Раціональна нерівність — це нерівність, де обидві частини є раціональними виразами, тобто многочленами та дробами з многочленів. Після перенесення всього в ліву частину, вона зводиться до вигляду \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), де \(P(x)\) і \(Q(x)\) — многочлени, а замість знака \(>\) може стояти \(<\), \(\ge\) або \(\le\). Розв'язують такі нерівності методом інтервалів: переносять усе в ліву частину, розкладають на множники, відмічають на числовій осі нулі чисельника та нулі знаменника і розставляють знаки. Нижче — визначення, повний алгоритм, правило виколотих точок, кратність коренів, розібрані приклади та тренажер з перевіркою.
Що таке раціональна нерівність
Раціональна нерівність — це нерівність, обидві частини якої записані раціональними виразами, тобто многочленами та дробами з многочленів. Після перенесення всього в одну частину вона завжди зводиться до вигляду
де \(P(x)\) і \(Q(x)\) — многочлени, а на місці \(\vee\) стоїть один зі знаків \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Справа обов'язково нуль — це умова, без якої метод інтервалів не працює.
Раціональні нерівності поділяються на два види. Якщо змінна зустрічається тільки в чисельнику, нерівність називають цілою раціональною: ділити ні на що, і підходять будь-які значення \(x\). Якщо змінна є в знаменнику, нерівність дробово-раціональна (її ж називають дробовою нерівністю або нерівністю з дробом) — і тоді одразу з'являється обмеження \(Q(x) \neq 0\).
Чому не можна множити обидві частини на знаменник
Найсильніша спокуса при розв'язанні нерівності з дробом — «позбутися знаменника», помноживши на нього обидві частини. З рівняннями так робити можна, з нерівностями — ні. Причина проста: при множенні на від'ємне число знак нерівності перевертається, а знак виразу \(Q(x)\) заздалегідь невідомий — він залежить від \(x\).
Подивимося на нерівність \(\frac{5}{x-3} < 1\). Помножимо обидві частини на \(x - 3\), ніби це додатне число: вийде \(5 < x - 3\), тобто \(x > 8\). Перевіримо відповідь підстановкою \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — нерівність правильна, отже нуль теж розв'язок, але у відповідь \(x > 8\) він не потрапив. Відповідь втрачено.
Правильний шлях — перенести все вліво і звести до одного дробу:
На останньому кроці ми помножили обидві частини на \(-1\) і перевернули знак — це законно, бо \(-1\) від'ємне завжди. Далі працює метод інтервалів, і відповідь виходить \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — в ній є і втрачений нуль.
Запам'ятати найпростіше так: множити обидві частини на вираз зі змінною не можна, переносити доданки — можна завжди. Перенос знак нерівності не змінює.
Метод інтервалів: алгоритм розв'язання по кроках
Метод інтервалів спирається на одну властивість: між сусідніми нулями раціонального виразу його знак є сталим. Отже, достатньо знайти всі точки, де чисельник або знаменник обертається в нуль, розбити ними числову вісь і визначити знак на кожному проміжку — по одній пробній точці або за кратністю коренів.
Виколоті та зафарбовані точки: ОДЗ та знак нерівності
Помилка в одній дужці перетворює правильний розв'язок на невірну відповідь, тому правило про точки варто вивчити окремо. Працюють рівно два міркування.
Перше — область допустимих значень. Нуль знаменника виколото завжди, при будь-якому знаку нерівності. У цій точці дріб просто не існує: ділити на нуль не можна, тому число не може бути розв'язком, навіть якщо знак нестрогий.
Друге — строгий знак чи нестрогий. Нулі чисельника обертають дріб на нуль. При нестрогому знаку (\(\le\) або \(\ge\)) рівність нулю нас влаштовує, отже точка зафарбовується і входить у відповідь квадратними дужками. При строгому знаку (\(<\) або \(>\)) нуль не підходить, і точка виколота.
Наприклад, у нерівності \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) точка \(x = 6\) зафарбовується (нуль чисельника, знак нестрогий), а точка \(x = -1\) виколота (нуль знаменника). Відповідь: \(x \in (-1; 6]\).
| Що за точка | Як відмічаємо |
|---|---|
| Нуль знаменника, Q(x) = 0 | виколота завжди, при будь-якому знаку — точки немає в ОДЗ |
| Нуль чисельника, знак строгий < або > | виколота дріб дорівнює нулю, а потрібен строго інший знак |
| Нуль чисельника, знак нестрогий ≤ або ≥ | зафарбована рівність нулю підходить, точка входить у відповідь |
Кратність коренів: де знак змінюється, а де ні
Знаки на проміжках не зобов'язані просто чергуватися — це найчастіша помилка в темі. Чергування працює тільки тоді, коли всі дужки входять у першому степені. Правило точніше звучить через кратність кореня — показник степеня відповідної дужки.
