Властивості степенів — це вісім правил, за якими степені множать, ділять, підносять до степеня та спрощують. На цій сторінці зібрано всі формули в одній таблиці: добуток і частка степенів з однаковою основою, степінь степеня, степінь добутку та частки, нульовий, від'ємний та дробовий показник. Кожна властивість розібрана з поясненням, чому вона працює, далі — покрокові приклади, розбір частих помилок зі знаками та інтерактивний тренажер, де можна одразу перевірити себе.
Що таке степінь: основа та показник
Степінь — це короткий запис множення однакових множників. Запис \(a^n\) означає, що число \(a\) множиться саме на себе \(n\) разів:
Тут \(a\) — основа степеня (те, що множимо), а \(n\) — показник степеня (скільки разів множимо). Наприклад, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): основа дорівнює 3, показник дорівнює 4.
Два записи, які варто запам'ятати одразу: \(a^1 = a\) (одна «копія» числа) та \(a^2\) — «квадрат», \(a^3\) — «куб». Усі правила нижче працюють саме з основами та показниками: одні властивості вимагають однакових основ, інші — однакових показників. Розрізняти ці два випадки важливіше, ніж пам'ятати формули напам'ять.
Усі властивості степенів: таблиця формул
Вісім основних властивостей степенів зручно тримати перед очима однією таблицею. Перші п'ять працюють для будь-якого показника, а останні три розширюють поняття степеня на нульовий, від'ємний та дробовий показник.
| Властивість | Формула |
|---|---|
| Добуток однакові основи — показники складаємо | am · an = am+n |
| Частка однакові основи — показники віднімаємо | am : an = am−n |
| Степінь степеня показники перемножуємо | (am)n = amn |
| Степінь добутку кожен множник — у степінь | (ab)n = anbn |
| Степінь частки чисельник і знаменник — у степінь | (a/b)n = an/bn |
| Нульовий показник будь-яке число, крім нуля, дає одиницю | a0 = 1 |
| Від'ємний показник перевертаємо у дріб | a−n = 1/an |
| Дробовий показник це корінь степеня n | am/n = ⁿ√(am) |
Множення та ділення степенів з однаковою основою
Це дві найчастіші дії зі степенями.
При множенні показники складаються, основа не змінюється:
Чому так: у першому множнику \(m\) однакових чисел, у другому — \(n\), всього їх \(m+n\). Наприклад, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
При діленні показники віднімаються (від показника діленого віднімаємо показник дільника):
Наприклад, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Важливо: при додаванні та відніманні степенів показники не складаються. Запис \(2^3 + 2^4\) ніяк не згорнути в один степінь: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), тоді як \(2^7 = 128\). Властивості працюють тільки для множення та ділення.
Основа при множенні теж не змінюється. \(2^3 \cdot 2^4\) — це \(2^7\), а не \(4^7\): складаємо показники, а основу переписуємо як є.
Степінь степеня, степінь добутку та степінь частки
Степінь степеня — показники перемножуються:
Наприклад, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Степінь добутку — у степінь підноситься кожен множник:
Наприклад, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Степінь частки — у степінь підносяться і чисельник, і знаменник:
Наприклад, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Останні дві формули часто використовують справа наліво — тоді вони дозволяють перемножувати степені з різними основами, але однаковим показником: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
А якщо основи різні і показники теж різні, вираз зазвичай приводять до однієї основи: помічають, що числа — степені одного й того ж числа. Наприклад, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), а добуток \(4^3 \cdot 8^2\) перетворюється на \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Нульовий та від'ємний показник степеня
Будь-яке число, крім нуля, у нульовому степені дорівнює одиниці:
Це не вигадка, а наслідок правила ділення: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), але та сама частка дорівнює \(216 : 216 = 1\). Отже, \(6^0 = 1\). Вираз \(0^0\) не визначений.
