Квадратна формула розв'язує будь-яке квадратне рівняння вигляду \(ax^2 + bx + c = 0\) (де \(a \neq 0\)). Його корені визначаються за формулою \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). На цій сторінці ви дізнаєтеся, що означає кожна частина, як покроково використовувати формулу, як дискримінант підказує кількість очікуваних розв'язків, а також побачите детально розібрані приклади — і все це з інтерактивним тренажером для практики.
Що таке квадратна формула
Квадратне рівняння — це будь-яке рівняння, яке можна записати у стандартному вигляді \(ax^2 + bx + c = 0\), де \(a\), \(b\) та \(c\) — це числа, а \(a \neq 0\). Числа \(a\), \(b\) та \(c\) називаються коефіцієнтами: \(a\) — це коефіцієнт при \(x^2\), \(b\) — коефіцієнт при \(x\), а \(c\) — вільний член.
Квадратна формула дає розв'язки (корені) безпосередньо через ці три коефіцієнти — розкладання на множники не потрібне. Вона працює для будь-якого квадратного рівняння, навіть для тих, що не розкладаються на множники зручним способом.
Звідки вона береться (виведення): формула є результатом виділення повного квадрата у загальному рівнянні. Поділіть \(ax^2 + bx + c = 0\) на \(a\), перенесіть вільний член, додайте \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) до обох частин, щоб отримати повний квадрат, і добудьте квадратний корінь. Результатом є єдина формула нижче, справедлива для будь-яких \(a\), \(b\), \(c\).
Дискримінант: скільки коренів
Вираз під квадратним коренем, \(b^2 - 4ac\), називається дискримінантом (часто позначається як \(D\)). Вам не потрібно повністю обчислювати формулу, щоб дізнатися кількість розв'язків рівняння — знак дискримінанта підкаже це миттєво.
Оскільки неможливо добути квадратний корінь з від'ємного числа у множині дійсних чисел, знак \(D\) розділяє всі квадратні рівняння на три випадки: два корені, один повторюваний корінь або відсутність дійсних коренів. На графіку це відповідає тому, як парабола \(y = ax^2 + bx + c\) перетинає вісь x — двічі, один раз (у вершині) або взагалі не перетинає.
| Дискримінант D = b² − 4ac | Дійсні корені | Результат |
|---|---|---|
| D > 0 | Два різні дійсні корені | Парабола перетинає вісь x двічі. Використовуйте обидва знаки: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Один дійсний корінь (повторюваний) | Парабола торкається осі x у вершині. Знак ± зникає: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Немає дійсних коренів | Парабола ніколи не торкається осі x. Квадратний корінь з від'ємного числа не є дійсним. |
Як користуватися квадратною формулою: кроки
Квадратна формула завжди працює однаково. Виконуйте ці п'ять кроків по порядку, і вона вас не підведе — найскладніше полягає лише в тому, щоб правильно визначити коефіцієнти (разом з їхніми знаками).
Приклади квадратної формули (покроково)
Приклад 1. Два дійсні корені (D > 0)
Розв'яжіть \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Крок 1–2. Рівняння вже у стандартному вигляді, тому виписуємо коефіцієнти: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Крок 3. Дискримінант: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Крок 4. \(D = 25 > 0\), отже, є два різні дійсні корені.
Крок 5. Підставляємо: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Використовуючи знак плюс: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Використовуючи знак мінус: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Корені: \(x = 3\) та \(x = \tfrac{1}{2}\).
Приклад 2. Один повторюваний корінь (D = 0)
Розв'яжіть \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Крок 1–2. Рівняння вже у стандартному вигляді: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Крок 3. Дискримінант: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Крок 4. \(D = 0\), отже, є рівно один дійсний корінь (повторюваний). Член \(\pm\) зникає, оскільки \(\sqrt{0} = 0\).
Крок 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Корінь: \(x = 3\) (це квадратне рівняння є повним квадратом \((x-3)^2 = 0\)).
