Десятковий дріб — це число, у якого ціла і дробова частини розділені комою: 3,25 або 0,7. Усі дії з десятковими дробами — додавання, віднімання, множення і ділення — виконуються майже так само, як із натуральними числами; головне — стежити за комою. На цій сторінці зібрані всі правила з прикладами стовпчиком, пам'ятка перенесення коми, розбір частих помилок та інтерактивний тренажер для самоперевірки.
Розряди десяткового дробу
Кожна цифра після коми має свою назву і вагу:
- перший розряд — десяті (0,1);
- другий — соті (0,01);
- третій — тисячні (0,001) і так далі.
Важлива властивість: якщо праворуч до дробової частини дописати нулі, число не зміниться: 5,7 = 5,70 = 5,700. Цю властивість ми будемо використовувати постійно — вона дозволяє зрівнювати кількість знаків після коми при додаванні, відніманні та порівнянні.
Усі дії з десятковими дробами: коротка пам'ятка
У кожної дії — своє головне правило про кому. Чотири картки нижче — вся суть теми, а далі кожна дія розібрана детально, з прикладами.
Додавання і віднімання десяткових дробів стовпчиком
Додавання і віднімання виконуються за одним правилом:
- Записуємо числа стовпчиком так, щоб кома була строго під комою — тоді однакові розряди опиняться одне під одним: десяті під десятими, соті під сотими.
- Якщо знаків після коми різна кількість — зрівнюємо їх нулями.
- Додаємо чи віднімаємо, не звертаючи уваги на коми, як натуральні числа.
- У відповіді ставимо кому під комами вихідних чисел.
Ціле число теж можна записати як десятковий дріб: 6 = 6,00 — це виручає в прикладах на кшталт 6 − 2,35.
Правило множення десяткових дробів
Множення — єдина дія, де коми вирівнювати не потрібно. Правило множення десяткових дробів складається з двох кроків:
- Множимо числа, не звертаючи уваги на коми, — як звичайні натуральні числа.
- У результаті відділяємо комою праворуч стільки цифр, скільки знаків стоїть після коми в обох множниках разом.
Якщо цифр у добутку менше, ніж потрібно відділити, — дописуємо зліва нулі: 12 × 3 = 36, а для 0,12 × 0,3 треба відділити три знаки, тому відповідь 0,036.
Швидка самоперевірка: при множенні на число менше за одиницю результат має вийти меншим, ніж перший множник. Вийшло більше — отже, кома стоїть не там.
Ділення десяткових дробів
Тут два випадки.
Ділення на натуральне число. Ділимо кутом як зазвичай, а кому в частці ставимо в той момент, коли закінчилася ціла частина діленого: 8,46 : 2 = 4,23.
Ділення на десятковий дріб. Спочатку позбуваємося коми в дільнику: переносимо кому і в діленому, і в дільнику праворуч на однакову кількість знаків — тобто множимо обидва числа на 10, 100 або 1000. Частка від цього не змінюється, а ділення зводиться до першого випадку.
Множення і ділення на 10, 100, 1000
Найшвидші дії з десятковими дробами — множення і ділення на розрядну одиницю. Стовпчик не потрібен: достатньо перенести кому на стільки знаків, скільки нулів у числі 10, 100 або 1000. Не вистачає цифр — дописуємо нулі.
Порівняння десяткових дробів
Десяткові дроби порівнюють порозрядно:
- Спочатку цілі частини: у якого числа ціла частина більша, те й більше.
- Якщо цілі частини рівні — порівнюємо десяті, потім соті, потім тисячні, поки не знайдемо відмінність.
- Щоб не заплутатися, зрівняйте кількість знаків нулями: порівняти 5,7 і 5,68 простіше у вигляді 5,70 і 5,68 — сімдесят сотих більше за шістдесят вісім, отже 5,7 > 5,68.
Довжина запису ні про що не свідчить: 0,5 більше за 0,4999, хоча цифр у ньому менше.
Дії з десятковими дробами: приклади з розв'язанням
Приклад 1. Додавання: 5,3 + 2,47
Крок 1. Зрівнюємо знаки після коми: 5,3 = 5,30.
Крок 2. Записуємо стовпчиком, кома під комою.
Крок 3. Додаємо як натуральні числа: 530 + 247 = 777.
Крок 4. Ставимо кому під комами доданків: 7,77.
Приклад 2. Віднімання від цілого числа: 6 − 2,35
Крок 1. Подаємо 6 як десятковий дріб: 6 = 6,00.
Крок 2. Записуємо стовпчиком: 6,00 − 2,35.
Крок 3. Віднімаємо із позиченням зі старших розрядів: 3,65.
Перевірка. 3,65 + 2,35 = 6 — збігається.
