สมการกำลังสอง

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

สมการกำลังสอง คือสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ โดยที่ $a \neq 0$ จำนวนคำตอบของสมการถูกกำหนดโดยดิสคริมิแนนต์ $D = b^2 - 4ac$ และคำตอบหาได้จากสูตร $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ หน้านี้รวบรวมทุกอย่างเกี่ยวกับหัวข้อนี้ไว้แล้ว: รูปแบบมาตรฐานและสัมประสิทธิ์, สมการไม่สมบูรณ์ 3 รูปแบบ, ดิสคริมิแนนต์และ 3 กรณี, สูตรหาคำตอบและสูตรสำหรับสัมประสิทธิ์คู่, สมการแบบมอนิกและทฤษฎีบทของเวียต, การแยกตัวประกอบ และสมการไบควัลดราติก พร้อมตัวอย่างทีละขั้นตอน การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบฝึกหัดเชิงโต้ตอบ

สมการกำลังสองคืออะไร

สมการกำลังสอง คือสมการในรูปแบบ

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

โดยที่ $x$ คือตัวแปรไม่ทราบค่า และ $a, b, c$ คือตัวเลข (สัมประสิทธิ์) โดยที่ $a \neq 0$ การเขียนในรูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสอง: พจน์ต่างๆ จะเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย และฝั่งขวาเป็นศูนย์

เงื่อนไข $a \neq 0$ ไม่ใช่แค่พิธีการ แต่พจน์ $ax^2$ คือสิ่งที่ทำให้สมการนี้เป็นสมการกำลังสอง หาก $a = 0$ จะเหลือเพียง $bx + c = 0$ ซึ่งเป็นสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเดียว ดังนั้นในโจทย์ที่มีตัวแปรเสริม สิ่งแรกที่ต้องตรวจสอบคือสัมประสิทธิ์หน้าสุดเป็นศูนย์หรือไม่

เราสามารถจัดรูปสมการให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้เกือบทุกครั้ง โดยการกระจายวงเล็บ ย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ฝั่งซ้าย และรวมพจน์ที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น $5x^2 = 3x - 2$ เมื่อย้ายข้างจะกลายเป็น $5x^2 - 3x + 2 = 0$ ซึ่งจะได้ $a = 5, b = -3, c = 2$ คำว่า "สมการควอดราติก" ก็มีความหมายเดียวกันเป๊ะ เป็นเพียงชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งเท่านั้น

ax² + bx + c = 0

สัมประสิทธิ์นำ — ตัวคูณหน้า x² ต้องไม่เป็น 0 เสมอ: ถ้า a = 0 สมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น

สัมประสิทธิ์ตัวที่สอง — ตัวคูณหน้า x เป็นเลขอะไรก็ได้ รวมถึงศูนย์หรือเลขติดลบ

พจน์คงตัว — พจน์ที่ไม่มี x เป็นเลขอะไรก็ได้ รวมถึงศูนย์

เครื่องหมายต้องรวมอยู่ในสัมประสิทธิ์: ในสมการ x² − 4x − 5 = 0 จะได้ a = 1, b = −4, c = −5 ถ้า a = 1 สมการจะเรียกว่า สมการแบบมอนิก และเขียนในรูป x² + px + q = 0

สมการกำลังสองแบบสมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

หากสัมประสิทธิ์ทั้งสามตัวไม่เป็นศูนย์ เราจะเรียกว่าสมการ สมบูรณ์ หาก $b$ หรือ $c$ (หรือทั้งคู่) เป็นศูนย์ เราจะเรียกว่า ไม่สมบูรณ์ สมการไม่สมบูรณ์มีอยู่ 3 รูปแบบ และไม่มีรูปแบบใดที่ต้องใช้ดิสคริมิแนนต์ ทุกรูปแบบสามารถแก้ได้ใน 1-2 บรรทัด ซึ่งเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการประหยัดเวลาทำข้อสอบ

แนวคิดหลักสำหรับ $ax^2 + bx = 0$ คือการดึงตัวร่วม ผลคูณ $x(ax + b)$ จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ จึงได้คำตอบสองค่าทันที สำหรับ $ax^2 + c = 0$ แนวคิดคือการย้ายข้างให้เหลือ $x^2$ แล้วดูเครื่องหมายของผลลัพธ์ เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่มีทางติดลบ

