รากที่สองของจำนวน \(a\) คือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้ \(a\) และ รากที่สองเชิงเลขคณิต หมายถึงค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น: \(\sqrt{25} = 5\) การถอดรากสามารถทำได้เฉพาะกับจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แต่สมบัติของรากจะเปลี่ยนนิพจน์ที่ซับซ้อนให้สั้นลง ในหน้านี้ - คำนิยามและโดเมน สมบัติทั้งหมดของรากที่สองพร้อมสูตร ตารางรากที่สองตั้งแต่ 1 ถึง 20 เทคนิคการถอดรากและการดึงตัวประกอบออก ตัวอย่างที่อธิบาย ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบฝึกหัดแบบโต้ตอบ
รากที่สองของจำนวนคืออะไร
รากที่สองของจำนวน \(a\) คือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้ \(a\) การถอดรากและการยกกำลังสองเป็นการดำเนินการผกผันซึ่งกันและกัน: จาก \(7^2 = 49\) จะได้ทันทีว่ารากที่สองของ 49 คือ 7
แต่จำนวนบวกมีรากที่สอง สองราก ซึ่งต่างกันที่เครื่องหมายเท่านั้น: \(5^2 = 25\) และ \((-5)^2 = 25\) นั่นคือ รากที่สองของ 25 คือทั้ง 5 และ -5 เพื่อให้สัญลักษณ์ \(\sqrt{25}\) หมายถึงจำนวนเดียวเท่านั้น ได้ตกลงกันว่า: สัญลักษณ์ \(\sqrt{\phantom{a}}\) ใช้เขียนเฉพาะราก ที่ไม่เป็นลบ เท่านั้น ซึ่งเรียกว่ารากเชิงเลขคณิต
สัญลักษณ์นี้มีชื่อเรียก: เครื่องหมาย \(\sqrt{\phantom{a}}\) คือ เครื่องหมายกรณฑ์ และจำนวนหรือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายนั้นคือ นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์
รากที่สองเชิงเลขคณิต: คำนิยามและโดเมน
รากที่สองเชิงเลขคณิตของจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(a\) คือจำนวนที่ไม่เป็นลบที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้ \(a\) เขียนแทนด้วย \(\sqrt{a}\) และอ่านว่า "รากของเอ"
ในคำนิยามมีเงื่อนไขสองข้อ และทั้งสองข้อมีความสำคัญเท่ากัน:
- นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ต้องไม่เป็นลบ: \(a \ge 0\);
- ค่าของรากต้องไม่เป็นลบ: \(\sqrt{a} \ge 0\).
จากเงื่อนไขนี้ เราจะได้ทันทีว่า \(\sqrt{25} = 5\) ไม่ใช่ \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); และสัญลักษณ์ \(\sqrt{-9}\) ไม่มีค่าในระบบจำนวนจริง - ไม่มีจำนวนใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้จำนวนลบ
เงื่อนไขแรกกำหนด โดเมน ของนิพจน์ที่มีราก เช่น \(\sqrt{x-7}\) จะมีความหมายเมื่อ \(x - 7 \ge 0\) นั่นคือเมื่อ \(x \ge 7\): ค่า \(x\) ที่น้อยกว่านั้นจะทำให้เกิดจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์
จากคำนิยามยังได้ความสัมพันธ์ \((\sqrt{a})^2 = a\) เมื่อ \(a \ge 0\): การยกกำลังสองของรากจะทำให้ได้จำนวนเดิมภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งใช้ได้แม้ว่าเราจะไม่สามารถคำนวณค่ารากได้ก็ตาม: \((\sqrt{31})^2 = 31\)
ตารางรากที่สอง: กำลังสองของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 20
รากจะถูกถอดออกเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็น กำลังสองสมบูรณ์ เท่านั้น ดังนั้น ตารางกำลังสองจึงใช้เป็นตารางรากที่สองได้ด้วย: อ่านได้สองทาง - \(14^2 = 196\) ดังนั้น \(\sqrt{196} = 14\)
ตารางนี้มีประโยชน์ไม่เพียงแค่กับจำนวนเต็มเท่านั้น:
- ทศนิยม: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) เพราะ \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- เศษส่วนสามัญ: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - ถอดรากแยกกันสำหรับตัวเศษและตัวส่วน;
- จำนวนกลม: \(\sqrt{2500} = 50\) เพราะ \(2500 = 25 \cdot 100\) และเรารู้รากของแต่ละตัวประกอบ
สมบัติของรากที่สอง
สมบัติของรากที่สองช่วยให้คำนวณนิพจน์ได้โดยไม่ต้องถอดรากแต่ละตัวแยกกัน และทำให้คำตอบง่ายขึ้น
