ลำดับเลขคณิต: สูตรพจน์ที่ n และผลบวก

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

มาสคอตคณิตศาสตร์ยืนข้างแท่งกราฟที่แต่ละแท่งสูงขึ้นกว่าแท่งก่อนหน้าทีละขั้น

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่แต่ละพจน์ถัดไปมีค่ามากกว่าพจน์ก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันเสมอ เรียกว่า $d$ (ผลต่างร่วม) พจน์ใดๆ สามารถหาได้จากสูตร $a_n = a_1 + (n-1)d$ และผลบวก n พจน์แรกหาได้จากสูตร $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ ในหน้านี้เราจะอธิบายถึงนิยาม ผลต่างร่วม สูตรผลบวกทั้งสองแบบ สมบัติของลำดับ การตรวจสอบว่าจำนวนใดอยู่ในลำดับหรือไม่ ความแตกต่างจากลำดับเรขาคณิต โจทย์ตัวอย่าง OGE และแบบฝึกหัดโต้ตอบเพื่อทดสอบความเข้าใจ

ลำดับเลขคณิตคืออะไร

ลำดับเลขคณิต คือลำดับของจำนวนที่แต่ละพจน์ถัดไปเกิดจากการนำจำนวนคงที่มาบวกเข้ากับพจน์ก่อนหน้า จำนวนนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม และแทนด้วยตัวอักษร $d$

นิยามด้วยสูตรเดียว: ลำดับ $a_1, a_2, a_3, \dots$ เรียกว่าลำดับเลขคณิต ถ้าสำหรับทุกค่า $n$ เป็นไปตามสมการ

\[a_{n+1} = a_n + d.\]

ลองดูลำดับ 3, 7, 11, 15, 19, … พจน์แรกคือ $a_1 = 3$ และผลต่างร่วม $d = 4$: แต่ละจำนวนถัดไปมากกว่าจำนวนก่อนหน้าอยู่ 4 พอดี ดังนั้นพจน์ถัดไปคือ 23 และถ้าถอยหลังไปก่อนเลข 3 ก็จะเป็นเลขติดลบ

ลำดับทั้งหมดถูกกำหนดด้วยจำนวนเพียงสองค่า คือ พจน์แรก $a_1$ และผลต่างร่วม $d$ เมื่อรู้คู่นี้แล้ว เราสามารถหาพจน์ใดก็ได้ คำนวณผลบวกกี่พจน์ก็ได้ และตรวจสอบว่ามีจำนวนที่กำหนดอยู่ในลำดับหรือไม่ เราแทนลำดับด้วยสัญลักษณ์ $(a_n)$ และพจน์ต่างๆ ด้วย $a_1, a_2, a_3$ ไปเรื่อยๆ โดยที่ตัวห้อยหมายถึง ลำดับที่ ไม่ใช่ค่าของพจน์

d = 4 > 0 — ลำดับเพิ่มขึ้น

3+47+411+415+419+4?

d = −3 < 0 — ลำดับลดลง

20−317−314−311−38−3?

ผลต่างคงที่เสมอ หากนำพจน์ใดๆ ลบด้วยพจน์ก่อนหน้าจะได้ค่าเดิมเสมอ ซึ่งนั่นคือผลต่างร่วม d ในบรรทัดแรกพจน์ถัดไปคือ 23 ในบรรทัดที่สองคือ 5

ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต: วิธีหาค่า d

ผลต่างร่วมคือ พจน์ถัดไปลบด้วยพจน์ก่อนหน้า เสมอ:

\[d = a_n - a_{n-1}.\]

ลำดับการลบมีความสำคัญ: หากลบสลับกัน เครื่องหมายของผลต่างจะตรงกันข้าม สำหรับลำดับ 20, 17, 14, 11, 8 ผลต่างร่วมคือ $17 - 20 = -3$ ไม่ใช่ $+3$

เครื่องหมายของ $d$ จะกำหนดพฤติกรรมของลำดับ:

$d > 0$ — ลำดับ เพิ่มขึ้น ค่าของพจน์จะมากขึ้น
$d < 0$ — ลำดับ ลดลง ค่าของพจน์จะน้อยลง
$d = 0$ — ทุกพจน์เท่ากัน เช่น 6, 6, 6, 6, … นี่ก็เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน แต่เป็นลำดับคงที่

หากทราบพจน์สองพจน์ที่มีลำดับต่างกัน สามารถหาผลต่างร่วมได้จากสูตร

\[d = \frac{a_k - a_m}{k - m}.\]

ตัวอย่าง. ให้ $a_4 = 30$ และ $a_{10} = 6$ จะได้ $d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4$ และพจน์แรกคือ $a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42$ ลองตรวจสอบจุดเริ่มต้นของลำดับ: 42, 38, 34, 30 — พจน์ที่สี่คือ 30 จริงๆ

ผลต่างร่วมไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม: ลำดับ 1; 1.5; 2; 2.5 มีผลต่างร่วมคือ 0.5 และนี่ก็เป็นลำดับเลขคณิตที่สมบูรณ์

สูตรพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

สูตรหลักของหัวข้อนี้ช่วยให้เราหาพจน์ใดก็ได้โดยไม่ต้องเขียนพจน์ก่อนหน้าทั้งหมด:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d.\]

ทำไมต้องเป็น $n - 1$? เพราะการจะไปถึงพจน์ที่ $n$ จากพจน์แรก เราต้องบวกผลต่างร่วมเพิ่มขึ้นไม่ถึง $n$ ครั้ง แต่เป็น $n-1$ ครั้ง: ไปพจน์ที่สองบวก 1 ครั้ง, พจน์ที่สามบวก 2 ครั้ง, พจน์ที่ยี่สิบบวก 19 ครั้ง

ตัวอย่าง. สำหรับลำดับ 3, 7, 11, 15, 19, … เรามี $a_1 = 3$ และ $d = 4$ ดังนั้น

\[a_n = 3 + (n - 1)\cdot 4 = 4n - 1.\]

การเขียนแบบนี้สะดวกมาก: จะเห็นได้ทันทีว่า $a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79$ และ $a_{100} = 399$ นอกจากนี้ยังบอกผลต่างร่วมได้ด้วย: สำหรับลำดับเลขคณิตใดๆ สูตรพจน์ที่ $n$ จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในรูป $a_n = dn + c$ และสัมประสิทธิ์หน้า $n$ ก็คือผลต่างร่วมนั่นเอง

บางครั้งเราไม่ทราบพจน์แรก แต่ทราบพจน์อื่น ก็สามารถใช้แนวคิดเดียวกันในรูปทั่วไปได้ว่า: $a_n = a_k + (n - k)d$

ผ่านพจน์แรก

a_n = a₁ + (n − 1)d

จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ n เราก้าวไป n − 1 ครั้งด้วย d เลขหนึ่งในวงเล็บคือส่วนสำคัญของสูตร

ผ่านพจน์ที่ทราบค่า

a_n = a_k + (n − k)d

สะดวกเมื่อไม่ทราบพจน์แรก เช่น a₇ = a₃ + 4d

ตรวจสอบตัวเองอย่างรวดเร็ว: แทนค่า n = 1 จะต้องได้ a₁ + 0 · d = a₁ หากได้ a₁ + d แสดงว่าลืมเลขหนึ่งในสูตร

สมบัติของลำดับเลขคณิต

พจน์ใดๆ ของลำดับ ยกเว้นพจน์แรก จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง:

\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \qquad n \ge 2.\]

นี่คือเหตุผลที่ลำดับนี้เรียกว่า ลำดับเลขคณิต ความเท่ากันนี้ยังใช้ในทางกลับกันได้: หากในลำดับใดๆ พจน์กลางแต่ละพจน์เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกพจน์ข้างเคียง ลำดับนั้นจะเป็นลำดับเลขคณิต เราเรียกข้อความนี้ว่า สมบัติบ่งชี้ ของลำดับเลขคณิต ซึ่งใช้ในโจทย์เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนสามจำนวนเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