รูปแบบสมการ	วิธีแก้
ax² + c = 02x² − 50 = 0	ย้าย c ไปฝั่งขวาแล้วหารด้วย a: x² = −c/a ถอดรากที่สอง อย่าลืมเครื่องหมายบวกและลบx = 5 และ x = −5
ax² + bx = 0x² + 7x = 0	ดึง x เป็นตัวร่วม: x(ax + b) = 0 ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์x = 0 และ x = −7
ax² = 09x² = 0	หารด้วย a แล้วถอดรากของศูนย์ จะได้คำตอบเดียวเสมอx = 0

ในบรรทัดแรกอาจไม่มีคำตอบ: ถ้า −c/a ติดลบ กำลังสองของจำนวนจริงไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

ดิสคริมิแนนต์: วิธีหาค่าและจำนวนคำตอบ

ดิสคริมิแนนต์ คือตัวเลขที่คำนวณจากสัมประสิทธิ์ของสมการสมบูรณ์:

\[D = b^2 - 4ac.\]

คำนี้หมายถึง "ตัวแยกแยะ": ดิสคริมิแนนต์ไม่ได้ใช้แก้สมการโดยตรง แต่ใช้แยกแยะสถานการณ์ 3 อย่าง คือ มี 2 คำตอบ, มี 1 คำตอบ หรือไม่มีคำตอบเลย ดังนั้นคำถามที่ว่า "สมการมีกี่คำตอบ" จึงตอบได้โดยไม่ต้องหาคำตอบจริง

การคำนวณ $D$ ต้องระวัง: $b^2$ เป็นบวกเสมอ แม้ว่า $b$ จะติดลบ ส่วนเครื่องหมายของ $a$ และ $c$ จะรวมอยู่ในผลคูณ $4ac$ ตามปกติ ลองดู $x^2 + 4x - 5 = 0$: ที่นี่ $a = 1, b = 4, c = -5$ ดังนั้น $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$ ดิสคริมิแนนต์เป็นบวก จึงมี 2 คำตอบ

D = b² − 4ac

D > 0

มี 2 คำตอบที่ต่างกัน

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

D = 0

มี 1 คำตอบ

x = −b / 2a

D < 0

ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

ไม่สามารถถอดรากที่สองของจำนวนลบได้

สูตรหาคำตอบของสมการกำลังสอง

เมื่อ $D \ge 0$ คำตอบจะหาได้จากสูตรหลักของหัวข้อนี้:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

เครื่องหมาย $\pm$ หมายถึงการคำนวณสองครั้ง: ครั้งหนึ่งใช้การบวก อีกครั้งใช้การลบ เมื่อ $D = 0$ ทั้งสองการคำนวณจะได้ตัวเลขเดียวกันคือ $x = -\dfrac{b}{2a}$ ซึ่งเรียกว่าคำตอบซ้ำ

จุดที่มักจะผิดพลาดบ่อยที่สุดคือ ในตัวเศษต้องเป็น ลบ $b$ (ถ้า $b = -7$ จะได้ $+7$) และตัวส่วนคือ $2a$ ไม่ใช่แค่ $2$ เมื่อ $a = 1$ จะไม่เห็นความแตกต่าง ดังนั้นข้อผิดพลาดมักจะเกิดขึ้นเมื่อสัมประสิทธิ์นำไม่เท่ากับ 1

ลองแก้ $2x^2 - 9x - 5 = 0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$, $\sqrt{D} = 11$ ดังนั้น $x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5$ และ $x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0.5$

จัดรูปให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

กระจายวงเล็บ ย้ายทุกอย่างมาฝั่งซ้าย และรวมพจน์ที่คล้ายกัน: ax² + bx + c = 0

ระบุค่า a, b, c พร้อมเครื่องหมาย

เครื่องหมายลบหน้าพจน์เป็นส่วนหนึ่งของสัมประสิทธิ์ ไม่ใช่เครื่องหมายแยกต่างหาก

คำนวณดิสคริมิแนนต์

D = b² − 4ac — กำลังสองของ b เป็นบวกเสมอ

เปรียบเทียบ D กับศูนย์และหาคำตอบ

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a; ถ้า D = 0 มี 1 คำตอบ, ถ้า D < 0 ไม่มีคำตอบ

