденції: вони показують, як виглядає «типове» значення. Четверта, розмах, вимірює, наскільки розкидані дані. На цій сторінці ви знайдете чітке визначення кожного поняття, інструкції з обчислення (включаючи випадок парної кількості значень для медіани), поради щодо використання, розібрані приклади, типові помилки та інтерактивний тест для практики.
Що таке середнє арифметичне, медіана, мода та розмах?
Кожна міра відповідає на окреме запитання про ваші дані:
- Середнє арифметичне — це середнє значення. Воно збалансовує всі значення в одне число.
- Медіана — це середнє значення, коли числа впорядковані.
- Мода — це значення, яке зустрічається найчастіше.
- Розмах — це розкид, від найменшого значення до найбільшого.
У таблиці нижче показано, що це таке і як це обчислити. Зауважте, що лише мода стосується частоти, а лише розмах описує розкид, а не центральне значення.
| Міра | Що це | Як обчислити |
|---|---|---|
| Середнє | Середнє значення | Додайте всі числа, потім поділіть на їхню кількість |
| Медіана | Середнє значення впорядкованого ряду | Впорядкуйте числа; оберіть середнє. Якщо середніх чисел два, знайдіть їхнє середнє арифметичне |
| Мода | Найчастіше значення | Знайдіть значення, що з'являється найчастіше. Може бути відсутня, одна або кілька |
| Розмах | Розкид даних | Відніміть найменше значення від найбільшого |
Як знайти середнє арифметичне, медіану та моду
Давайте обчислимо всі чотири показники для одного набору даних, щоб побачити, чим вони відрізняються. Візьмемо числа 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (сім значень).
Середнє арифметичне. Додамо їх: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Всього 7 значень, тому середнє арифметичне дорівнює 42 ÷ 7 = 6.
Медіана. Спочатку впорядкуємо: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Оскільки значень 7, середнім є 4-те число, тому медіана дорівнює 6. (Завжди впорядковуйте перед тим, як обирати середнє — це найпоширеніша помилка.)
Мода. Значення 8 з'являється тричі, частіше за будь-яке інше, тому мода дорівнює 8.
Розмах. Найбільше значення — 8, найменше — 3, тому розмах дорівнює 8 − 3 = 5.
Один набір даних, чотири різні відповіді — ось чому ми використовуємо чотири різні міри.
Коли використовувати кожну міру
Ці міри не конкурують — кожна з них найкраще підходить для певного типу запитань.
- Середнє арифметичне — це повсякденне «середнє», яке добре підходить, коли значення досить рівномірні, наприклад, середні оцінки за тести або щоденні температури. Його слабкість: одне дуже велике або дуже мале значення (викид) може сильно відхилити його від центру.
- Медіана — це середнє значення, тому викиди майже не впливають на неї. Ось чому ціни на житло та доходи зазвичай вказують як медіани — один особняк не спотворить типове значення.
- Мода — це єдина міра, яка працює для речей, які неможливо усереднити, наприклад, найпопулярніший розмір взуття або улюблений колір у класі. Набір даних може мати одну моду, кілька мод або взагалі не мати моди.
- Розмах зовсім не описує типове значення — він показує, наскільки розкидані дані. Малий розмах означає, що значення близькі одне до одного; великий розмах означає, що вони далеко одне від одного.
Розібрані приклади: покроково
Приклад 1. Усі чотири міри для одного набору даних
Набір даних: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
Крок 1 — Впорядкуйте числа. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
Крок 2 — Середнє арифметичне. Додамо їх: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Всього 7 значень, тому середнє арифметичне дорівнює 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
Крок 3 — Медіана. Серед 7 значень середнім є 4-те у впорядкованому списку: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Медіана дорівнює 6.
Крок 4 — Мода. Значення 3 з'являється тричі, частіше за будь-яке інше, тому мода дорівнює 3.
Крок 5 — Розмах. Найбільше мінус найменше: 10 − 3 = 7.
Відповідь: середнє арифметичне ≈ 5,57, медіана = 6, мода = 3, розмах = 7.
Приклад 2. Медіана для парної кількості значень
Набір даних: 12, 5, 8, 20 (чотири значення — парна кількість).
Крок 1 — Впорядкуйте. 5, 8, 12, 20.