ตัวอย่าง. จำนวน 7, $x$, 23 เป็นสามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต ดังนั้น $x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15$ ตรวจสอบ: 7, 15, 23 — ผลต่างคือ 8 และ 8 ถูกต้อง

รูปแบบการเขียนสมบัติที่สะดวกอีกแบบคือ $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ นั่นคือ สองเท่าของพจน์กลางเท่ากับผลบวกของพจน์ริม ในรูปแบบนี้จะใช้สมบัติได้ง่ายขึ้นเมื่อพจน์ต่างๆ ถูกกำหนดด้วยนิพจน์พีชคณิต

ผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต

ผลบวก $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ สามารถคำนวณได้จากหนึ่งในสองสูตร:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \qquad \text{หรือ} \qquad S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n.\]

แนวคิดของสูตรแรกคือสิ่งที่ตำนานเล่าว่าเกาส์ในวัยเด็กค้นพบขณะบวกเลข 1 ถึง 100 หากนำพจน์แรกบวกพจน์สุดท้าย พจน์ที่สองบวกพจน์รองสุดท้ายไปเรื่อยๆ ทุกคู่จะได้ผลบวกเท่ากัน ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050$

สูตรที่สองได้มาจากการแทนค่า $a_n = a_1 + (n-1)d$ ลงในสูตรแรก ซึ่งจำเป็นเมื่อไม่ทราบพจน์สุดท้ายและไม่อยากคำนวณแยกต่างหาก

ตัวอย่าง. หาผลบวก 20 พจน์แรกของลำดับ 3, 7, 11, 15, 19, …

ใช้สูตรแรก: $a_{20} = 79$ ดังนั้น $S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$

ใช้สูตรที่สอง: $S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$

คำตอบตรงกัน ซึ่งเป็นการตรวจสอบการคำนวณที่ดีที่สุด

ทราบพจน์สุดท้าย

S_n =a₁ + a_n2· n

ครึ่งหนึ่งของผลบวกพจน์ริม คูณด้วยจำนวนพจน์ ใช้เมื่อทราบ a_n แล้ว

ทราบพจน์แรกและผลต่างร่วม

S_n =2a₁ + (n − 1)d2· n

ไม่ต้องคำนวณอะไรล่วงหน้า ใช้เมื่อไม่ทราบ a_n

นี่คือสูตรเดียวกัน สูตรที่สองได้จากการแทนค่า a_n = a₁ + (n − 1)d ลงในสูตรแรก ดังนั้นคำตอบต้องตรงกันเสมอ — เป็นวิธีตรวจสอบตัวเองที่ดี

วิธีตรวจสอบว่าจำนวนใดอยู่ในลำดับเลขคณิตหรือไม่

คำถามที่ว่า "จำนวนนี้เป็นพจน์หนึ่งของลำดับหรือไม่" แก้ไขได้ด้วยสมการ จำนวนนั้นจะอยู่ในลำดับก็ต่อเมื่อลำดับที่ $n$ เป็น จำนวนนับ: 1, 2, 3 ไปเรื่อยๆ หาก $n$ เป็นเศษส่วนหรือจำนวนที่ไม่เป็นบวก แสดงว่าไม่มีพจน์นั้นอยู่ในลำดับ

ตัวอย่าง 1. จำนวน 99 อยู่ในลำดับ 3, 7, 11, 15, 19, … หรือไม่? สูตรพจน์ที่ $n$ คือ $a_n = 4n - 1$ ดังนั้นแก้สมการ $4n - 1 = 99$ จะได้ $4n = 100$ และ $n = 25$ ลำดับที่ 25 เป็นจำนวนนับ ดังนั้น 99 อยู่ในลำดับนี้

ตัวอย่าง 2. แล้วจำนวน 2026 ล่ะ? จาก $4n - 1 = 2026$ จะได้ $4n = 2027$ และ $n = 506.75$ ลำดับที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2026 ไม่ใช่พจน์ของลำดับนี้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สำหรับการคิดเลขเร็ว: สำหรับลำดับที่มีสูตร $a_n = 4n - 1$ ทุกพจน์เมื่อหารด้วย 4 จะเหลือเศษ 3 จำนวน 2026 หารด้วย 4 เหลือเศษ 2 จึง "พลาด" ลำดับนี้ไป

