วิธีแก้สัดส่วน: คุณสมบัติพื้นฐานและการแก้โจทย์

อัตราส่วน ของจำนวนสองจำนวน คือ ผลหารของจำนวนเหล่านั้น อัตราส่วน \(2:3\) (อ่านว่า "สองต่อสาม") แสดงให้เห็นว่าจำนวนหนึ่งมากกว่าอีกจำนวนหนึ่งกี่เท่า หรือจำนวนหนึ่งเป็นเศษส่วนเท่าใดของอีกจำนวนหนึ่ง สามารถเขียนได้สองวิธี คือ \(2:3\) หรือในรูปเศษส่วน \(\frac{2}{3}\) ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน

สัดส่วน คือ ความเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน:

ในสัดส่วนจะมีตัวเลขทั้งหมดสี่ตัว และแต่ละตัวก็มีชื่อเรียก ตัวเลขที่อยู่ริมสุดเรียกว่า พจน์นอก ส่วนตัวเลขที่อยู่ตรงกลางเรียกว่า พจน์ใน สัดส่วนจะเป็นจริงเมื่ออัตราส่วนทั้งสองเท่ากัน

คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน: ผลคูณของพจน์นอกเท่ากับผลคูณของพจน์ใน

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? คูณทั้งสองข้างของสมการ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ด้วย \(b \cdot d\) ตัว \(b\) จะตัดกันทางซ้าย และตัว \(d\) จะตัดกันทางขวา ทำให้เหลือเพียง \(a \cdot d = c \cdot b\) ไม่มีเวทมนตร์ใดๆ เป็นเพียงคุณสมบัติปกติของสมการ

นี่คือสิ่งที่นักเรียนเรียกว่า "การแก้สัดส่วนแบบคูณไขว้": ตัวเลขจะถูกคูณตามแนวทแยงมุม ไขว้กัน คุณสมบัตินี้ใช้ได้ในทางกลับกัน: ถ้าสำหรับจำนวนสี่จำนวน (ที่ไม่มีจำนวนใดเป็นศูนย์) เป็นจริงว่า \(a \cdot d = b \cdot c\) เราก็สามารถสร้างสัดส่วนที่ถูกต้องจากจำนวนเหล่านั้นได้

จากตรงนี้ เราจะได้ทักษะสองอย่างทันที: ตรวจสอบ ว่าสัดส่วนถูกต้องหรือไม่ และ หา จำนวนที่ไม่ทราบค่าในสัดส่วนนั้น

จากคุณสมบัติพื้นฐาน เราจะได้กฎสั้นๆ สองข้อ:

• พจน์นอกที่ไม่ทราบค่า = ผลคูณของพจน์ใน : พจน์นอกที่ทราบค่า;
• พจน์ในที่ไม่ทราบค่า = ผลคูณของพจน์นอก : พจน์ในที่ทราบค่า.

ไม่จำเป็นต้องจำกฎเหล่านี้ก็ได้ แค่ใช้เทคนิคเดียวที่ครอบคลุม คือ คูณไขว้ แล้วจะได้สมการ "จำนวน \(\cdot\, x\) = จำนวน" จากนั้นก็หารออก เราจะแสดงทีละขั้นตอนด้วยสัดส่วน \(x : 7 = 12 : 21\).

ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบ ใช้เวลาห้าวินาทีและช่วยจับข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ได้เกือบทั้งหมด ดังนั้นจึงไม่ควรมองข้าม

ปริมาณสองปริมาณจะมีความสัมพันธ์แบบ แปรผันตรง ถ้าเมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าใด อีกปริมาณหนึ่งก็จะเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่ากัน เช่น ซื้อสมุดสองเท่า ก็ต้องจ่ายเงินสองเท่า ปริมาณเหล่านี้จะมี อัตราส่วน คงที่

ปริมาณจะมีความสัมพันธ์แบบ แปรผกผัน ถ้าเมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าใด อีกปริมาณหนึ่งจะลดลงเป็นจำนวนเท่ากัน เช่น คนงานมากขึ้นสองเท่า ก็ใช้เวลาทำงานน้อยลงสองเท่า ปริมาณเหล่านี้จะมี ผลคูณ คงที่