Приклад 3. Немає дійсних коренів (D < 0)
Розв'яжіть \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Крок 1–2. Стандартний вигляд: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Крок 3. Дискримінант: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Крок 4. \(D = -16 < 0\). Оскільки неможливо добути квадратний корінь з від'ємного числа у множині дійсних чисел, це рівняння не має дійсних коренів — його парабола ніколи не перетинає вісь x.
Крок 5. Подальші дії для знаходження дійсних розв'язків не потрібні. (Якщо ви знайомі з комплексними числами, корені дорівнюють \(x = -1 \pm 2i\), але для дійсних розв'язків ми зупиняємося тут.)
Поширені помилки при використанні квадратної формули
-
Неправильне визначення знака b, особливо коли b від'ємне.
Формула починається з −b. Якщо b = −7, то −b = +7 — два мінуси дають плюс. Записуйте підстановку повністю, наприклад −(−7), перед спрощенням.
-
Забування про ± і запис лише одного кореня.
Коли D > 0, знак ± дає два розв'язки: один з + і один з −. Завжди обчислюйте обидва (−b + √D)/(2a) та (−b − √D)/(2a), якщо тільки D не дорівнює 0.
-
Ділення на 2a лише частини чисельника.
Весь чисельник, −b ± √D, ділиться на 2a — а не тільки частина з √D. Записуйте це як один дріб: (−b ± √D) / (2a).
-
Неправильне обчислення дискримінанта, коли a або c від'ємні.
У формулі D = b² − 4ac, віднімання 4ac, коли a·c від'ємне, насправді призводить до додавання. Для 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, тому D = 4 + 12 = 16, а не 4 − 12.
-
Застосування формули до того, як рівняння зведено до стандартного вигляду.
Спочатку перенесіть усі члени в один бік, щоб рівняння виглядало як ax² + bx + c = 0. Наприклад, x² = 5x − 6 має стати x² − 5x + 6 = 0, перш ніж ви визначатимете a, b, c.
Часті запитання
Що таке квадратна формула?
Квадратна формула — це x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Вона дає розв'язки будь-якого квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 (де a ≠ 0) безпосередньо через коефіцієнти a, b та c.
Як покроково користуватися квадратною формулою?
Запишіть рівняння у стандартному вигляді ax² + bx + c = 0, визначте a, b та c з їхніми знаками, обчисліть дискримінант D = b² − 4ac, перевірте його знак, щоб дізнатися кількість коренів, а потім підставте значення у формулу x = (−b ± √D) / (2a) і спростіть обидва варіанти.
Що таке дискримінант і чому він важливий?
Дискримінант — це D = b² − 4ac, вираз під квадратним коренем. Його знак підказує кількість дійсних коренів без завершення обчислень: D > 0 дає два дійсні корені, D = 0 дає один повторюваний корінь, а D < 0 означає відсутність дійсних коренів.
Коли варто використовувати квадратну формулу замість розкладання на множники?
Розкладання на множники зручне, коли рівняння має прості цілі коефіцієнти. Квадратна формула працює для будь-якого квадратного рівняння, включаючи ті, що не розкладаються на множники або мають ірраціональні чи нецілі корені, тому це надійний метод, коли розкладання не є очевидним.
Звідки береться квадратна формула?
Вона виводиться шляхом виділення повного квадрата у загальному рівнянні ax² + bx + c = 0: ділимо на a, доповнюємо до повного квадрата, додаючи (b/2a)², переписуємо ліву частину як квадрат суми і добуваємо квадратний корінь з обох частин. Результатом є квадратна формула.
Чи може квадратна формула не дати розв'язку?
Якщо дискримінант від'ємний (D < 0), дійсних розв'язків немає, оскільки неможливо добути квадратний корінь з від'ємного числа у множині дійсних чисел. Рівняння все ще має два комплексні корені, але дійсних коренів немає — на графіку парабола просто ніколи не торкається осі x.