รากของผลคูณ เท่ากับผลคูณของราก: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) เมื่อ \(a \ge 0\) และ \(b \ge 0\) ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) ซึ่งเป็นคำตอบเดียวกับ \(\sqrt{144}\)
รากของผลหาร เท่ากับผลหารของราก: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) เมื่อ \(a \ge 0\) และ \(b > 0\) ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\) เงื่อนไข \(b > 0\) เป็นเงื่อนไขที่เข้มงวด: ห้ามหารด้วยศูนย์
รากของกำลังสอง เท่ากับค่าสัมบูรณ์: \(\sqrt{a^2} = |a|\) และเป็นจริงสำหรับจำนวน \(a\) ใดๆ นี่คือประเด็นหลักที่สำคัญที่สุดของหัวข้อนี้ หาก \(a \ge 0\) จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง: \(\sqrt{7^2} = 7\) แต่ถ้า \(a\) เป็นลบ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\) ไม่ใช่ \(-6\) เพราะรากเชิงเลขคณิตไม่สามารถเป็นลบได้
กำลังสองของราก จะได้จำนวนเดิมภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \((\sqrt{a})^2 = a\) เมื่อ \(a \ge 0\)
แต่สำหรับผลบวกและผลต่าง ไม่มีสมบัติที่คล้ายกัน: รากของผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของราก นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้ จะอธิบายไว้ด้านล่าง
| สมบัติและเงื่อนไข | ตัวอย่าง |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bเมื่อ a ≥ 0 และ b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bเมื่อ a ≥ 0 และ b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|เมื่อ a ใดๆ | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aเมื่อ a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bเมื่อ b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
วิธีถอดรากที่สองของจำนวน
เครื่องคิดเลขอาจจะไม่ได้อยู่กับเราเสมอไป แต่งานโรงเรียนส่วนใหญ่มักจะออกแบบมาให้ถอดรากได้ ขั้นตอนมีดังนี้
- ตรวจสอบจากตารางกำลังสอง หากจำนวนนั้นอยู่ในตาราง คำตอบก็พร้อมแล้ว: \(\sqrt{289} = 17\)
- แยกตัวประกอบที่เป็นจำนวนกลม สำหรับจำนวนที่มีเลขศูนย์ ควรแยก \(100\), \(10,000\) ออกมา: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)
- แยกตัวประกอบเฉพาะ นี่เป็นเทคนิคสากล: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\) หารเลขชี้กำลังด้วยสอง แล้วจะได้ \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\)
- แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\) วิธีนี้ยังช่วยป้องกันการสูญเสียหลักได้ด้วย
- หากไม่มีกำลังสองสมบูรณ์ - รากจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ในกรณีนี้ จะปล่อยสัญลักษณ์ไว้ในคำตอบ (เขียนว่า \(\sqrt{30}\)) หรือประมาณค่าระหว่างกำลังสองที่อยู่ติดกัน
การตรวจสอบใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาที: นำจำนวนที่ได้มายกกำลังสอง แล้วดูว่าได้จำนวนเดิมภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์หรือไม่ \(24^2 = 576\) - ถูกต้อง
การดึงตัวประกอบออกจากเครื่องหมายกรณฑ์
รากมักจะไม่ได้ถูกปล่อยทิ้งไว้ 'ดิบๆ' - เราจะดึงทุกอย่างที่ถอดรากได้ออกมา สมบัติ \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) เมื่อ \(b \ge 0\) ใช้ได้: เรามองหา ตัวหารที่เป็นกำลังสองที่มากที่สุด ของจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
การดำเนินการย้อนกลับคือ การใส่ตัวประกอบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) เมื่อ \(a \ge 0\) ตัวอย่างเช่น \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
ต้องระมัดระวังกับตัวประกอบที่เป็นลบ: เครื่องหมายลบไม่สามารถเข้าไปอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ได้ และจะยังคงอยู่ข้างนอก การเขียนที่ถูกต้องคือ \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\) ไม่ใช่ \(\sqrt{12}\)