สร้างสูตรพจน์ที่ n

a_n = a₁ + (n − 1)d และกระจายวงเล็บ

เท่ากับจำนวนที่ต้องการตรวจสอบ

จะได้สมการเชิงเส้นปกติที่มีตัวแปร n

แก้สมการหา n

n คือลำดับที่ ไม่ใช่ค่าของพจน์

พิจารณาค่า n ที่ได้

เป็นจำนวนนับ (1, 2, 3, …) — จำนวนนั้นอยู่ในลำดับและนี่คือลำดับที่; เป็นเศษส่วนหรือ n ≤ 0 — ไม่อยู่ในลำดับ

โจทย์แนวข้อสอบ OGE เรื่องลำดับเลขคณิต

ในข้อสอบคณิตศาสตร์ OGE ลำดับเลขคณิตปรากฏขึ้นทุกปี และโจทย์เกือบทั้งหมดสรุปได้เป็น 4 รูปแบบ

หาพจน์จากลำดับที่. ให้ $a_1$ และ $d$ (หรือพจน์แรกๆ) มา — แทนค่าใน $a_n = a_1 + (n-1)d$

หาลำดับที่จากค่าของพจน์. ให้จำนวนมา — จับเท่ากับสูตรพจน์ที่ $n$ แล้วแก้สมการหา $n$

หาผลบวก. คำนวณ $S_n$ จากสูตรใดสูตรหนึ่ง; ถ้าขาด $a_n$ ให้หาค่าก่อน

หาจำนวนพจน์. จากสูตรพจน์ที่ $n$ จะได้สูตรที่สะดวกคือ $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$

นอกจากนี้ยังมี โจทย์ปัญหา ที่ซ่อนลำดับไว้ในเนื้อเรื่อง เช่น: วันแรกคนงานผลิตชิ้นงานได้ 12 ชิ้น และแต่ละวันถัดไปผลิตได้มากกว่าวันก่อนหน้า 3 ชิ้น; เขาจะผลิตได้กี่ชิ้นใน 15 วัน? ที่นี่ $a_1 = 12$, $d = 3$, $n = 15$ คำนวณพจน์สุดท้าย: $a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54$ ดังนั้น $S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495$ ชิ้น

คำแนะนำหลักสำหรับโจทย์เหล่านี้: เขียนแยกบรรทัดไว้ก่อนว่าโจทย์ให้ค่าอะไรมา ($a_1$, $d$, $n$, $a_n$, $S_n$) และต้องการหาอะไร ความผิดพลาดครึ่งหนึ่งในการสอบไม่ได้เกิดจากสูตร แต่เกิดจากการสับสนระหว่างลำดับที่กับค่าของพจน์

ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต: ต่างกันอย่างไร

ทั้งสองลำดับเป็นกฎในการหาพจน์ถัดไป ความแตกต่างอยู่ที่การดำเนินการ: ในลำดับเลขคณิตเรา บวก ด้วยจำนวนคงที่ $d$ ในลำดับเรขาคณิตเรา คูณ ด้วยจำนวนคงที่ $q$ ซึ่งเรียกว่าอัตราส่วนร่วม

นี่คือที่มาของพฤติกรรมที่ต่างกัน ลำดับเลขคณิตเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ "ทีละขั้น": 3, 7, 11, 15 — แต่ละก้าวเพิ่มขึ้น 4 ลำดับเรขาคณิตเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว: 3, 6, 12, 24 — แต่ละก้าวคูณสอง และเพียงสิบก้าวค่าจะมากกว่าหนึ่งพันห้าร้อย