При переході через корінь непарної кратності (степінь 1, 3, 5) знак виразу змінюється. При переході через корінь парної кратності (степінь 2, 4) знак не змінюється: дужка в парному степені невід'ємна і знака виразу не псує. Рахується кратність однаково і для чисельника, і для знаменника.
Візьмемо \((x-9)^2(x+3) > 0\). Корені: \(x = 9\) кратності 2 і \(x = -3\) кратності 1. Праворуч від дев'ятки вираз додатний. Переходимо через \(9\) — кратність парна, знак зберігається, на проміжку \((-3; 9)\) теж плюс. Переходимо через \(-3\) — кратність непарна, знак змінюється на мінус. Відповідь строгої нерівності: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), точка \(9\) виколота, бо там вираз дорівнює нулю. А у нестрогої \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) відповідь вже інша: \(x \in [-3; +\infty)\) — дев'ятка зафарбовується і «склеює» два проміжки в один.
| Кратність кореня | Знак при переході |
|---|---|
| Непарна: (x − a), (x − a)3 | змінюється |
| Парна: (x − a)2, (x − a)4 | не змінюється |
Числова вісь на прикладі: розставляємо знаки
Зберемо все разом на нерівності \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Нулі чисельника: \(x = -7\). Нулі знаменника: \(x = 2\) і \(x = 5\), вони ж задають ОДЗ. Усі три дужки в першому степені, тому знаки чергуються. Пробна точка \(x = 10\) у крайньому правому проміжку дає \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — починаємо з плюса і йдемо вліво, змінюючи знак на кожній точці.
Приклади розв'язання раціональних нерівностей
Приклад 1. Проста дробова нерівність
Розв'язати \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Крок 1. Справа вже нуль, дріб вже один — переносити і зводити нічого.
Крок 2. ОДЗ. \(x + 5 \neq 0\), тобто \(x \neq -5\).
Крок 3. Нулі. Чисельник дорівнює нулю при \(x = 3\), знаменник — при \(x = -5\).
Крок 4. Точки на осі. \(x = 3\) зафарбовуємо (нуль чисельника, знак нестрогий), \(x = -5\) виколото (нуль знаменника).
Крок 5. Знаки. Пробна точка \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — справа плюс. Обидві дужки в першому степені, отже знаки чергуються: на \((-5; 3)\) мінус, на \((-\infty; -5)\) плюс. Перевіримо: при \(x = -6\) отримуємо \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — сходиться.
Крок 6. Відповідь. Потрібен знак «плюс або нуль»: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Приклад 2. Справа не нуль — переносимо
Розв'язати \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Крок 1. Переносимо одиницю вліво. Множити на \(x - 4\) не можна, знак цього виразу невідомий:
Крок 2. Зводимо до одного дробу.
Крок 3. ОДЗ. \(x \neq 4\).
Крок 4. Точки. \(x = -5\) — нуль чисельника, знак нестрогий, зафарбовуємо. \(x = 4\) — нуль знаменника, виколото.
Крок 5. Знаки. При \(x = 5\) дріб дорівнює \(\frac{10}{1} > 0\). Отже на \((4; +\infty)\) плюс, на \((-5; 4)\) мінус, на \((-\infty; -5)\) плюс.
Крок 6. Відповідь. \(x \in [-5; 4)\). Перевірка граничних точок: при \(x = -5\) дріб дорівнює нулю — підходить для \(\le\); при \(x = 4\) дробу немає — не підходить.
Приклад 3. Корінь парної кратності та ізольована точка
Розв'язати \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Крок 1. ОДЗ. \(x \neq 9\).
Крок 2. Нулі та кратності. \(x = 2\) — кратність 2 (парна), \(x = -6\) — кратність 1, \(x = 9\) — кратність 1 у знаменнику.
Крок 3. Точки. \(x = 2\) і \(x = -6\) зафарбовуємо (нулі чисельника при нестрогому знаку), \(x = 9\) виколото.
Крок 4. Знаки. Пробна точка \(x = 10\): чисельник додатний, знаменник дорівнює 1 — плюс. Йдемо вліво. Через \(9\) (кратність непарна) знак змінюється: на \((2; 9)\) мінус. Через \(2\) (кратність парна) знак не змінюється: на \((-6; 2)\) теж мінус. Через \(-6\) (кратність непарна) знак змінюється: на \((-\infty; -6)\) плюс.
