ลำดับการดำเนินการ คือชุดของกฎที่บอกคุณว่าต้องคำนวณส่วนใดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ก่อน วิธีที่นิยมที่สุดในการจำคือ PEMDAS: Parentheses (วงเล็บ), Exponents (เลขยกกำลัง), Multiplication (การคูณ) และ Division (การหาร), Addition (การบวก) และ Subtraction (การลบ) หากทำตามลำดับนี้ ทุกนิพจน์จะมีคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียว ในหน้านี้คุณจะได้พบกับคำอธิบายกฎ PEMDAS ทีละขั้นตอน ตัวอย่างโจทย์ที่มีวงเล็บและเลขยกกำลัง ข้อผิดพลาดที่นักเรียนมักทำ และแบบทดสอบเชิงโต้ตอบให้ฝึกฝนทันที
ความหมายของ PEMDAS: ลำดับการดำเนินการ
PEMDAS เป็นคำย่อสำหรับลำดับการดำเนินการ นักเรียนหลายคนจำด้วยวลี "Please Excuse My Dear Aunt Sally" ให้ไล่ลำดับจากบนลงล่าง:
- P — Parentheses (วงเล็บ). ทำสิ่งที่อยู่ในเครื่องหมายจัดกลุ่มก่อน: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (เลขยกกำลัง). จากนั้นทำเลขยกกำลังและราก เช่น 3² หรือ √9.
- M และ D — Multiplication (การคูณ) และ Division (การหาร). ทั้งสองอย่างนี้มี ลำดับความสำคัญเท่ากัน ให้ทำไปพร้อมกันโดยไล่จาก ซ้ายไปขวา.
- A และ S — Addition (การบวก) และ Subtraction (การลบ). ทั้งสองอย่างนี้มีลำดับความสำคัญเท่ากันเช่นกัน ให้ทำเป็นลำดับสุดท้าย โดยไล่จาก ซ้ายไปขวา เช่นกัน.
แนวคิดที่สำคัญที่สุดที่นักเรียนมักพลาดคือ: PEMDAS ไม่ใช่ 6 ขั้นตอนแยกกัน การคูณไม่ได้มาก่อนการหารเสมอไป และการบวกไม่ได้มาก่อนการลบเสมอไป แต่ละคู่เป็นระดับเดียวกัน และภายในระดับนั้นให้คุณคำนวณจากซ้ายไปขวา
กฎจากซ้ายไปขวา (M/D และ A/S มีค่าเท่ากัน)
เนื่องจากการคูณและการหารอยู่ในระดับเดียวกัน คุณจึงต้องจัดการตามลำดับที่ปรากฏ โดยอ่านจาก ซ้ายไปขวา ไม่ใช่ "คูณทั้งหมดก่อน แล้วค่อยหารทั้งหมด" เช่นเดียวกันกับการบวกและการลบ
กับดักคลาสสิกคือ 20 ÷ 4 × 5 หากคุณคูณก่อน (4 × 5 = 20) คุณจะได้ 20 ÷ 20 = 1 ซึ่ง ผิด เนื่องจากหารอยู่ทางซ้าย ให้ทำหารก่อน: 20 ÷ 4 = 5 แล้วจึงคูณ 5 × 5 = 25 ตรรกะเดียวกันนี้ใช้กับ 10 − 6 + 2: ให้ทำจากซ้ายไปขวาจะได้ 4 + 2 = 6 ไม่ใช่ 10 − 8 = 2
PEMDAS กับ BODMAS: กฎเดียวกัน ชื่อเรียกต่างกัน
ในสหราชอาณาจักร ออสเตรเลีย และอีกหลายประเทศ กฎเดียวกันนี้ถูกสอนในชื่อ BODMAS (บางครั้งเรียกว่า BIDMAS หรือ BEDMAS) ตัวอักษรอาจดูต่างกัน แต่ลำดับนั้นเหมือนกันทุกประการ เพียงแค่คำศัพท์ที่เปลี่ยนไป
- B — Brackets (วงเล็บ) เหมือนกับ P — Parentheses.
- O — Orders (ลำดับ) (หรือ I — Indices (เลขชี้กำลัง), E — Exponents) หมายถึงเลขยกกำลังและราก.
- DM และ MD คือคู่ที่มีลำดับความสำคัญเท่ากัน ทำจากซ้ายไปขวา.
