Формули скороченого множення (ФСМ) — це готові алгебраїчні тотожності, які дозволяють розкривати дужки та розкладати вирази на множники без тривалого перемножування. На цій сторінці — таблиця всіх семи формул: квадрат суми та різниці, різниця квадратів, куб суми та різниці, сума та різниця кубів. Кожну формулу розбираємо з виведенням і прикладами, а наприкінці — інтерактивний тренажер, де можна одразу потренуватися застосовувати ФСМ.
Що таке формули скороченого множення
Формули скороченого множення — це тотожності, які виходять, якщо один раз акуратно перемножити многочлени та запам'ятати результат. Далі вже не потрібно щоразу розкривати дужки: достатньо впізнати «шаблон» і підставити свої числа або букви.
У шкільному курсі алгебри 7 класу ФСМ працюють у двох напрямках:
- зліва направо — щоб швидко розкрити дужки та піднести вираз до квадрата або куба;
- справа наліво — щоб розкласти многочлен на множники (це потрібно для скорочення дробів і розв'язування рівнянь).
Усього запам'ятовують сім формул. Нижче — таблиця-пам'ятка, а потім розбір кожної формули окремо.
Таблиця формул скороченого множення
Усі сім формул скороченого множення зручно тримати перед очима в одній таблиці. Букви \(a\) та \(b\) тут — будь-які вирази: число, змінна або цілий одночлен, як-от \(2x\).
| Формула | Запис |
|---|---|
| Квадрат суми | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат різниці | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Різниця квадратів | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Куб суми | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб різниці | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Сума кубів | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Різниця кубів | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Квадрат суми та квадрат різниці
Квадрат суми виходить, якщо перемножити \((a+b)\) саме на себе:
Словами: квадрат суми дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого. Точно так само виводиться квадрат різниці — знак у середнього члена стає мінусом:
Головне — не загубити середній член \(2ab\): саме через нього \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). У квадрата суми та квадрата різниці відрізняється лише знак перед \(2ab\), а крайні члени \(a^2\) та \(b^2\) завжди зі знаком плюс.
Приклад. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
У квадрата суми є наочний геометричний зміст: це площа великого квадрата зі стороною \((a+b)\).
Різниця квадратів
Якщо перемножити суму та різницю одних і тих самих виразів, середні члени взаємно знищуються:
Виходить формула різниці квадратів: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Це найкорисніша ФСМ для розкладання на множники: як тільки бачиш різницю двох квадратів — одразу розкладай у добуток.
Приклад (розкрити дужки). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Приклад (розкласти на множники). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Важливо: сума квадратів \(a^2 + b^2\) на множники за цією формулою не розкладається — працює тільки різниця.
Куб суми, куб різниці, сума та різниця кубів
Куб суми та куб різниці містять уже чотири доданки:
У куба різниці знаки чергуються: \(+\,-\,+\,-\). І знову часта пастка: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — не можна просто «роздати» степінь, середні члени \(3a^2b\) та \(3ab^2\) втрачати не можна.
Приклад. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Окремо стоять сума та різниця кубів — вони, навпаки, розкладають вираз на множники:
Другий множник називають неповним квадратом суми або різниці. Знак у його середньому члені завжди протилежний знаку в першій дужці: у суми кубів — \(-ab\), у різниці кубів — \(+ab\).
Приклад. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Приклади застосування формул скороченого множення
Приклад 1. Розкрити дужки: квадрат суми
Завдання. Піднести до квадрата \((2x+5)^2\).
Крок 1. Впізнаємо формулу квадрата суми: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), де \(a = 2x\), \(b = 5\).
Крок 2. Рахуємо кожен член:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Відповідь. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Приклад 2. Згорнути у формулу різниці квадратів
Завдання. Знайти добуток \((3x-4)(3x+4)\).
Крок 1. Перед нами добуток різниці та суми однакових виразів — це різниця квадратів \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), де \(a = 3x\), \(b = 4\).
Крок 2. Підносимо до квадрата кожен вираз: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Відповідь. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Приклад 3. Розкласти на множники
Завдання. Розкласти на множники \(x^2 - 36\) та \(x^3 + 27\).
Різниця квадратів. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Сума кубів. Помічаємо, що \(27 = 3^3\), отже \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Застосовуємо формулу \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) при \(a = x\), \(b = 3\):
Зверни увагу на знак \(-3x\) у неповному квадраті — у суми кубів середній член зі знаком мінус.
Приклад 4. Куб суми
Завдання. Розкрити дужки \((x+2)^3\).
Крок 1. Формула куба суми: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), де \(a = x\), \(b = 2\).
Крок 2. Рахуємо члени по порядку:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Відповідь. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Часті помилки при роботі з ФСМ
-
Забувають подвоєний добуток: пишуть $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
У квадраті суми та різниці завжди є середній член \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Перевірити легко — розкрий \((a+b)(a+b)\) у стовпчик, і середній член з'явиться сам.
-
Плутають знаки у квадраті різниці та в різниці квадратів.
У квадраті різниці мінус стоїть тільки біля середнього члена: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (крайні — з плюсом). А в різниці квадратів мінус — між самими квадратами: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Це різні формули.
-
«Роздають» степінь у куба: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Так робити не можна. Куб суми містить чотири члени: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Формула \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — це зовсім інше (сума кубів), вона про розкладання на множники.
-
У неповному квадраті у суми/різниці кубів ставлять подвоєний добуток $2ab$.
Неповний квадрат — це \(a^2 \pm ab + b^2\), без двійки перед \(ab\). Знак протилежний знаку першої дужки: сума кубів \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), різниця кубів \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Намагаються розкласти суму квадратів $a^2 + b^2$ на множники.
На множники розкладається тільки різниця квадратів \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Сума квадратів \(a^2 + b^2\) у шкільному курсі на множники не розкладається.
Запитання та відповіді
Скільки всього формул скороченого множення?
Сім: квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів, куб суми, куб різниці, сума кубів і різниця кубів. Усі вони зібрані в таблиці вище.
Чому дорівнює квадрат суми?
Квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). У квадрата різниці середній член зі знаком мінус: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Як розкласти різницю квадратів на множники?
За формулою \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Наприклад, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Достатньо побачити, що обидва доданки — повні квадрати, а між ними стоїть мінус.
Чому $(a+b)^2$ не дорівнює $a^2 + b^2$?
Тому що при перемножуванні \((a+b)(a+b)\) з'являються ще два однакові доданки \(ab\), які дають середній член \(2ab\). Його не можна втрачати: правильно \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Чим відрізняється куб суми від суми кубів?
Куб суми \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — це розкриття дужок. Сума кубів \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — навпаки, розкладання виразу на множники. Це різні формули, не плутай їх.
У якому класі проходять формули скороченого множення?
Зазвичай у 7 класі на уроках алгебри: спочатку квадрат суми та різниці, різниця квадратів, потім формули для кубів. Їх активно використовують далі при спрощенні виразів, скороченні дробів і розв'язуванні рівнянь.