ตรวจสอบโดยการแทนค่า

แทนค่าคำตอบแต่ละตัวลงในสมการตั้งต้น — ต้องได้ 0 = 0

สัมประสิทธิ์ตัวที่สองเป็นเลขคู่: สูตร D₁

หาก $b$ เป็นเลขคู่ สามารถเขียนได้ว่า $b = 2k$ และใช้ดิสคริมิแนนต์แบบ "ลดรูป":

\[D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.\]

ตัวเลขในการคำนวณจะน้อยลงสี่เท่า ($D = 4D_1$) และเครื่องหมายของ $D_1$ จะเหมือนกับ $D$ ดังนั้นข้อสรุปเรื่องจำนวนคำตอบจึงไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: $3x^2 + 8x - 3 = 0$ ที่นี่ $b = 8$ ดังนั้น $k = 4$ และ $D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{D_1} = 5$ จะได้ $x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}$ และ $x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3$ หากใช้สูตรปกติจะต้องคำนวณกับ $D = 100$ ซึ่งได้ผลลัพธ์เท่ากัน แต่ต้องคำนวณเลขมากกว่า

สมการแบบมอนิกและทฤษฎีบทของเวียต

สมการที่มี $a = 1$ เรียกว่า สมการแบบมอนิก และเขียนในรูป $x^2 + px + q = 0$ สมการกำลังสองใดๆ สามารถจัดให้อยู่ในรูปนี้ได้โดยการหารด้วย $a$: เช่น $4x^2 - 12x + 8 = 0$ เมื่อหารด้วย 4 จะกลายเป็น $x^2 - 3x + 2 = 0$

รูปแบบมอนิกมีค่าเพราะใช้ ทฤษฎีบทของเวียต ได้: ผลรวมของคำตอบเท่ากับ $-p$ และผลคูณเท่ากับ $q$ สำหรับ $x^2 - 7x + 10 = 0$ เราต้องการเลขสองตัวที่บวกกันได้ 7 และคูณกันได้ 10 ซึ่งก็คือ 2 และ 5 โดยไม่ต้องคำนวณดิสคริมิแนนต์เลย

การสุ่มเลขตามทฤษฎีบทของเวียตมีประโยชน์เมื่อคำตอบเป็นจำนวนเต็มและมีค่าไม่มาก และยังใช้ตรวจสอบคำตอบที่หาได้จากดิสคริมิแนนต์ได้ฟรีๆ: ผลรวมต้องได้ $-p$ และผลคูณต้องได้ $q$ สูตรสำหรับรูปแบบทั่วไป ทฤษฎีบทผกผัน และอัลกอริทึมการสุ่มเลขมีอธิบายไว้ในเนื้อหาแยกต่างหาก — ทฤษฎีบทของเวียต

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

หากหาคำตอบ $x_1$ และ $x_2$ ได้แล้ว พหุนามกำลังสองจะแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).\]

ห้ามลืมตัวคูณ $a$ เพราะถ้าไม่มีมัน ความเท่ากันจะไม่เป็นจริง การตรวจสอบการแยกตัวประกอบทำได้ง่ายเสมอ: แค่กระจายวงเล็บแล้วเทียบกับพหุนามตั้งต้น เช่น $x^2 + 2x - 8$ มีคำตอบคือ 2 และ $-4$ ดังนั้น $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$

วิธีกลับกันก็ใช้ได้: หากแยกตัวประกอบพหุนามได้ในใจ คำตอบจะปรากฏทันทีโดยไม่ต้องใช้ดิสคริมิแนนต์ ที่นี่ สูตรกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง จะช่วยได้มาก เช่น $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ ให้คำตอบ $4$ และ $-4$ ทันที

วิธีที่สามในการเลี่ยงสูตรหาคำตอบคือ การจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ ใน $x^2 + 6x + 5 = 0$ สองพจน์แรกจะถูกเติมให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: $(x + 3)^2 - 9 + 5 = 0$ นั่นคือ $(x + 3)^2 = 4$ ซึ่งจะได้ $x + 3 = \pm 2$ และ $x = -1$ หรือ $x = -5$ นี่คือวิธีที่ใช้พิสูจน์สูตรหาคำตอบในรูปแบบทั่วไป