Від'ємний показник означає одиницю, поділену на степінь:
Наприклад, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), а \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Зручний наслідок: дріб у від'ємному степені перевертається, а показник стає додатним:
Мінус у показнику не робить число від'ємним. Запис \(2^{-3}\) — це додатний дріб \(\frac{1}{8}\), а не \(-8\). Знак показника відповідає за «перевертання», а не за знак результату.
Головне: усі вісім властивостей з таблиці продовжують працювати і для нульового, і для від'ємного показника — наприклад, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Дробовий показник степеня та корені
Дробовий показник — це інший спосіб записати корінь:
Знаменник дробу показує степінь кореня, чисельник — степінь підкореневого виразу. Приклади: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Обмеження: для парного знаменника \(n\) основа повинна бути невід'ємною (\(a \geqslant 0\)) — корінь парного степеня з від'ємного числа у шкільному курсі не витягується.
Навіщо це потрібно: з дробовими показниками працюють ті самі властивості, тому корені зручно перемножувати та ділити, перевівши їх у степені. Наприклад, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Степінь від'ємного числа: де губиться знак
Якщо основа від'ємна, знак результату залежить від парності показника:
- парний показник — результат додатний: \((-3)^2 = 9\);
- непарний показник — результат від'ємний: \((-3)^3 = -27\).
Особливо важливо розрізняти записи зі дужками та без дужок: \((-3)^2 = 9\), але \(-3^2 = -9\). У другому випадку у квадрат підноситься тільки трійка, а мінус залишається попереду. Це найчастіша втрата знака в контрольних.
Окремо корисно пам'ятати степені мінус одиниці: \((-1)^{100} = 1\), а \((-1)^{101} = -1\) — парний показник дає \(+1\), непарний дає \(-1\).
Порядок дій у виразах зі степенями
Коли у виразі є і степені, і звичайні дії, порядок такий: спочатку дужки, потім степені та корені, далі множення та ділення, і тільки в кінці додавання та віднімання.
Наприклад, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): спочатку підносимо до квадрата, і тільки потім множимо та додаємо.
Приклади: як застосовувати властивості степенів
Приклад 1. Множення та ділення в одному виразі
Завдання. Спростити \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Крок 1. Множення: основи однакові, показники складаємо — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Крок 2. Ділення: показники віднімаємо — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Відповідь. \(x^2\) (при \(x \neq 0\)).
Приклад 2. Степінь добутку з коефіцієнтом
Завдання. Піднести до степеня \((3a^4)^3\).
Крок 1. У степінь підноситься кожен множник: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Крок 2. Рахуємо окремо: \(3^3 = 27\), а у степені степеня показники перемножуються — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Відповідь. \(27a^{12}\). Часта помилка тут — забути піднести до куба трійку і написати \(3a^{12}\).
Приклад 3. Від'ємний показник у добутку
Завдання. Обчислити \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Крок 1. Основи однакові — складаємо показники за звичайним правилом, мінус просто бере участь у додаванні: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Крок 2. \(8^3 = 512\).
Відповідь. \(512\). Поміть: розкривати \(8^{-2}\) у дріб було не потрібно — властивості степенів працюють з від'ємними показниками напряму.
Приклад 4. Дріб у від'ємному степені
Завдання. Обчислити \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Крок 1. Від'ємний показник перевертає дріб: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Крок 2. Підносимо до квадрата чисельник і знаменник: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Відповідь. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Приклад 5. Дробовий показник
Завдання. Обчислити \(81^{\frac{3}{4}}\).
Крок 1. Знаменник показника — степінь кореня: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Крок 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), тому що \(3^4 = 81\).
Крок 3. Залишилося піднести до куба: \(3^3 = 27\).
Відповідь. \(27\). Корінь зручніше витягувати першим — числа виходять меншими, ніж якби спочатку рахували \(81^3\).
Приклад 6. Комбінований вираз
Завдання. Обчислити \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Крок 1. Степінь степеня у чисельнику: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Крок 2. Ділення степенів з однаковою основою: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Крок 3. \(3^2 = 9\).
Відповідь. \(9\). Загальне правило: спочатку згортаємо дужки та степені степенів, потім працюємо з множенням та діленням.