ทำไมต้องทำเช่นนี้: หลังจากดึงตัวประกอบออก รากที่มีนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เหมือนกันจะกลายเป็นพจน์ที่คล้ายกัน และสามารถนำมารวมกันได้ ส่วนการใส่ตัวประกอบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการเปรียบเทียบสองนิพจน์ที่มีราก
รากที่สองที่ไม่สามารถถอดออกได้มีค่าเท่าใด
หากจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากจะเป็น จำนวนอตรรกยะ: การเขียนทศนิยมจะไม่มีที่สิ้นสุดและไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\) และค่าที่แน่นอนจะเขียนด้วยสัญลักษณ์ \(\sqrt{2}\) เท่านั้น คำตอบที่ประมาณค่าจะเขียนก็ต่อเมื่อมีการร้องขอในโจทย์เท่านั้น
สามารถประมาณค่ารากดังกล่าวได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข: หาจำนวนกำลังสองสมบูรณ์สองจำนวนที่อยู่ติดกัน ซึ่งจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์อยู่ระหว่างนั้น กฎการเปรียบเทียบใช้ได้: สำหรับ \(a \ge 0\) และ \(b \ge 0\) จาก \(a < b\) จะได้ \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - จำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ที่มากกว่าจะให้รากที่มากกว่า
ตัวอย่างการคำนวณด้วยรากที่สอง
ตัวอย่างที่ 1. ค่าของนิพจน์ที่มีราก
คำนวณ \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\)
ขั้นตอนที่ 1 \(\sqrt{121} = 11\) เพราะ \(11^2 = 121\)
ขั้นตอนที่ 2 \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) เพราะ \(0{,}6^2 = 0{,}36\)
ขั้นตอนที่ 3 ถอดรากของเศษส่วนโดยใช้ตัวเศษและตัวส่วน: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
ขั้นตอนที่ 4 บวกเข้าด้วยกัน: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)
คำตอบ: 11
ตัวอย่างที่ 2. รากของผลคูณ
คำนวณ \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\)
ขั้นตอนที่ 1 รากแต่ละตัวไม่สามารถถอดออกได้ ดังนั้นจึงรวมเป็นรากเดียว: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\)
ขั้นตอนที่ 2 คำนวณผลคูณภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(8 \cdot 18 = 144\)
ขั้นตอนที่ 3 \(\sqrt{144} = 12\)
อีกวิธีหนึ่ง คือการดึงตัวประกอบออกล่วงหน้า: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) และ \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) ดังนั้น \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\) คำตอบตรงกัน
คำตอบ: 12
ตัวอย่างที่ 3. การถอดรากโดยการแยกตัวประกอบ
คำนวณ \(\sqrt{576}\) และ \(\sqrt{6400}\)
ขั้นตอนที่ 1 จำนวน 576 ไม่อยู่ในตารางกำลังสอง ดังนั้นจึงแยกตัวประกอบเฉพาะ: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)
ขั้นตอนที่ 2 หารเลขชี้กำลังด้วยสอง: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\)
ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบ \(24^2 = 576\) - ถูกต้อง
ขั้นตอนที่ 4 สำหรับจำนวน 6400 สะดวกกว่าที่จะแยกตัวประกอบที่เป็นจำนวนกลม: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\) ตรวจสอบ: \(80^2 = 6400\)
คำตอบ: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\)
ตัวอย่างที่ 4. การดึงตัวประกอบและการรวมพจน์ที่คล้ายกัน
ทำให้ง่ายขึ้น \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\)
ขั้นตอนที่ 1 ดึงตัวประกอบออกจากรากแต่ละตัว: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\) ดังนั้น \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\)
ขั้นตอนที่ 2 \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)
ขั้นตอนที่ 3 \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