สมการที่ลดรูปเป็นสมการกำลังสอง: สมการไบควัลดราติก

สมการไบควัลดราติก อยู่ในรูป $ax^4 + bx^2 + c = 0$: เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่เท่านั้น แก้ได้โดยการแทนค่า $t = x^2$ โดยต้องมีเงื่อนไข $t \ge 0$ เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่มีทางติดลบ

หลังการแทนค่าจะได้สมการกำลังสองปกติ $at^2 + bt + c = 0$ ให้แก้ด้วยดิสคริมิแนนต์ จากนั้นสำหรับคำตอบ $t$ ที่ ไม่เป็นลบ แต่ละค่า ให้ย้อนกลับไปหา $x = \pm\sqrt{t}$ จึงเป็นที่มาของจำนวนคำตอบ: สูงสุดสี่คำตอบ

ตัวอย่างเช่น $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ หลังแทนค่าจะได้ $t^2 - 5t + 4 = 0$ ซึ่งมีคำตอบ $t = 1$ และ $t = 4$ ทั้งคู่เป็นบวก ดังนั้น $x = \pm 1$ และ $x = \pm 2$ รวมเป็นสี่คำตอบ หากค่า $t$ ค่าใดค่าหนึ่งติดลบ ก็แค่ตัดทิ้งไป

วิธีเดียวกันนี้ยังใช้แก้สมการเศษส่วน (หลังทำส่วนให้เท่ากันและตัดค่าที่ห้ามเป็นศูนย์ออก) และสมการที่แทนค่าในรูป $t = x^2 + 3x$

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง 1. สมการสมบูรณ์, D > 0

แก้สมการ $3x^2 - 7x + 2 = 0$

ขั้นที่ 1. สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐานแล้ว: $a = 3, b = -7, c = 2$

ขั้นที่ 2. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ — มี 2 คำตอบ

ขั้นที่ 3. $\sqrt{D} = 5$ ดังนั้น $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$: $x_1 = \dfrac{12}{6} = 2, x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบโดยการแทนค่า. $3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$; $3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0$

คำตอบ: $x_1 = 2, x_2 = \dfrac{1}{3}$

ตัวอย่าง 2. ดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์

แก้สมการ $4x^2 - 12x + 9 = 0$

ขั้นที่ 1. $a = 4, b = -12, c = 9$

ขั้นที่ 2. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ — มี 1 คำตอบ

ขั้นที่ 3. $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1.5$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบ. $4 \cdot 1.5^2 - 12 \cdot 1.5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

คำตอบ: $x = 1.5$ สังเกต: ฝั่งซ้ายคือ $(2x - 3)^2$ จึงได้คำตอบเดียว

ตัวอย่าง 3. ดิสคริมิแนนต์ติดลบ

แก้สมการ $2x^2 + 3x + 5 = 0$

ขั้นที่ 1. $a = 2, b = 3, c = 5$

ขั้นที่ 2. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$

ขั้นที่ 3. ดิสคริมิแนนต์ติดลบ หมายความว่าไม่สามารถถอด $\sqrt{D}$ ในจำนวนจริงได้ ไม่ต้องใช้สูตรหาคำตอบ — การแก้โจทย์จบลงตรงนี้

คำตอบ: ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง นี่คือคำตอบที่สมบูรณ์ ไม่ใช่สัญญาณของความผิดพลาด กราฟของฟังก์ชัน $y = 2x^2 + 3x + 5$ ไม่ตัดแกน $x$

ตัวอย่าง 4. สมการไม่สมบูรณ์รูปแบบ ax² + c = 0

แก้สมการ $3x^2 - 27 = 0$

ขั้นที่ 1. ย้ายพจน์คงตัว: $3x^2 = 27$

ขั้นที่ 2. หารด้วย 3: $x^2 = 9$

ขั้นที่ 3. กำลังสองเท่ากับ 9 มีสองจำนวน: $x = 3$ และ $x = -3$ จุดที่ลืมเครื่องหมายที่สองบ่อยที่สุด

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบ. $3 \cdot 3^2 - 27 = 0$; $3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0$

คำตอบ: $x_1 = 3, x_2 = -3$ เปรียบเทียบกับ $2x^2 + 8 = 0$: ที่นั่น $x^2 = -4$ จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่าง 5. สมการไม่สมบูรณ์รูปแบบ ax² + bx = 0