การตรวจสอบประเภทของลำดับทำได้ง่าย: คำนวณผลต่างของพจน์ข้างเคียงและอัตราส่วนของพจน์ข้างเคียง หากผลต่างเท่ากันจะเป็นลำดับเลขคณิต หากอัตราส่วนเท่ากันจะเป็นลำดับเรขาคณิต หากไม่เท่ากันทั้งคู่ แสดงว่าเป็นเพียงลำดับทั่วไป: เช่น 1, 4, 9, 16 — นี่คือเลขยกกำลังสองของจำนวนนับ และไม่ใช่ลำดับเลขคณิต (ผลต่าง 3, 5, 7 ไม่เท่ากัน อัตราส่วนก็ไม่เท่ากัน)

ในหลักสูตรโรงเรียน ทั้งสองหัวข้อเรียนต่อกันในชั้น ม.3 ดังนั้นจึงสับสนสูตรได้ง่าย จำไว้ว่า: ในลำดับเลขคณิตผลต่าง $d$ บวกเพิ่ม, ในลำดับเรขาคณิตอัตราส่วน $q$ คูณเพิ่ม ส่วนที่เหลือเป็นผลลัพธ์ตามมา

ลำดับเลขคณิต

ก้าวบวกเพิ่ม d

พจน์ที่ na_n = a₁ + (n − 1)d

ผลบวกS_n = a₁ + a_n2 · n

ตัวอย่าง3, 7, 11, 15 (+4)

ลำดับเรขาคณิต

ก้าวคูณด้วย q

พจน์ที่ nb_n = b₁ · qⁿ⁻¹

ผลบวก (q ≠ 1)S_n = b₁(qⁿ − 1)q − 1

ตัวอย่าง3, 6, 12, 24 (×2)

วิธีแยกแยะใน 10 วินาที: คำนวณผลต่างของพจน์ข้างเคียง หากเท่ากันคือลำดับเลขคณิต หากไม่เท่ากันแต่ผลหารเท่ากัน (พจน์ถัดไปหารด้วยพจน์ก่อนหน้าได้ผลลัพธ์เท่ากัน) คือลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างการแก้โจทย์ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่าง 1. หาพจน์แรกและผลต่างร่วมจากสองพจน์ที่กำหนด

โจทย์. $a_3 = 14$, $a_7 = 30$ จงหา $a_1$, $d$ และ $a_{20}$

ขั้นตอนที่ 1. จากพจน์ที่สามถึงพจน์ที่เจ็ดมีระยะห่าง $7 - 3 = 4$ ก้าว แต่ละก้าวบวกเพิ่ม $d$ ดังนั้น $a_7 = a_3 + 4d$ นั่นคือ $30 = 14 + 4d$ จะได้ $4d = 16$ และ $d = 4$

ขั้นตอนที่ 2. ถอยกลับไปหาพจน์แรก: $a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6$

ขั้นตอนที่ 3. เขียนสูตรพจน์ที่ $n$: $a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2$

ขั้นตอนที่ 4. คำนวณพจน์ที่ต้องการ: $a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82$

ตรวจสอบ. เขียนลำดับเริ่มต้น: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 พจน์ที่สามคือ 14 พจน์ที่เจ็ดคือ 30 — ตรงกัน

คำตอบ: $a_1 = 6$, $d = 4$, $a_{20} = 82$

ตัวอย่าง 2. ผลบวก 30 พจน์แรก (ทั้งสองสูตร)

โจทย์. ลำดับ $-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots$ จงหา $S_{30}$

ขั้นตอนที่ 1. กำหนดพารามิเตอร์: $a_1 = -5$, $d = -2 - (-5) = 3$

ขั้นตอนที่ 2. หาพจน์ที่สามสิบ: $a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82$

ขั้นตอนที่ 3. คำนวณด้วยสูตรแรก: $S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155$

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบด้วยสูตรที่สอง. ตัวเศษ: $2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77$

จากนั้นทำเหมือนขั้นตอนที่สาม: $S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155$

ทั้งสองวิธีให้ 1155 — แสดงว่าการคำนวณถูกต้อง

คำตอบ: $S_{30} = 1155$

ตัวอย่าง 3. ผลบวกของจำนวนสองหลักทุกจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว

โจทย์. จงหาผลบวกของจำนวนสองหลักทุกจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว

ขั้นตอนที่ 1. จำนวนเหล่านี้เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม 7 จำนวนสองหลักที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 7 ลงตัวคือ 14 จำนวนที่มากที่สุดคือ 98 (จำนวนถัดไปคือ 105 เป็นสามหลัก) จะได้ $a_1 = 14$, $d = 7$, $a_n = 98$

ขั้นตอนที่ 2. คำนวณจำนวนพจน์: $n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13$

ขั้นตอนที่ 3. คำนวณผลบวก: $S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบด้วยสูตรที่สอง. $S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$

คำตอบ: 728

ตัวอย่าง 4. ตรวจสอบว่าจำนวนอยู่ในลำดับหรือไม่

โจทย์. จำนวน 145 เป็นพจน์หนึ่งของลำดับ $7,\ 12,\ 17,\ \dots$ หรือไม่? แล้ว 142 ล่ะ?

ขั้นตอนที่ 1. พารามิเตอร์ลำดับ: $a_1 = 7$, $d = 5$ ดังนั้น $a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2$

ขั้นตอนที่ 2. ตรวจสอบ 145: สมการ $5n + 2 = 145$ ให้ $5n = 143$ และ $n = 28.6$ ลำดับที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 145 ไม่ใช่ พจน์ของลำดับ

ขั้นตอนที่ 3. ตรวจสอบ 142: $5n + 2 = 142$ จะได้ $5n = 140$ และ $n = 28$ ลำดับที่เป็นจำนวนนับ — จำนวนนี้อยู่ในลำดับ

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบด้วยการแทนค่า. $a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142$ ถูกต้อง

คำตอบ: 145 ไม่อยู่ในลำดับ; 142 อยู่และเป็นพจน์ที่ 28

ตัวอย่าง 5. สมบัติบ่งชี้กับพจน์ที่เป็นนิพจน์พีชคณิต

โจทย์. ที่ค่า $x$ ใด จำนวน $x - 3$, $2x + 1$, $4x - 1$ เป็นสามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต?

ขั้นตอนที่ 1. ตามสมบัติบ่งชี้ สองเท่าของพจน์กลางเท่ากับผลบวกพจน์ริม:

\[2(2x + 1) = (x - 3) + (4x - 1).\]

ขั้นตอนที่ 2. กระจายวงเล็บ: $4x + 2 = 5x - 4$

ขั้นตอนที่ 3. แก้สมการ: $2 + 4 = 5x - 4x$ นั่นคือ $x = 6$

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบ. แทนค่า $x = 6$: พจน์แรก $6 - 3 = 3$, พจน์ที่สอง $2\cdot 6 + 1 = 13$, พจน์ที่สาม $4\cdot 6 - 1 = 23$ ผลต่าง: $13 - 3 = 10$ และ $23 - 13 = 10$ — เท่ากัน

คำตอบ: $x = 6$, ลำดับคือ 3, 13, 23 มีผลต่างร่วม 10

ตัวอย่าง 6. มีพจน์ที่เป็นลบกี่พจน์ในลำดับ

โจทย์. ลำดับ $-21,\ -18,\ -15,\ \dots$ มีพจน์ที่เป็นลบกี่พจน์?

ขั้นตอนที่ 1. พารามิเตอร์: $a_1 = -21$, $d = 3$ สูตรพจน์ที่ $n$: $a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24$

ขั้นตอนที่ 2. เขียนเงื่อนไข "พจน์เป็นลบ": $3n - 24 < 0$ จะได้ $3n < 24$ และ $n < 8$

ขั้นตอนที่ 3. ลำดับที่ต้องเป็นจำนวนนับ ดังนั้น $n = 1, 2, \dots, 7$ — รวมทั้งหมด เจ็ด พจน์

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบขอบเขต. $a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3$ — เป็นลบ $a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0$ — ศูนย์ไม่ใช่จำนวนลบ ดังนั้นพจน์ที่แปดไม่นับ $a_9 = 3$ — เป็นบวก

คำตอบ: มีพจน์ที่เป็นลบ 7 พจน์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์ลำดับเลขคณิต