- AS คือการบวกและการลบ ทำจากซ้ายไปขวา.
ดังนั้น PEMDAS และ BODMAS จึงให้คำตอบเดียวกันเสมอ ตารางเปรียบเทียบด้านล่างนี้จะแสดงให้เห็นทีละตัวอักษร
| ขั้นตอน | PEMDAS | BODMAS | สิ่งที่คุณต้องทำ |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | ทำในเครื่องหมายจัดกลุ่มก่อน |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | เลขยกกำลังและราก |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | ลำดับความสำคัญเท่ากัน ซ้าย → ขวา |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | ลำดับความสำคัญเท่ากัน ซ้าย → ขวา |
ตัวอย่างลำดับการดำเนินการ (ทีละขั้นตอน)
ตัวอย่างที่ 1. การคูณก่อนการบวก
นิพจน์: 3 + 4 × 2
ขั้นตอนที่ 1 — วงเล็บ / เลขยกกำลัง: ไม่มีในข้อนี้ ให้ข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2 — การคูณ / การหาร: 4 × 2 = 8 ตอนนี้นิพจน์คือ 3 + 8
ขั้นตอนที่ 3 — การบวก / การลบ: 3 + 8 = 11
คำตอบที่ผิดที่พบบ่อยคือ 14 ซึ่งเกิดจากการนำ 3 + 4 ก่อน การคูณต้องทำก่อนการบวก
ตัวอย่างที่ 2. วงเล็บ เลขยกกำลัง แล้วทำจากซ้ายไปขวา
นิพจน์: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
ขั้นตอนที่ 1 — วงเล็บ: 6 + 2 = 8 ตอนนี้คือ: 8 × 3² ÷ 4 − 5
ขั้นตอนที่ 2 — เลขยกกำลัง: 3² = 9 ตอนนี้คือ: 8 × 9 ÷ 4 − 5
ขั้นตอนที่ 3 — การคูณ / การหาร (ซ้ายไปขวา): 8 × 9 = 72 จากนั้น 72 ÷ 4 = 18 ตอนนี้คือ: 18 − 5
ขั้นตอนที่ 4 — การบวก / การลบ: 18 − 5 = 13
ตัวอย่างที่ 3. กับดักจากซ้ายไปขวา
นิพจน์: 20 ÷ 4 × 5
ไม่มีวงเล็บหรือเลขยกกำลัง ดังนั้นเราจึงไปที่การคูณและการหารทันที ทั้งสองมีลำดับความสำคัญเท่ากัน ดังนั้นเราจึงอ่านจาก ซ้ายไปขวา
ขั้นตอนที่ 1: 20 ÷ 4 = 5 (การหารอยู่ซ้ายสุด) ตอนนี้คือ: 5 × 5
ขั้นตอนที่ 2: 5 × 5 = 25
หากคุณคูณก่อน (4 × 5 = 20) คุณจะได้ 20 ÷ 20 = 1 ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดคลาสสิก ลำดับตัวอักษร M-แล้ว-D ไม่ได้ หมายความว่าการคูณชนะการหาร แต่หมายถึงการทำจากซ้ายไปขวา
ข้อผิดพลาด PEMDAS ที่พบบ่อย
-
คิดว่าการคูณต้องมาก่อนการหารเสมอ (หรือการบวกก่อนการลบ) เพราะลำดับตัวอักษร M-D และ A-S
การคูณและการหารมีค่าเท่ากัน เช่นเดียวกับการบวกและการลบ ภายในแต่ละคู่ ให้ทำจากซ้ายไปขวา ใน 20 ÷ 4 × 5 คุณต้องหารก่อนเพราะอยู่ทางซ้าย ได้ 25 ไม่ใช่ 1
-
ละเลยกฎซ้ายไปขวาสำหรับการลบ ทำให้ 10 − 6 + 2 ถูกอ่านเป็น 10 − 8 = 2
ให้ทำจากซ้ายไปขวา: 10 − 6 = 4 แล้วค่อย 4 + 2 = 6 การบวกไม่ได้ "แซงคิว" การลบที่อยู่ทางซ้ายของมัน
-
ข้ามวงเล็บหรือทำเป็นลำดับสุดท้ายเพราะมันปรากฏอยู่ตรงกลางนิพจน์
เครื่องหมายจัดกลุ่มต้องมาก่อนเสมอ ไม่ว่าจะอยู่ตรงไหน ใน 2 × (3 + 4) คุณต้องคำนวณ 3 + 4 = 7 ก่อนคูณ ได้ 14 ไม่ใช่ 2 × 3 + 4 = 10
-
อ่านขอบเขตของเลขยกกำลังผิด โดยมองว่า −3² และ (−3)² เหมือนกัน
เลขยกกำลังใช้กับตัวเลขที่อยู่ใต้ตัวมันโดยตรงเท่านั้น −3² หมายถึง −(3²) = −9 ในขณะที่ (−3)² หมายถึง (−3)(−3) = 9 ใช้วงเล็บเมื่อคุณต้องการให้เครื่องหมายลบรวมอยู่ด้วย
-
ทำวงเล็บซ้อนจากข้างนอกเข้าข้างใน
เริ่มจากวงเล็บชั้นในสุดแล้วทำออกมาข้างนอก ใน 2 × [3 + (4 − 1)] ให้ทำ 4 − 1 = 3 ก่อน แล้วค่อย 3 + 3 = 6 แล้วค่อย 2 × 6 = 12
คำถามที่พบบ่อย
PEMDAS ย่อมาจากอะไร?