ข้อแตกต่างหลักจะเห็นได้ชัดเมื่อเราเขียนสัดส่วน สำหรับความสัมพันธ์แบบแปรผันตรง สัดส่วนจะเขียนตามปกติ: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) สำหรับความสัมพันธ์แบบผกผัน อัตราส่วนที่สองจะ กลับเศษเป็นส่วน: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? สำหรับความสัมพันธ์แบบผกผัน ผลคูณคงที่: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\) หารทั้งสองข้างด้วย \(a_2 \cdot b_1\) จะได้ \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) ดังนั้น การ "กลับเศษเป็นส่วน" ไม่ใช่คาถาที่ต้องจำ แต่เป็นผลมาจากการที่ผลคูณคงที่ ไม่ใช่อัตราส่วน

โจทย์ปัญหา "เกี่ยวกับสัดส่วน" แก้ไขได้ตามสถานการณ์เดียวกัน:

1. เขียนเงื่อนไขออกเป็นสองคอลัมน์ โดยให้ปริมาณที่เหมือนกันอยู่ใต้กัน (ส่วนผสมใต้ส่วนผสม, กรัมใต้กรัม)
2. กำหนดสิ่งที่ต้องการหาด้วย \(x\)
3. ระบุประเภทของความสัมพันธ์: ลองนึกภาพว่าเพิ่มปริมาณแรกเป็นสองเท่า แล้วดูว่าปริมาณที่สองเพิ่มขึ้นหรือลดลง
4. สร้างสัดส่วน - สำหรับความสัมพันธ์แบบผกผัน ให้กลับอัตราส่วนที่สอง
5. แก้ปัญหาแบบคูณไขว้ และตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่

เราจะแสดงด้วยสูตรอาหาร สำหรับ 4 ส่วนของแพนเค้ก ต้องใช้แป้ง 300 กรัม - ต้องใช้แป้งกี่กรัมสำหรับ 6 ส่วน? จำนวนส่วนมากขึ้น แสดงว่าต้องใช้แป้งมากขึ้น: ความสัมพันธ์เป็นแบบแปรผันตรง สัดส่วนจะเขียนตามปกติ:

สำหรับ 6 ส่วน ต้องใช้แป้ง 450 กรัม คำตอบสมเหตุสมผล: จำนวนส่วนเพิ่มขึ้น 1.5 เท่า และต้องใช้แป้งเพิ่มขึ้น 1.5 เท่า

โจทย์เกี่ยวกับมาตราส่วน (ระยะทางบนแผนที่ต่อระยะทางจริง เหมือนกับ 1 ต่อตัวเลขมาตราส่วน) และราคา (ปริมาณสินค้าต่อปริมาณ เหมือนกับราคาต่อราคา) ก็แก้ได้เช่นเดียวกัน การวิเคราะห์ฉบับเต็มอยู่ในตัวอย่างด้านล่าง

เปอร์เซ็นต์ คือ ส่วนร้อยของจำนวน ดังนั้น โจทย์ง่ายๆ เกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ทุกข้อจะกลายเป็นสัดส่วน:

ในสัดส่วนนี้ มีค่าที่ไม่ทราบค่าอยู่หนึ่งค่า ซึ่งเราจะหาโดยการคูณไขว้

หาค่าส่วน: 15% ของ 240 คือเท่าไร? สร้างสัดส่วน \(x : 240 = 15 : 100\) ดังนั้น \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) และ \(x = 36\)

หาค่าทั้งหมด: จำนวน 21 คิดเป็น 35% ของจำนวนใดจำนวนหนึ่ง สร้างสัดส่วน \(21 : x = 35 : 100\) ดังนั้น \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) และ \(x = 60\)

หาค่าเปอร์เซ็นต์: 18 คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 45? สร้างสัดส่วน \(18 : 45 = p : 100\) ดังนั้น \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) และ \(p = 40\) นั่นคือ 40%

เทคนิคเดียวใช้ได้กับโจทย์สามประเภท ไม่ต้องจำอะไรเพิ่มเติม สิ่งที่ต้องแยกต่างหากคือคำถาม "เพิ่มขึ้นหรือลดลงกี่เปอร์เซ็นต์": ในกรณีนี้ ให้หาการเปลี่ยนแปลงก่อน แล้วจึงหารด้วยค่า เริ่มต้น - นี่คือสูตรการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ ไม่ใช่สัดส่วนธรรมดา