แก้สมการ $5x^2 - 15x = 0$

ขั้นที่ 1. ดึงตัวร่วม: $5x(x - 3) = 0$

ขั้นที่ 2. ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์: $5x = 0$ หรือ $x - 3 = 0$

ขั้นที่ 3. ดังนั้น $x_1 = 0, x_2 = 3$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบ. $5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0$; $5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0$

คำตอบ: $x_1 = 0, x_2 = 3$ หากหารสมการตั้งต้นด้วย $x$ จะเหลือแค่ $x = 3$ — คำตอบ $x = 0$ จะหายไป ห้ามหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า

ตัวอย่าง 6. สัมประสิทธิ์ตัวที่สองเป็นเลขคู่

แก้สมการ $5x^2 - 22x + 8 = 0$

ขั้นที่ 1. $b = -22$ เป็นเลขคู่ ดังนั้น $k = -11, a = 5, c = 8$

ขั้นที่ 2. $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81, \sqrt{D_1} = 9$

ขั้นที่ 3. $x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}$: $x_1 = 4, x_2 = \dfrac{2}{5} = 0.4$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบ. $5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0$; $5 \cdot 0.4^2 - 22 \cdot 0.4 + 8 = 0.8 - 8.8 + 8 = 0$

คำตอบ: $x_1 = 4, x_2 = 0.4$ ดิสคริมิแนนต์ปกติจะได้ $D = 324$ — ได้คำตอบเดิม แต่ต้องคำนวณนานกว่า

ตัวอย่าง 7. จัดรูปให้เป็นรูปแบบมาตรฐานก่อน

แก้สมการ $(x - 3)(x + 5) = 9$

ขั้นที่ 1. กระจายวงเล็บ: $x^2 + 5x - 3x - 15 = 9$ นั่นคือ $x^2 + 2x - 15 = 9$

ขั้นที่ 2. ย้าย 9 มาฝั่งซ้าย: $x^2 + 2x - 24 = 0$ ถึงตอนนี้ค่อยระบุสัมประสิทธิ์: $a = 1, b = 2, c = -24$

ขั้นที่ 3. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \sqrt{D} = 10, x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}$: $x_1 = 4, x_2 = -6$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบในสมการตั้งต้น. $(4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9$; $(-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9$

คำตอบ: $x_1 = 4, x_2 = -6$ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการจับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 9: กฎ "ผลคูณเป็นศูนย์" ใช้ได้กับศูนย์เท่านั้น

ตัวอย่าง 8. การแยกตัวประกอบพหุนาม

แยกตัวประกอบ $2x^2 - 5x - 3$

ขั้นที่ 1. จับพหุนามเท่ากับศูนย์แล้วหาคำตอบ: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49, \sqrt{D} = 7, x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3, x_2 = -\dfrac{1}{2}$

ขั้นที่ 2. แทนในสูตร $a(x - x_1)(x - x_2)$: $2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)$

ขั้นที่ 3. นำ 2 เข้าไปคูณในวงเล็บที่สอง: $(x - 3)(2x + 1)$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบโดยการกระจายวงเล็บ. $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$

คำตอบ: $2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)$

ตัวอย่าง 9. สมการไบควัลดราติก

แก้สมการ $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

ขั้นที่ 1. แทนค่า $t = x^2$ โดย $t \ge 0$ สมการจะกลายเป็น $t^2 - 13t + 36 = 0$

ขั้นที่ 2. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25, \sqrt{D} = 5, t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$: $t_1 = 9, t_2 = 4$

ขั้นที่ 3. ทั้งสองค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นย้อนกลับไปหา $x$: จาก $x^2 = 9$ ได้ $x = \pm 3$, จาก $x^2 = 4$ ได้ $x = \pm 2$

ขั้นที่ 4. ตรวจสอบ. $3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0$; $2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$ สำหรับค่าลบ เลขชี้กำลังคู่จะได้ผลลัพธ์เท่าเดิม

คำตอบ: $x = \pm 2$ และ $x = \pm 3$ — สี่คำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแก้สมการกำลังสอง

คำนวณดิสคริมิแนนต์โดยไม่จัดรูปสมการให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน: สำหรับ $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ มักจะใช้ $a = 2, b = 3, c = 0$ ทันที