Крок 5. Відповідь. Беремо проміжки зі знаком «плюс» плюс усі точки, де вираз дорівнює нулю. Точка \(x = 2\) лежить всередині мінусового проміжку, але сам вираз там дорівнює нулю, отже вона входить у відповідь окремо:
Така «самотня» точка у відповіді — вірна ознака кореня парної кратності при нестрогому знаку.
Приклад 4. Скорочення дробу: пастка з ОДЗ
Розв'язати \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Крок 1. Розкладаємо на множники. Чисельник — повний квадрат: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Для знаменника рахуємо дискримінант: \(D = 81 + 40 = 121\), корені \(x_1 = \frac{1}{5}\) і \(x_2 = -2\), тому \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Крок 2. ОДЗ — до будь-якого скорочення. \(5x - 1 \neq 0\) і \(x + 2 \neq 0\), тобто \(x \neq \frac{1}{5}\) і \(x \neq -2\).
Крок 3. Скорочуємо. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), але тільки при \(x \neq \frac{1}{5}\) — скорочення не повертає виколоту точку назад.
Крок 4. Розв'язуємо \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Нулі: \(\frac{1}{5}\) і \(-2\). При \(x = 1\) дріб дорівнює \(\frac{4}{3} > 0\). Отже на \((\frac{1}{5}; +\infty)\) плюс, на \((-2; \frac{1}{5})\) мінус, на \((-\infty; -2)\) плюс.
Крок 5. Повертаємо ОДЗ. Проміжок \((-2; \frac{1}{5}]\) підійшов би за знаком, але точка \(\frac{1}{5}\) виколота: у вихідній нерівності знаменник \(5x^2+9x-2\) при \(x = \frac{1}{5}\) обертається в нуль, дробу там не існує.
Відповідь: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — обидві дужки круглі.
Приклад 5. Квадратний тричлен у чисельнику
Розв'язати \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Крок 1. Розкладаємо чисельник. За теоремою Вієта сума коренів дорівнює 7, добуток 10, отже \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Нерівність набуває вигляду \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Крок 2. ОДЗ. \(x \neq -4\).
Крок 3. Точки. Усі три точки виколоті: \(-4\) — нуль знаменника, \(2\) і \(5\) — нулі чисельника при строгому знаку.
Крок 4. Знаки. Пробна точка \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Усі дужки в першому степені, тому знаки чергуються: на \((5; +\infty)\) плюс, на \((2; 5)\) мінус, на \((-4; 2)\) плюс, на \((-\infty; -4)\) мінус.
Крок 5. Відповідь. Потрібен строгий мінус: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Контроль підстановкою: при \(x = -5\) отримуємо \(\frac{70}{-1} < 0\), при \(x = 3\) отримуємо \(\frac{-2}{7} < 0\) — обидва проміжки підходять.
Часті помилки при розв'язанні раціональних нерівностей
-
Множать обидві частини на знаменник: з $\frac{3}{x-8} > 1$ роблять $3 > x - 8$ і пишуть $x < 11$.
Знак виразу \(x - 8\) заздалегідь невідомий, а при множенні на від'ємне нерівність перевертається. Перевірка: \(x = 0\) дає \(\frac{3}{-8} < 1\) — нуль не розв'язок, хоча потрапив у відповідь \(x < 11\). Правильно: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), тобто \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), звідки \(x \in (8; 11)\).
-
Зафарбовують нуль знаменника, бо знак нестрогий: у $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ пишуть відповідь з квадратною дужкою біля сімки.
Нуль знаменника виколото завжди, при будь-якому знаку: у цій точці дробу просто не існує. Правильна відповідь: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — біля одиниці дужка квадратна, біля сімки кругла.
-
Скорочують дріб і втрачають ОДЗ: з $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ отримують $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ і включають у відповідь точку $x = -3$.
ОДЗ виписують до скорочення, за вихідним знаменником: \(x \neq -3\) і \(x \neq 5\). Скорочений дріб \(\frac{x+3}{x-5}\) недодатний на \([-3; 5)\) — при \(x = 0\) він дорівнює \(-0{,}6\), що й потрібно для знака \(\le\). Але точка \(-3\) виколота за ОДЗ, тому відповідь — \((-3; 5)\), а не \([-3; 5)\).
