Відсоткова зміна показує, на яку частку від початкового значення зросла або зменшилась величина. Рахується за однією формулою: (нове − старе) ÷ старе × 100%. На цій сторінці — розбір кожної частини формули, готові приклади з цінами, зарплатою і знижками, типові пастки та інтерактивний тренажер, на якому можна одразу закріпити тему.
Що таке відсоткова зміна
Відсоткова зміна — це спосіб виразити, наскільки змінилась величина, у вигляді частки від її початкового значення. Так порівнюють ціни, зарплати, кількість підписників, результати контрольних — будь-які числа «до» і «після».
Навіщо потрібні саме відсотки, а не гривні чи штуки? Абсолютна зміна нічого не каже про масштаб. Подорожчання на 10 ₴ дуже помітне для товару за 50 ₴ (це п'ята частина ціни!) і майже непомітне для товару за 1000 ₴ (лише сота частина). Відсотки приводять зміну до спільної шкали і дозволяють чесно порівнювати: +20% — це +20% і для жуйки, і для квартири.
Формула відсоткової зміни
Розрахунок завжди виконується у два кроки:
- Знаходимо абсолютну зміну — віднімаємо від нового значення старе: \(\Delta = \text{нове} - \text{старе}\).
- Ділимо зміну на старе значення і множимо на 100% — отримуємо відсоткову зміну.
Найважливіше у формулі — база: ділимо завжди на старе (початкове) значення, бо порівнюємо з тим, що було. Ділення на нове значення — найпоширеніша помилка в цій темі.
Зростання чи зниження: що показує знак результату
Формула сама підказує напрям зміни. Якщо нове значення більше за старе, різниця додатна — величина зросла. Якщо менше — різниця від'ємна, величина зменшилась. У відповіді на питання «на скільки відсотків знизилось?» знак «мінус» зазвичай опускають: кажуть «знизилось на 5%», а не «змінилось на −5%».
Не плутайте питання «на скільки відсотків?» і «у скільки разів?» — це різні обчислення. «На скільки відсотків» рахується за формулою відсоткової зміни, а «у скільки разів» — простим діленням нового значення на старе.
Як підвищити або знизити ціну на 10 відсотків: обернена задача
Часто задача обернена: відсоток відомий, а знайти потрібно нове (або старе) значення. Тут зручний коефіцієнт зміни:
- збільшити на \(p\%\) — помножити на \(1 + \frac{p}{100}\). Підвищити ціну 1200 ₴ на 25%: \(1200 \times 1{,}25 = 1500\) ₴;
- зменшити на \(p\%\) — помножити на \(1 - \frac{p}{100}\). Знижка 25% від 1200 ₴: \(1200 \times 0{,}75 = 900\) ₴;
- відновити старе значення — поділити нове на той самий коефіцієнт: якщо після подорожчання на 25% товар коштує 1500 ₴, то раніше він коштував \(1500 \div 1{,}25 = 1200\) ₴.
Коефіцієнт позбавляє від зайвих дій: не потрібно окремо рахувати «скільки це в гривнях» і додавати — одне множення одразу дає відповідь.
Відсотки і відсоткові пункти: у чому різниця
Коли змінюється величина, яка сама виражена у відсотках (ставка за вкладом, відсоток явки, частка ринку), з'являються два різні способи описати зміну:
- відсоткові пункти (в.п.) — проста різниця: ставка була 10%, стала 12% → зросла на 2 відсоткові пункти;
- відсотки — відносна зміна за звичайною формулою: \((12 - 10) \div 10 \times 100\% = 20\%\) → ставка зросла на 20 відсотків.
Обидва твердження правильні й описують ту саму подію, але числа різні — тому в новинах і рекламі цим іноді користуються, щоб зміна виглядала більшою або меншою. Перевіряйте, про що йдеться: про пункти чи про відсотки.
Пастка: +50% і потім −50% — це не нуль
Відсотки від різних баз не можна додавати і віднімати як звичайні числа. Якщо величина зросла на \(p\%\), а потім знизилась на ті самі \(p\%\), до початку вона не повернеться: зниження рахується вже від нової, збільшеної бази. Підсумковий коефіцієнт \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right) = 1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\) завжди менший за одиницю, тому результат завжди нижчий за старт.
Приклади: рахуємо відсоткову зміну покроково
Приклад 1. Ціна зросла: з 500 ₴ до 600 ₴
Задача. Книга коштувала 500 ₴, тепер коштує 600 ₴. На скільки відсотків зросла ціна?
Крок 1. Знаходимо зміну в гривнях: \(600 - 500 = 100\) ₴.
Крок 2. Ділимо на старе значення — базу: \(100 \div 500 = 0{,}2\).
Крок 3. Переводимо частку у відсотки: \(0{,}2 \times 100\% = 20\%\).
Відповідь: ціна зросла на 20%.
Приклад 2. Плата знизилась: з 440 ₴ до 418 ₴
Задача. Щомісячна плата за зв'язок була 440 ₴, стала 418 ₴. На скільки відсотків знизилась плата?
Крок 1. Зміна: \(418 - 440 = -22\) ₴ — плата зменшилась на 22 ₴.
Крок 2. Ділимо на старе значення: \(-22 \div 440 = -0{,}05\).
Крок 3. У відсотках: \(-0{,}05 \times 100\% = -5\%\).