ต้องย้ายทุกอย่างมาฝั่งซ้ายและรวมพจน์ที่คล้ายกันก่อน: $2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0$ นั่นคือ $x^2 + 3x - 5 = 0$ ถึงจะได้ $a = 1, b = 3, c = -5$ สูตรหาคำตอบใช้ได้กับรูปแบบมาตรฐานเท่านั้น
ลืมเครื่องหมายเมื่อยกกำลังสอง $b$: สำหรับ $x^2 - 9x + 14 = 0$ มักเขียน $D = -81 - 56$

กำลังสองของเลขใดๆ ต้องไม่เป็นลบ: $(-9)^2 = 81$ ไม่ใช่ $-81$ ที่ถูกต้องคือ $D = 81 - 56 = 25$ คำตอบคือ $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$ คือ 7 และ 2 ตรวจสอบ: $49 - 63 + 14 = 0$ และ $4 - 18 + 14 = 0$
ในตัวเศษทิ้ง $b$ ไว้แทนที่จะเป็น $-b$: สำหรับ $x^2 + 5x - 6 = 0$ มักคำนวณ $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$

ในสูตรคือ $-b$ ดังนั้นเมื่อ $b = 5$ ในตัวเศษต้องเป็น $-5$: $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$ ซึ่งจะได้ $x_1 = 1, x_2 = -6$ ตรวจสอบยืนยัน: $1 + 5 - 6 = 0$ และ $36 - 30 - 6 = 0$
เมื่อ $D = 0$ มักเขียนว่า "ไม่มีคำตอบ": สำหรับ $x^2 + 14x + 49 = 0$ ดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ แล้วหยุดแก้โจทย์

ไม่มีคำตอบเฉพาะเมื่อ $D < 0$ เมื่อ $D = 0$ มี 1 คำตอบ: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7$ ตรวจสอบ: $49 - 98 + 49 = 0$
หารสมการ $4x^2 - 9x = 0$ ด้วย $x$ แล้วได้คำตอบเดียวคือ $x = 2.25$

ห้ามหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร: $x$ อาจเป็นศูนย์ และคำตอบ $x = 0$ จะหายไป ที่ถูกต้องคือดึงตัวร่วม: $x(4x - 9) = 0$ ซึ่งจะได้ $x_1 = 0$ และ $x_2 = 2.25$ ตรวจสอบ: $4 \cdot 2.25^2 - 9 \cdot 2.25 = 20.25 - 20.25 = 0$
ในสมการ $x^2 = 16$ เขียนแค่ $x = 4$

กำลังสองเท่ากับ 16 ยังมีเลข $-4$ อีกตัว ต้องเขียนทั้งสองคำตอบ: $x = \pm 4$ ปลอดภัยกว่าถ้าแก้ผ่านรูปแบบมาตรฐาน $x^2 - 16 = 0$ นั่นคือ $(x - 4)(x + 4) = 0$ — จะเห็นทั้งสองตัวประกอบทันที
ไม่ตรวจสอบเงื่อนไข $a \neq 0$ ในสมการที่มีตัวแปรเสริม: ใน $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ มักคำนวณดิสคริมิแนนต์ทันที

เมื่อ $m = 2$ สัมประสิทธิ์นำจะเป็นศูนย์ และสมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น $3x - 1 = 0$ ซึ่งมีคำตอบเดียวคือ $x = \dfrac{1}{3}$ กรณี $m = 2$ ต้องแยกพิจารณา และใช้สูตรหาคำตอบเฉพาะเมื่อ $m \neq 2$

คำถามและคำตอบ

สมการกำลังสองคืออะไร?

คือสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ โดยที่ $a, b, c$ เป็นตัวเลขและ $a \neq 0$ ตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่ในกำลังสอง ดังนั้นอาจมี 2 คำตอบ, 1 คำตอบ หรือไม่มีเลย

รูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสองเป็นอย่างไร?

รูปแบบมาตรฐาน (ทั่วไป) คือ $ax^2 + bx + c = 0$: พจน์ทั้งหมดรวมอยู่ฝั่งซ้ายเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย ฝั่งขวาเป็นศูนย์ สมการกำลังสองทุกสมการต้องจัดให้อยู่ในรูปนี้ก่อนคำนวณดิสคริมิแนนต์

วิธีหาค่าดิสคริมิแนนต์ทำอย่างไร?