ขั้นตอนที่ 4 สามารถบวกได้เฉพาะรากที่มีนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เหมือนกันเท่านั้น: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\) ส่วนพจน์ที่มี \(\sqrt{3}\) จะยังคงแยกต่างหาก
คำตอบ: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\)
ตัวอย่างที่ 5. รากของกำลังสองที่มีตัวแปร
ทำให้ง่ายขึ้น \(\sqrt{(x-4)^2}\) เมื่อ \(x < 4\)
ขั้นตอนที่ 1 ตามสมบัติของรากของกำลังสอง \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - เขียนค่าสัมบูรณ์ทันที ไม่ใช่ \(x - 4\)
ขั้นตอนที่ 2 เปิดค่าสัมบูรณ์ตามเงื่อนไข หาก \(x < 4\) ผลต่าง \(x - 4\) จะเป็นลบ และค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบคือจำนวนตรงข้าม: \(|x-4| = 4 - x\)
ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบ เลือก \(x = 1\): ด้านซ้าย \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\) ด้านขวา \(4 - 1 = 3\) - ตรงกัน
คำตอบ: \(4 - x\) เพื่อเปรียบเทียบ หาก \(x \ge 4\) คำตอบจะเป็น \(x - 4\)
ตัวอย่างที่ 6. การเปรียบเทียบ นิพจน์ที่มีราก
เปรียบเทียบ \(3\sqrt{5}\) และ \(5\sqrt{2}\)
ขั้นตอนที่ 1 ทั้งสองจำนวนเป็นบวก ดังนั้นจึงใส่ตัวประกอบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
ขั้นตอนที่ 2 \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)
ขั้นตอนที่ 3 เปรียบเทียบจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(45 < 50\) และจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ที่มากกว่าจะให้รากที่มากกว่า
คำตอบ: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการทำงานกับรากที่สอง
-
เขียน $\sqrt{a^2} = a$ โดยลืมค่าสัมบูรณ์
ความสัมพันธ์ที่ถูกต้องคือ \(\sqrt{a^2} = |a|\) สำหรับจำนวนลบ นี่เป็นสิ่งสำคัญ: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\) ไม่ใช่ \(-13\) รากเชิงเลขคณิตไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นเครื่องหมายภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์จะ 'ตรงไปตรงมา'
-
คิดว่ารากของผลบวกเท่ากับผลบวกของราก: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$
ไม่มีสมบัติเช่นนี้ ก่อนอื่น ให้ดำเนินการภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) ไม่ใช่ 7 มีสมบัติเฉพาะสำหรับผลคูณและผลหารเท่านั้น: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) และ \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\)
-
ตอบว่า $\sqrt{49} = \pm 7$
\(\sqrt{49} = 7\) - รากเชิงเลขคณิตมีค่าเดียวเสมอและไม่เป็นลบ ค่าสองค่าจะปรากฏในโจทย์อื่น: สมการ \(x^2 = 49\) มีราก \(x = 7\) และ \(x = -7\) ไม่ควรสับสนระหว่างสัญลักษณ์รากกับการแก้สมการ
-
เขียน $\sqrt{-16} = -4$ โดยให้เหตุผลว่า 'ลบด้วยลบ'
จำนวนลบไม่สามารถอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ได้: \((-4)^2 = 16\) ไม่ใช่ \(-16\) ดังนั้น \(\sqrt{-16}\) จึงไม่มีค่าในระบบจำนวนจริง ส่วนนิพจน์ \(-\sqrt{16} = -4\) นั้นถูกต้อง - เครื่องหมายลบอยู่หน้าเครื่องหมายกรณฑ์ ไม่ใช่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์
-
ใส่ตัวประกอบที่เป็นลบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
กฎ \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ \(a \ge 0\) เท่านั้น เครื่องหมายลบจะยังคงอยู่ข้างนอก: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\) ตรวจสอบด้วยเครื่องหมาย: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\) และ \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - เป็นจำนวนตรงข้ามกัน
-
สูญเสียหลักของทศนิยม: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$