Приклад 3. Множення: 2,5 × 0,04
Крок 1. Множимо, не звертаючи уваги на коми: 25 × 4 = 100.
Крок 2. Рахуємо знаки після коми: один у 2,5 і два в 0,04 — разом три.
Крок 3. Відділяємо три знаки праворуч: 0,100.
Крок 4. Відкидаємо нулі наприкінці дробової частини: 0,1.
Перевірка порядку. 0,04 менше за одиницю, отже, відповідь має бути меншою за 2,5 — правильно.
Приклад 4. Ділення на десятковий дріб: 1,44 : 1,2
Крок 1. Робимо дільник цілим: переносимо кому на один знак праворуч в обох числах — отримуємо 14,4 : 12.
Крок 2. Ділимо кутом цілу частину: 14 : 12 = 1, залишок 2.
Крок 3. Ціла частина закінчилася — ставимо в частці кому і зносимо 4: 24 : 12 = 2.
Відповідь: 1,2. Перевірка: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Часті помилки в діях з десятковими дробами
-
При додаванні і відніманні вирівнюють числа по правому краю, як цілі: 3,25 + 4,8 записують стовпчиком без урахування коми і отримують 3,73.
Вирівнюйте за комою, а не за останньою цифрою: 4,8 = 4,80, і тоді 3,25 + 4,80 = 8,05. Десяті мають стояти під десятими, соті — під сотими.
-
При множенні намагаються вирівнювати коми або ставлять кому в добутку «під комами» множників.
У множенні коми не вирівнюють зовсім. Помножте як цілі числа і відділіть праворуч стільки знаків, скільки їх після коми в обох множниках разом.
-
Якщо в добутку цифр менше, ніж потрібно відділити, губляться нулі: 0,12 × 0,3 = 0,36 замість 0,036.
12 × 3 = 36 — це лише дві цифри, а відділити потрібно три. Допишіть нулі, яких бракує, зліва: 0,036.
-
При діленні на десятковий дріб переносять кому лише в дільнику: 4,2 : 0,7 перетворюють на 4,2 : 7 і отримують 0,6.
Кома переноситься в обох числах на однакову кількість знаків: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Інакше частка зменшиться в 10 разів.
-
Порівнюють дроби за кількістю цифр: вважають, що 5,68 більше за 5,7, бо запис довший.
Зрівняйте знаки нулями і порівнюйте порозрядно: 5,70 і 5,68 — у десятих 7 > 6, отже 5,7 > 5,68.
-
При множенні і діленні на 10, 100, 1000 переносять кому не в той бік.
Множення збільшує число — кома йде праворуч: 3,74 × 10 = 37,4. Ділення зменшує — ліворуч: 3,74 : 10 = 0,374. Кількість знаків дорівнює кількості нулів.
Питання та відповіді
Які дії з десятковими дробами вивчають у 5 класі?
У 5 класі проходять усі чотири дії — додавання, віднімання, множення і ділення десяткових дробів, а також їх порівняння і округлення. Зазвичай спочатку вивчають додавання і віднімання стовпчиком, потім множення і ділення на натуральне число, а наприкінці — ділення на десятковий дріб.
Чи зміниться десятковий дріб, якщо праворуч дописати нулі?
Ні: 5,7 = 5,70 = 5,700 — це те саме число. Дописування нулів використовують, щоб зрівняти кількість знаків після коми при додаванні, відніманні та порівнянні. А от вставити нуль між цифрами або прибрати нуль із середини числа не можна — воно зміниться.
Як округлити десятковий дріб?
Знайдіть розряд, до якого потрібно округлити, і подивіться на наступну за ним цифру: якщо вона менша за 5 — цифра, яку округлюємо, не змінюється (3,748 ≈ 3,7), якщо 5 і більше — збільшується на одиницю (2,85 ≈ 2,9). Усі цифри праворуч відкидаються.
Як перевести звичайний дріб у десятковий?
Поділіть чисельник на знаменник: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Не кожен звичайний дріб дає скінченний десятковий запис: наприклад, 1/3 = 0,333… — нескінченний періодичний дріб. Скінченний десятковий дріб виходить, коли знаменник розкладається лише на двійки і п'ятірки.
У якому порядку виконувати дії у виразах із десятковими дробами?
Порядок той самий, що й для натуральних чисел: спочатку дії в дужках, потім множення і ділення зліва направо, потім додавання і віднімання зліва направо. Десятковий запис чисел на порядок дій не впливає.
Чи можна поділити менший десятковий дріб на більший?
Так. Якщо ділене менше за дільник, частка просто вийде меншою за одиницю: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. У цілій частині частки в такому разі пишуть 0 і продовжують ділення після коми.