เขียนสูตรพจน์ที่ n เป็น $a_n = a_1 + nd$ แทนที่จะเป็น $a_n = a_1 + (n-1)d$

จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ n จะก้าวไปน้อยกว่าลำดับที่อยู่ 1 ก้าว สำหรับลำดับ $5,\ 9,\ 13,\ \dots$ พจน์ที่สิบคือ $a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41$ ไม่ใช่ 45 ตรวจสอบสูตรอย่างรวดเร็ว: แทนค่า $n = 1$ — ต้องได้ $a_1$ พอดี
คำนวณผลต่างร่วมสลับกัน: $d = a_1 - a_2$ ทำให้เครื่องหมายตรงข้าม

ผลต่างร่วมคือพจน์ถัดไปลบด้วยพจน์ก่อนหน้า: $d = a_2 - a_1$ สำหรับลำดับ $40,\ 34,\ 28,\ \dots$ ค่าที่ถูกต้องคือ $d = 34 - 40 = -6$ เครื่องหมายลบไม่ใช่ข้อผิดพลาด แต่เป็นลักษณะของลำดับลดลง
ในสูตรผลบวก ลืมหารด้วย 2 หรือลืมคูณด้วย $n$: เขียน $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$

เราบวกคู่ "แรกกับสุดท้าย" ซึ่งมีจำนวน $\dfrac{n}{2}$ คู่ ดังนั้นต้องหารด้วย 2 เสมอ สำหรับลำดับ $2,\ 9,\ 16,\ \dots$ จะได้ $a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65$ และ $S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335$ ไม่ใช่ 670
เมื่อตรวจสอบจำนวนในลำดับ ได้ $n = 0$ หรือ $n$ ติดลบ แต่ยังตอบว่า "อยู่ในลำดับ"

ลำดับที่ของพจน์เป็นจำนวนนับ เริ่มนับจาก 1 เช่น สำหรับลำดับ $10,\ 14,\ 18,\ \dots$ สมการ $10 + 4(n-1) = 6$ ให้ $n = 0$ หมายความว่า 6 ไม่อยู่ในลำดับ: จำนวนนี้จะอยู่ก่อนพจน์แรก
สับสนว่าหาอะไร: นำค่าของพจน์ไปแทนในที่ที่ต้องการลำดับที่ และในทางกลับกัน

$a_n$ คือค่าของพจน์, $n$ คือลำดับที่ ถ้าโจทย์ถามว่า "พจน์ที่เท่าใดมีค่าเท่ากับ 142" คำตอบคือ 28 ไม่ใช่ 142 นิสัยที่ดี: เขียนบรรทัด "กำหนด: $a_1 = \dots$, $d = \dots$, หา: $n$" ก่อนเริ่มแก้โจทย์
คิดว่าลำดับต้องเพิ่มขึ้นและประกอบด้วยจำนวนเต็มเท่านั้น

ผลต่างร่วมอาจเป็นลบ ($20,\ 17,\ 14,\ \dots$), เป็นเศษส่วน (1; 1.5; 2; 2.5) หรือแม้แต่เป็นศูนย์ (8, 8, 8, …) ทั้งสามกรณีเป็นลำดับเลขคณิตที่ถูกต้อง และสูตรทั้งหมดใช้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนแปลง

คำถามและคำตอบ

ลำดับเลขคณิตคืออะไรแบบง่ายๆ?

คือลำดับของจำนวนที่แต่ละจำนวนถัดไปเกิดจากการนำจำนวนคงที่ $d$ มาบวกเข้ากับจำนวนก่อนหน้า เช่น 3, 7, 11, 15, 19, … เป็นลำดับที่มีพจน์แรกคือ 3 และผลต่างร่วมคือ 4

สูตรพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตคืออะไร?

$a_n = a_1 + (n-1)d$ โดยที่ $a_1$ คือพจน์แรก, $d$ คือผลต่างร่วม, $n$ คือลำดับที่ หากทราบพจน์อื่นที่ไม่ใช่พจน์แรก สามารถใช้รูปทั่วไป $a_n = a_k + (n-k)d$

วิธีหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต?