ตรวจสอบด้วยการยกกำลังสองย้อนกลับ: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\) ไม่ตรงกัน ถูกต้องคือ \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) เพราะ \(0{,}2^2 = 0{,}04\) วิธีที่น่าเชื่อถือคือการแปลงเป็นเศษส่วนสามัญ: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
-
มั่นใจว่ารากมีค่าน้อยกว่าจำนวนนั้นเสมอ
เป็นจริงเฉพาะสำหรับจำนวนที่มากกว่าหนึ่งเท่านั้น ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ทุกอย่างจะตรงกันข้าม: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) และ \(0{,}5\) มากกว่า \(0{,}25\) ส่วนสำหรับ 0 และ 1 รากจะเท่ากับจำนวนนั้นเอง
คำถามและคำตอบ
รากที่สองเชิงเลขคณิตคืออะไร พูดง่ายๆ
คือจำนวนที่ไม่เป็นลบที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้จำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ เขียนแทนด้วย \(\sqrt{a}\) โดยที่นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ต้องไม่เป็นลบ: \(a \ge 0\) ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{64} = 8\) เพราะ \(8 \ge 0\) และ \(8^2 = 64\)
รากที่สองต่างจากรากที่สองเชิงเลขคณิตอย่างไร
จำนวนบวกมีรากที่สองสองค่า - ตรงข้ามกันที่เครื่องหมาย รากเชิงเลขคณิตหมายถึงเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น และเป็นค่าที่สัญลักษณ์ \(\sqrt{\phantom{a}}\) แสดงถึง ดังนั้น \(\sqrt{25} = 5\) แม้ว่าสมการ \(x^2 = 25\) จะมีสองรากคือ 5 และ \(-5\)
จะถอดรากที่สองของจำนวนโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร
ก่อนอื่น ให้ตรวจสอบจำนวนในตารางกำลังสอง หากไม่อยู่ในตาราง ให้แยกตัวประกอบและแยกกำลังสองสมบูรณ์ออกมา: \(784 = 16 \cdot 49\) ดังนั้น \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\) ตรวจสอบคำตอบเสมอด้วยการดำเนินการย้อนกลับ: \(28^2 = 784\)
สามารถถอดรากที่สองของจำนวนลบได้หรือไม่
ในระบบจำนวนจริง - ไม่ได้ เพราะกำลังสองของจำนวนใดๆ จะไม่เป็นลบ ดังนั้นนิพจน์ \(\sqrt{-9}\) จึงไม่มีความหมาย นี่คือเงื่อนไขที่ใช้หาโดเมน: เช่น \(\sqrt{x-7}\) จะมีอยู่จริงก็ต่อเมื่อ \(x \ge 7\)
รากที่สองของจำนวนที่ยกกำลังสองมีค่าเท่าใด
เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนนั้น: \(\sqrt{a^2} = |a|\) สำหรับ \(a\) ที่ไม่เป็นลบจะได้จำนวนนั้นเอง สำหรับ \(a\) ที่เป็นลบจะได้จำนวนตรงข้าม: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\)
จะดึงตัวประกอบออกจากเครื่องหมายกรณฑ์ได้อย่างไร
หาตัวหารที่เป็นกำลังสองที่มากที่สุดของจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ แล้วใช้สมบัติ \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) การดำเนินการย้อนกลับคือการใส่ตัวประกอบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)
รากที่สองของ 2 มีค่าเท่าใด
จำนวน \(\sqrt{2}\) เป็นจำนวนอตรรกยะ: การเขียนทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดและไม่ซ้ำกัน \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ไม่มีค่าที่แน่นอนในรูปเศษส่วน ดังนั้นในคำตอบจะปล่อยสัญลักษณ์ไว้เป็น \(\sqrt{2}\) และจะประมาณค่าก็ต่อเมื่อเงื่อนไขกำหนดเท่านั้น
จะเปรียบเทียบสองจำนวนที่มีรากโดยไม่ต้องคำนวณได้อย่างไร
ใส่ตัวประกอบเข้าไปใต้เครื่องหมายกรณฑ์ แล้วเปรียบเทียบจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์: จำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ที่มากกว่าจะให้รากที่มากกว่า ตัวอย่างเช่น \(\sqrt{17}\) และ 4: เนื่องจาก \(4 = \sqrt{16}\) และ \(17 > 16\) ดังนั้น \(\sqrt{17} > 4\)
เรียนรากที่สองในชั้นปีใด
เรียนในชั้น ม.2 ในวิชาคณิตศาสตร์: เริ่มจากคำนิยามของรากที่สองเชิงเลขคณิตและสมบัติ จากนั้นเป็นการแปลงนิพจน์ที่มีราก และการแก้สมการรูป \(x^2 = a\) ต่อไป รากจะปรากฏในสูตรดิสคริมิแนนต์และในโจทย์ OGE และ EGE