Крок 2 — Знайдіть два середні значення. При парній кількості немає одного середнього числа. Тут два середні значення — 8 і 12.
Крок 3 — Знайдіть їхнє середнє арифметичне. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Медіана дорівнює 10 — хоча 10 не є одним із початкових чисел. Це нормально для медіани при парній кількості значень.
Приклад 3. Набір даних без моди
Набір даних: 2, 5, 9, 11, 14.
Кожне значення з'являється рівно один раз, тому жодне значення не повторюється. Цей набір даних не має моди — це правильна відповідь, а не помилка.
Натомість набір даних 4, 4, 7, 7, 9 має дві моди (4 і 7), оскільки обидва з'являються найчастіше. Набір з двома модами називається бімодальним.
Типові помилки, яких слід уникати
-
Пошук медіани без попереднього впорядкування чисел.
Медіана — це середнє значення чисел впорядкованого ряду. Завжди впорядковуйте від найменшого до найбільшого перед тим, як обирати середнє. У наборі 7, 2, 9 медіана дорівнює 7 (впорядковано: 2, 7, 9), а не 9.
-
Для парної кількості значень — вибір лише одного з двох середніх чисел.
При парній кількості немає одного середнього. Візьміть два середні значення і знайдіть їхнє середнє арифметичне. Для 5, 8, 12, 20 медіана дорівнює (8 + 12) ÷ 2 = 10, а не 8 чи 12.
-
Припущення, що кожен набір даних повинен мати рівно одну моду.
Набір даних може не мати моди (якщо нічого не повторюється) або мати кілька мод (якщо два або більше значень мають однакову максимальну частоту). Обидва варіанти є правильними відповідями — не намагайтеся штучно знайти одну моду.
-
Плутанина між середнім арифметичним та медіаною, сприйняття їх як одного й того самого.
Середнє арифметичне — це середнє значення (додати і поділити); медіана — це середнє значення впорядкованого ряду. Вони часто відрізняються, особливо при наявності викидів. Для 2, 3, 4, 100 середнє арифметичне дорівнює 27,25, а медіана — лише 3,5.
-
Плутанина розмаху з модою або забування про віднімання.
Розмах — це міра розкиду: найбільше значення мінус найменше значення. Це одне число, що описує розкид, а не найчастіше значення. Для 4, 9, 15 розмах дорівнює 15 − 4 = 11.
Часті запитання
Що таке середнє арифметичне, медіана, мода та розмах?
Середнє арифметичне — це середнє значення (сума всіх значень, поділена на їхню кількість). Медіана — це середнє значення впорядкованого ряду. Мода — це значення, яке з'являється найчастіше. Розмах — це найбільше значення мінус найменше. Середнє арифметичне, медіана та мода описують типове значення; розмах описує, наскільки розкидані дані.
Як знайти середнє арифметичне набору даних?
Додайте всі числа, щоб отримати суму, потім поділіть суму на кількість чисел. Наприклад, середнє арифметичне 4, 6, 8, 2 дорівнює (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Як знайти медіану, якщо кількість значень парна?
Впорядкуйте числа, потім візьміть два значення посередині і знайдіть їхнє середнє арифметичне (додайте їх і поділіть на 2). Для 5, 8, 12, 20 два середні значення — 8 і 12, тому медіана дорівнює (8 + 12) ÷ 2 = 10. Результат може бути числом, якого немає в початковому наборі.
У чому різниця між середнім арифметичним та медіаною?
Середнє арифметичне — це середнє всіх значень, тому кожне число впливає на нього. Медіана — це лише середнє значення впорядкованого ряду, тому на неї майже не впливають дуже великі або дуже малі числа (викиди). Коли в наборі даних є викиди, медіана часто дає більш типове значення, ніж середнє арифметичне.
Чи може набір даних мати більше однієї моди або не мати моди взагалі?
Так. Якщо жодне значення не повторюється, набір даних не має моди. Якщо два або більше значень мають однакову максимальну частоту, набір має кілька мод — два моди називаються бімодальним. Відсутність моди або наявність кількох мод є цілком нормальним явищем.
Що таке міри центральної тенденції?
Міри центральної тенденції — це числа, що описують центр або типове значення набору даних. Три основні — це середнє арифметичне, медіана та мода. Розмах не є мірою центральної тенденції — він вимірює розкид.