-
Вважають, що знаки на проміжках завжди чергуються, і для $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ ставлять мінус праворуч від одиниці.
Чергування вірне тільки при дужках у першому степені. Корінь \(x = 1\) має кратність 2, отже знак через нього не змінюється. Вираз додатний на всьому \((-4; +\infty)\), крім самої одиниці, де він дорівнює нулю. Відповідь: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Змінюють знак нерівності при переносі доданка: з $\frac{x}{x-2} \le 3$ роблять $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Перенос доданка з однієї частини в іншу знак нерівності не змінює — змінюється тільки знак самого доданка. Знак перевертається лише при множенні або діленні обох частин на від'ємне число. Правильно: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), далі \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), тобто \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Відмічають на осі тільки нулі чисельника, а знаменник перевіряють «потім»: для $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ ставлять одну точку $-11$.
На осі відмічають усі нулі одразу — і чисельника, і знаменника, інакше проміжки вийдуть невірні. Тут \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), тому точок три: \(-11\), \(-4\) і \(4\), а не одна. Усі виколоті (знак строгий), відповідь: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Запитання та відповіді
Що таке раціональна нерівність?
Це нерівність, обидві частини якої — раціональні вирази (многочлени та дроби з многочленів). Після перенесення всього в ліву частину вона зводиться до вигляду \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), де \(P(x)\) і \(Q(x)\) — многочлени, а замість \(>\) може стояти \(<\), \(\le\) або \(\ge\).
Як розв'язувати раціональні нерівності?
Методом інтервалів за шість кроків: перенести все вліво, щоб справа залишився нуль; звести до одного дробу і розкласти чисельник і знаменник на множники; виписати ОДЗ (\(Q(x) \neq 0\)); відмітити на числовій осі нулі чисельника і знаменника; розставити знаки на проміжках за пробною точкою та кратністю коренів; виписати у відповідь проміжки з потрібним знаком.
Чим дробово-раціональна нерівність відрізняється від цілої раціональної?
У цілої раціональної змінна стоїть тільки в чисельнику, наприклад \((x-1)(x+4) > 0\), і ОДЗ — усі дійсні числа. У дробово-раціональної змінна є в знаменнику, наприклад \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), і з'являється обмеження \(x \neq -4\). Алгоритм при цьому один і той самий — змінюються тільки виколоті точки.
Як розв'язувати нерівності з дробом?
Так само, як будь-яку раціональну: спочатку перенести все в ліву частину і звести до одного дробу, а не позбуватися знаменника. Наприклад, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) перетворюється на \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), тобто \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Чисельник постійний і від'ємний, отже дріб невід'ємний тільки при від'ємному знаменнику: \(x + 2 < 0\). Відповідь: \(x \in (-\infty; -2)\).
Чому не можна множити обидві частини нерівності на знаменник?
Тому що знак знаменника залежить від \(x\): при множенні на додатний вираз знак нерівності зберігається, а при множенні на від'ємний — перевертається. Заздалегідь невідомо, який випадок перед вами, тому частина розв'язків втрачається, а частина додається зайвими. Переносити доданки можна завжди — перенос знак нерівності не змінює.
Як знайти ОДЗ у нерівності?
Для раціональної нерівності ОДЗ — це всі значення \(x\), при яких знаменник не обертається в нуль. Прирівняйте знаменник до нуля, розв'яжіть рівняння і виключіть знайдені числа. Виписувати ОДЗ потрібно за вихідним знаменником, до скорочення дробу, — інакше виколоті точки загубляться.
Які точки виколоті, а які зафарбовані?
Нулі знаменника виколоті завжди, при будь-якому знаку нерівності. Нулі чисельника зафарбовуються при нестрогому знаку (\(\le\) або \(\ge\)) і виколоті при строгому (\(<\) або \(>\)). У записі відповіді виколотій точці відповідає кругла дужка, зафарбованій — квадратна.
Що таке кратність кореня і навіщо вона потрібна в методі інтервалів?
Кратність — це степінь, у якій дужка входить у розклад. При переході через корінь непарної кратності знак виразу змінюється, при переході через корінь парної кратності — зберігається. Саме тому знаки не завжди просто чергуються: у \((x-9)^2(x+3)\) у точці \(9\) знак залишається попереднім.
У якому класі проходять раціональні нерівності?
У 9 класі на уроках алгебри, після квадратних нерівностей та розкладання многочленів на множники. Метод інтервалів далі використовується для показникових, логарифмічних та ірраціональних нерівностей, а також у завданнях ОДР та профільного ЗНО.