Часті помилки при діях зі степенями
-
Складають показники при **додаванні** степенів: пишуть $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Показники складаються тільки при множенні. Тут же \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), а \(2^4 = 16\) — рівність невірна. Суму степенів взагалі не можна згорнути в один степінь, її можна тільки винести за дужки: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Множать ще й основи: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Основа при множенні степенів залишається попередньою, змінюється тільки показник: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
Вважають, що $(a+b)^n = a^n + b^n$, плутаючи суму з добутком.
«Роздавати» степінь можна тільки добутку: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — вірно. А от \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), тоді як \(2^2 + 3^2 = 13\). Для суми потрібні формули скороченого множення, а не властивості степенів.
-
Вважають, що $a^0 = 0$.
Навпаки: будь-яке число, крім нуля, у нульовому степені дорівнює одиниці — \(9^0 = 1\). Нуль у результаті дає тільки сама основа, що дорівнює нулю (\(0^n = 0\) при \(n > 0\)), а вираз \(0^0\) не визначений.
-
Віднімають показники у зворотному порядку: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Від показника діленого віднімають показник дільника, а не навпаки: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Порядок тут важливий так само, як у звичайному відніманні.
-
Думають, що від'ємний показник робить число від'ємним: $2^{-2} = -4$.
Від'ємний показник означає дріб, а не мінус: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Результат залишається додатним.
-
Гублять знак у від'ємної основи: пишуть $(-4)^2 = -16$.
При парному показнику мінус «зникає»: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). А запис без дужок означає інше: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Дужки вирішують усе.
Запитання та відповіді про властивості степенів
Складаються чи множаться степені при множенні?
При множенні степенів з однаковою основою складаються показники, а сама основа не змінюється: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Наприклад, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Перемножуються показники в іншому випадку — коли підносять степінь до степеня: \((a^m)^n = a^{mn}\).
При діленні степені складаються чи віднімаються?
Віднімаються: від показника діленого віднімають показник дільника, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \neq 0\). Наприклад, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Чому дорівнює число в нульовому степені?
Одиниці, якщо основа не нуль: \(a^0 = 1\). Це випливає з правила ділення — частка \(a^n : a^n\) дорівнює і \(a^0\), і одиниці одночасно. Вираз \(0^0\) у шкільному курсі не визначений.
Як позбутися від'ємного показника степеня?
Перевернути вираз у дріб: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Наприклад, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Якщо основа сама дріб, він просто перевертається, а показник стає додатним.
Що таке основа та показник степеня?
У записі \(a^n\) число \(a\) — основа степеня, тобто множник, що повторюється; \(n\) — показник степеня, він вказує, скільки таких множників. У записі \(5^4\) основа дорівнює 5, показник дорівнює 4, а саме значення дорівнює 625.
Чи можна перемножувати степені з різними основами?
Згорнути в один степінь можна, якщо збігаються показники: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Наприклад, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Якщо різні і основи, і показники, вираз спочатку приводять до спільної основи (коли це можливо), інакше залишають як є.
Скільки всього властивостей степенів?
Основних — вісім: добуток та частка степенів з однаковою основою, степінь степеня, степінь добутку, степінь частки, нульовий показник, від'ємний показник та дробовий показник. У різних підручниках їх групують по-різному, тому трапляються формулювання «п'ять властивостей» або «десять властивостей», але зміст однаковий — уся довідка є в таблиці вище.
Що означає дробовий показник степеня?
Корінь. Знаменник дробу — степінь кореня, чисельник — степінь підкореневого виразу: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Наприклад, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Для парного знаменника основа повинна бути невід'ємною.
В якому класі вивчають властивості степенів?
Степінь з натуральним показником та її основні властивості проходять у 7 класі алгебри, степінь з цілим від'ємним показником — у 8 класі, а степінь з раціональним (дробовим) показником та корені — у 9–11 класах. Ці ж властивості потрібні на ЗНО та ДПА при перетворенні виразів.