นำพจน์ใดๆ ลบด้วยพจน์ก่อนหน้า: $d = a_n - a_{n-1}$ หากทราบสองพจน์ที่มีลำดับต่างกัน ให้ใช้ $d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}$ เช่น เมื่อ $a_5 = 23$ และ $a_9 = 43$ จะได้ $d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5$ และพจน์แรกคือ $23 - 4\cdot 5 = 3$

วิธีหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิต?

จากสูตรพจน์ที่ $n$: $a_1 = a_n - (n-1)d$ เช่น หาก $a_{12} = 60$ และ $d = 4$ จะได้ $a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16$ ตรวจสอบ: $16 + 11\cdot 4 = 60$

วิธีหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต?

ใช้สูตร $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ หากทราบพจน์สุดท้าย หรือใช้สูตร $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n$ หากทราบเพียงพจน์แรกและผลต่างร่วม ทั้งสองสูตรให้ผลลัพธ์เท่ากัน ดังนั้นสูตรที่สองจึงใช้ตรวจสอบสูตรแรกได้

วิธีหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต?

จากสูตรพจน์ที่ $n$: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$ เช่น ในลำดับ $8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98$ ผลต่างร่วมคือ 5 ดังนั้น $n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$ พจน์

ลำดับเลขคณิตต่างจากลำดับเรขาคณิตอย่างไร?

ในลำดับเลขคณิตเรา บวก ด้วยผลต่างร่วม $d$ ในลำดับเรขาคณิตเรา คูณ ด้วยอัตราส่วนร่วม $q$ สูตรพจน์ที่ $n$: $a_n = a_1 + (n-1)d$ เทียบกับ $b_n = b_1 q^{\,n-1}$ การตรวจสอบประเภทลำดับทำได้โดยคำนวณผลต่างและอัตราส่วนของพจน์ข้างเคียง: ผลต่างเท่ากันคือเลขคณิต อัตราส่วนเท่ากันคือเรขาคณิต

ผลต่างร่วมเป็นลบหรือเป็นศูนย์ได้ไหม?

ได้ หาก $d < 0$ ลำดับจะลดลง (เช่น 20, 17, 14, 11) หาก $d = 0$ ทุกพจน์จะเท่ากัน (6, 6, 6, …) ซึ่งเป็นลำดับคงที่ ผลต่างร่วมอาจเป็นเศษส่วนได้ เช่น 1; 1.5; 2; 2.5 ก็เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน

เรียนเรื่องลำดับเลขคณิตในชั้นไหน?

ชั้น ม.3 ในวิชาพีชคณิต พร้อมกับลำดับเรขาคณิตและลำดับของจำนวน โจทย์เรื่องลำดับเป็นส่วนหนึ่งของ OGE: มักจะให้หาพจน์จากลำดับที่, หาลำดับที่จากค่าของพจน์, หาจำนวนพจน์ หรือหาผลบวก n พจน์แรก

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? คุยต่อในแชทได้เลย

แก้โจทย์เรื่องลำดับ ตรวจสอบวิธีทำของฉัน หาผลต่างร่วมและสูตร ควรใช้สูตรผลบวกแบบไหน? เลขคณิตหรือเรขาคณิต? ขอโจทย์สำหรับฝึกฝน

ผู้ใช้ #4365351

ฉันชอบโปรแกรมแก้ไขข้อความบนรูปภาพมาก ผลลัพธ์ออกมาเป็นผลงานชิ้นเอกเลย

Web · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4383661

ขอบคุณนะ ผลงานของ AI ทำให้ฉันประทับใจมาก สมบูรณ์แบบ!

ผู้ใช้ #4279467

ฉันชอบมากเลย ถ้ามีสิทธิ์ใช้งานฟรีเพิ่มอีกสักหน่อยจะดีมาก

Google Play · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4160129

เป็นแอปที่ยอดเยี่ยมและราคาจับต้องได้

ลำดับเลขคณิต: สูตร ผลต่างร่วม และผลบวก n พจน์แรก