ใช้สูตร $D = b^2 - 4ac$ โดยแทนค่าสัมประสิทธิ์พร้อมเครื่องหมาย เช่น สำหรับ $x^2 + 3x - 10 = 0$ จะได้ $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ และคำตอบคือ $\dfrac{-3 \pm 7}{2}$ คือ 2 และ $-5$

สูตรหาคำตอบของสมการกำลังสองคืออะไร?

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ หรือสั้นๆ คือ $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ใช้เมื่อ $D \ge 0$ ในตัวส่วนต้องเป็น $2a$ ไม่ใช่ 2

สมการกำลังสองมีได้กี่คำตอบ?

ไม่เกินสองคำตอบ เมื่อ $D > 0$ มี 2 คำตอบ, เมื่อ $D = 0$ มี 1 คำตอบ (คำตอบซ้ำ), เมื่อ $D < 0$ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์คืออะไร?

คือสมการที่ $b = 0, c = 0$ หรือทั้งคู่: $ax^2 + c = 0, ax^2 + bx = 0, ax^2 = 0$ ทั้งสามรูปแบบแก้ได้โดยไม่ต้องใช้ดิสคริมิแนนต์ — โดยการย้ายข้างหรือดึง $x$ เป็นตัวร่วม

วิธีแก้สมการกำลังสองโดยไม่ใช้ดิสคริมิแนนต์ทำอย่างไร?

มี 3 วิธี: สุ่มคำตอบตามทฤษฎีบทของเวียตสำหรับสมการมอนิก, การแยกตัวประกอบ และการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ วิธีที่เร็วที่สุดคือการสุ่มเมื่อคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่มีค่าไม่มาก

ถ้าดิสคริมิแนนต์ติดลบต้องทำอย่างไร?

เขียนว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง แล้วจบการแก้โจทย์ ดิสคริมิแนนต์ติดลบเป็นคำตอบปกติ: กราฟของพาราโบลาที่เกี่ยวข้องไม่ตัดแกน $x$ คำตอบในกรณีนี้จะมีเฉพาะในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งจะเรียนในภายหลัง

วิธีตรวจสอบคำตอบที่หาได้ทำอย่างไร?

แทนค่าคำตอบแต่ละตัวลงในสมการตั้งต้น — ต้องได้ความเท่ากันที่เป็นจริง สำหรับสมการมอนิกยังมีวิธีตรวจสอบเร็วๆ ตามทฤษฎีบทของเวียต: ผลรวมคำตอบเท่ากับ $-p$, ผลคูณเท่ากับ $q$

สมการกำลังสองและสมการควอดราติกคือสิ่งเดียวกันไหม?

ใช่ เป็นชื่อเรียกสองชื่อของวัตถุเดียวกันคือ $ax^2 + bx + c = 0$ อย่าสับสนกับฟังก์ชันกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$: คำตอบของสมการคือค่า $x$ ที่กราฟของฟังก์ชันตัดแกน $x$

สมการกำลังสองเรียนตอน ม. ไหน?

เรียนในวิชาพีชคณิต ม. 2 หรือ ม. 3: เริ่มจากสมการไม่สมบูรณ์, ดิสคริมิแนนต์, สูตรหาคำตอบ และทฤษฎีบทของเวียต หลังจากนั้นจะพบในเรื่องฟังก์ชันกำลังสอง, อสมการ, และโจทย์สอบเข้า

ยังมีคำถามอยู่ไหม? คุยต่อในแชทได้เลย

แก้สมการของฉัน ตรวจสอบวิธีแก้ของฉัน มีกี่คำตอบ? แยกตัวประกอบ อธิบายสมการไม่สมบูรณ์ ให้โจทย์ฝึกฝนหน่อย

ผู้ใช้ #4365351

ฉันชอบโปรแกรมแก้ไขข้อความบนรูปภาพมาก ผลลัพธ์ออกมาเป็นผลงานชิ้นเอกเลย

Web · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4383661

ขอบคุณนะ ผลงานของ AI ทำให้ฉันประทับใจมาก สมบูรณ์แบบ!

ผู้ใช้ #4279467

ฉันชอบมากเลย ถ้ามีสิทธิ์ใช้งานฟรีเพิ่มอีกสักหน่อยจะดีมาก

Google Play · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4160129

เป็นแอปที่ยอดเยี่ยมและราคาจับต้องได้