Відповідь: плата знизилась на 5%. Знак «мінус» показує зниження; відповідаючи на питання «на скільки знизилась», його опускають.
Приклад 3. Як підвищити ціну на 10 відсотків
Задача. Товар коштує 800 ₴. Продавець підвищує ціну на 10%. Якою стане ціна?
Рішення через коефіцієнт. Підвищити на 10% — помножити на \(1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\):
\(800 \times 1{,}1 = 880\) ₴.
Перевірка формулою зміни: \((880 - 800) \div 800 \times 100\% = 10\%\) — збігається.
А знизити ціну на 10% — помножити на \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\): вийде \(800 \times 0{,}9 = 720\) ₴.
Приклад 4. Обернена задача: скільки коштував товар до знижки
Задача. Після знижки 20% куртка коштує 1440 ₴. Скільки вона коштувала до знижки?
Крок 1. Знижка 20% означає, що залишилось \(100\% - 20\% = 80\%\) старої ціни — коефіцієнт \(0{,}8\).
Крок 2. Ділимо нову ціну на коефіцієнт: \(1440 \div 0{,}8 = 1800\) ₴.
Перевірка: \(1800 \times 0{,}8 = 1440\) ₴ — правильно.
Відповідь: до знижки куртка коштувала 1800 ₴. Часта помилка — додати 20% до нової ціни (\(1440 \times 1{,}2 = 1728\) ₴): так не можна, адже знижка рахувалась від старої ціни, а не від нової.
Часті помилки при розрахунку відсоткової зміни
-
Ділять зміну на нове значення замість старого: (600 − 500) ÷ 600 = 16,7%.
База — завжди старе значення, бо порівнюємо з тим, що було: (600 − 500) ÷ 500 × 100% = 20%. Перед розрахунком чітко визначте, яке з чисел початкове.
-
Додають і віднімають відсотки від різних баз: «+50% і −50% — повернулись до початку», «знижка 20% і ще 30% — разом 50%».
Кожен наступний відсоток рахується від нової бази. Перемножуйте коефіцієнти: 1,5 × 0,5 = 0,75 (підсумок −25%); 0,8 × 0,7 = 0,56 (сумарна знижка 44%, а не 50%).
-
«Зменшити на 20%» рахують як «помножити на 0,2».
Помножити на 0,2 — означає залишити 20% величини (зменшити на 80%!). Зменшити НА 20% — помножити на 1 − 0,2 = 0,8.
-
Плутають відсотки з відсотковими пунктами: зростання ставки з 10% до 12% називають «зростанням на 2%».
На 2 відсоткові пункти — це проста різниця. У відсотках же ставка зросла на (12 − 10) ÷ 10 × 100% = 20%. Для різниці двох відсотків використовуйте слово «пункти».
-
Плутають «у скільки разів» і «на скільки відсотків»: зростання втричі називають зростанням на 300%.
Зростання втричі — це +200%: із 300% нового значення 100% — початкова величина, додались лише 200%. Формула не обдурить: (300 − 100) ÷ 100 × 100% = 200%.
Питання і відповіді
Як порахувати, на скільки відсотків одне число більше за інше?
За тією самою формулою: різницю чисел ділимо на те число, З ЯКИМ порівнюємо, і множимо на 100%. «На скільки відсотків 80 більше за 64?» — (80 − 64) ÷ 64 × 100% = 25%. Зверніть увагу: «на скільки 64 менше за 80» дасть іншу відповідь — (80 − 64) ÷ 80 × 100% = 20%, бо база інша.
Як порахувати відсоткову зміну на калькуляторі або в Excel?
На калькуляторі: поділіть нове значення на старе, відніміть 1 і помножте на 100. Наприклад, 600 ÷ 500 = 1,2 → 1,2 − 1 = 0,2 → 20%. В Excel або Google Таблицях: якщо старе значення в комірці A1, нове в B1, формула =(B1-A1)/A1, а комірці задайте відсотковий формат.
Що робити, якщо старе значення дорівнює нулю?
Відсоткова зміна не визначена — ділити на нуль не можна. Якщо в каналу було 0 підписників, а стало 50, некоректно говорити про «зростання на скільки-то відсотків»: це зростання з нуля. У таких випадках вказують абсолютну зміну (+50 підписників).
Чим відсоткова зміна відрізняється від відсоткової різниці?
Відсоткова зміна напрямлена: є «старе» і «нове», ділимо на старе. Відсоткова різниця порівнює два рівноправні числа без порядку: модуль різниці ділять на їх середнє. У шкільних задачах і в побуті (ціни, зарплати, знижки) майже завжди потрібна саме відсоткова зміна.
Якщо величина зросла на 100%, у скільки разів вона збільшилась?
У 2 рази. Зростання на 100% означає, що до величини додалась ще одна така сама. Відповідно зростання на 200% — у 3 рази, на 50% — у 1,5 раза. Обернено: «зросла в 4 рази» означає «на 300%».
Як порахувати зміну ціни у відсотках за кілька місяців?
Є два варіанти. Загальна зміна за період — за звичайною формулою між першим і останнім значенням. Якщо ж відомі відсотки за кожен місяць, їх не можна додавати — потрібно перемножити коефіцієнти: зростання на 10%, а потім на 20% дає 1,1 × 1,2 = 1,32, тобто +32%, а не +30%.