PEMDAS ย่อมาจาก Parentheses (วงเล็บ), Exponents (เลขยกกำลัง), Multiplication (การคูณ) และ Division (การหาร), Addition (การบวก) และ Subtraction (การลบ) เป็นลำดับที่คุณใช้คำนวณนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ นักเรียนหลายคนจำด้วยวลี "Please Excuse My Dear Aunt Sally"
PEMDAS กับ BODMAS ต่างกันอย่างไร?
ไม่มีความแตกต่างในทางคณิตศาสตร์ มีเพียงชื่อเรียกเท่านั้น BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) สอนในสหราชอาณาจักรและอีกหลายประเทศ ในขณะที่ PEMDAS ใช้ในสหรัฐอเมริกา Brackets เหมือนกับ Parentheses และ Orders (หรือ Indices) เหมือนกับ Exponents ทั้งสองให้คำตอบเดียวกันสำหรับทุกนิพจน์
การคูณต้องมาก่อนการหารเสมอใน PEMDAS หรือไม่?
ไม่ การคูณและการหารมีลำดับความสำคัญเท่ากัน คุณต้องทำตัวที่ปรากฏก่อนเมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น ใน 20 ÷ 4 × 5 คุณต้องหารก่อนเพราะอยู่ทางซ้าย แล้วค่อยคูณ ได้ 25
ทำไมเราถึงต้องมีลำดับการดำเนินการ?
หากไม่มีลำดับที่ตกลงกันไว้ นิพจน์เดียวกันอาจให้คำตอบที่ต่างกันสำหรับแต่ละคน ตัวอย่างเช่น 3 + 4 × 2 จะเป็น 11 หากคุณคูณก่อน หรือ 14 หากคุณบวกก่อน PEMDAS ทำให้มั่นใจได้ว่าทุกนิพจน์มีผลลัพธ์ที่ถูกต้องเพียงหนึ่งเดียว
คุณจัดการกับเลขยกกำลังและเครื่องหมายลบพร้อมกันอย่างไร?
เลขยกกำลังใช้กับค่าที่อยู่ใต้ตัวมันโดยตรงเท่านั้น ดังนั้น −3² จึงเท่ากับ −(3 × 3) = −9 เพราะเลขยกกำลังผูกกับ 3 ก่อนที่จะนำเครื่องหมายลบมาใช้ หากคุณต้องการให้เครื่องหมายลบรวมอยู่ด้วย ให้เขียน (−3)² ซึ่งเท่ากับ 9 วงเล็บจะเป็นตัวควบคุมว่าเลขยกกำลังครอบคลุมถึงอะไร
คุณทำอย่างไรกับวงเล็บซ้อน?
ทำจากกลุ่มในสุดออกมาข้างนอก ใน 2 × [3 + (4 − 1)] ให้ทำ 4 − 1 = 3 ก่อน แล้วค่อย 3 + 3 = 6 แล้วค่อย 2 × 6 = 12 แต่ละชั้นของวงเล็บจะถูกแก้ไขก่อนชั้นที่อยู่ถัดออกมา
