อสมการ คือ นิพจน์สองนิพจน์ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมาย \(<\), \(>\), \(\le\) หรือ \(\ge\) การแก้อสมการ หมายถึง การหา ค่าทั้งหมด ของตัวแปรที่ทำให้อสมการกลายเป็นอสมการจำนวนจริงที่ถูกต้อง คำตอบที่ได้จะไม่ใช่แค่จำนวนเดียว แต่เป็นเซตของจำนวนทั้งหมด: ช่วงบนเส้นจำนวน หรือการรวมกันของช่วงต่างๆ หน้าเว็บนี้รวบรวมฐานข้อมูลทั่วไปสำหรับอสมการทุกประเภท: วิธีอ่านเครื่องหมาย การแปลงใดบ้างที่ทำได้ เหตุใดเครื่องหมายจึงกลับด้านเมื่อหารด้วยจำนวนลบ และวิธีเขียนคำตอบให้ถูกต้อง จากนั้นจะเป็นภาพรวมของอสมการทุกประเภทพร้อมลิงก์ไปยังการวิเคราะห์โดยละเอียดและแบบฝึกหัดเพื่อทดสอบตัวเอง
ความหมายของการแก้อสมการ
การแก้อสมการ คือ ค่าใดๆ ของตัวแปรที่ทำให้อสมการกลายเป็นอสมการจำนวนจริงที่ถูกต้อง และการแก้อสมการ หมายถึง การหาค่าดังกล่าวทั้งหมดและเขียนเป็นเซต
เปรียบเทียบกับสมการ สมการ \(2x = 8\) มีคำตอบคือจำนวนเดียว \(x = 4\) แต่อสมการ \(2x < 8\) มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์: \(3\), \(0\), \(-100\), และ \(3{,}999\) ก็ใช้ได้ การเขียนทีละจำนวนจึงเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นคำตอบจึงเขียนเป็นช่วง: \(x < 4\) หรือ \((-\infty;\ 4)\)
การตรวจสอบว่าจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นคำตอบของอสมการหรือไม่นั้นง่าย: แทนค่าลงในตัวแปรแล้วดูว่าอสมการที่ได้เป็นจริงหรือไม่
- \(x = 1\) ในอสมการ \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — เป็นจริง ดังนั้น \(1\) คือคำตอบ
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — ไม่เป็นจริง ดังนั้น \(5\) ไม่ใช่คำตอบ
อสมการสองอสมการจะเรียกว่า สมมูลกัน หากมีเซตคำตอบเหมือนกัน การแก้อสมการทั้งหมดคือการเปลี่ยนอสมการไปสู่อสมการที่ง่ายกว่าทีละขั้น จนกระทั่งเหลือเพียง \(x\) ทางด้านซ้าย
เครื่องหมายอสมการ: แบบเข้มงวดและไม่เข้มงวด
มีเครื่องหมายสี่แบบ และขึ้นอยู่กับว่าใช้เครื่องหมายใด คำตอบและการเขียนจะแตกต่างกัน เครื่องหมาย แบบเข้มงวด \(<\) และ \(>\) จะไม่รวมจุดขอบเขตในคำตอบ ส่วนเครื่องหมาย แบบไม่เข้มงวด \(\le\) และ \(\ge\) จะรวมจุดขอบเขต
ความแตกต่างนี้จะส่งผลต่อการแก้อสมการทั้งหมด: เครื่องหมายแบบเข้มงวดจะให้จุดที่ 'กลวง' บนแกนและวงเล็บเปิดในคำตอบ ส่วนเครื่องหมายแบบไม่เข้มงวดจะให้จุดที่ 'ทึบ' และวงเล็บปิด
| เครื่องหมาย | อ่านว่าอย่างไรและให้ผลลัพธ์อย่างไร |
|---|---|
| < | น้อยกว่าเข้มงวดจุดกลวง, วงเล็บเปิด |
| > | มากกว่าเข้มงวดจุดกลวง, วงเล็บเปิด |
| ≤ | น้อยกว่าหรือเท่ากับไม่เข้มงวดจุดทึบ, วงเล็บปิด |
| ≥ | มากกว่าหรือเท่ากับไม่เข้มงวดจุดทึบ, วงเล็บปิด |
การแปลงที่สมมูล: สิ่งที่ทำได้กับอสมการ
เราสามารถทำเกือบทุกอย่างกับอสมการได้เหมือนกับสมการ แต่มีข้อควรระวังที่สำคัญอย่างหนึ่ง การบวกและการลบสามารถทำได้โดยอิสระ: หากเราบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างของอสมการ เซตคำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลง นี่คือวิธีที่พจน์ 'ย้ายข้าง' ข้ามเครื่องหมาย โดยเปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบ
สำหรับการคูณและการหาร จะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวคูณ เมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม: \(<\) จะกลายเป็น \(>\), \(\le\) จะกลายเป็น \(\ge\) และในทางกลับกัน เหตุผลสามารถเห็นได้จากตัวเลข: จาก \(3 < 5\) ที่เป็นจริง เมื่อคูณด้วย \(-1\) จะได้ \(-3\) และ \(-5\) ซึ่ง \(-3 > -5\) — ลำดับของตัวเลขกลับด้าน
สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเราสลับข้างซ้ายและขวา: จาก \(7 < y\) จะได้ \(y > 7\)
| การดำเนินการกับทั้งสองข้าง | เครื่องหมาย |
|---|---|
| บวกหรือลบจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันทั้งสองข้าง | เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนบวก | เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ | เครื่องหมายเปลี่ยน |
| สลับข้างซ้ายและขวา | เครื่องหมายเปลี่ยน |
| คูณหรือหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (x − 2) | ทำไม่ได้ |
การเขียนคำตอบ: เส้นจำนวนและช่วง
เมื่อตัวแปรเหลืออยู่เพียงตัวเดียว การแก้เกือบจะเสร็จสมบูรณ์แล้ว สิ่งที่ต้องทำคือจัดรูปแบบคำตอบ วิธีที่สะดวกที่สุดคือการทำเครื่องหมายคำตอบบนเส้นจำนวนก่อน แล้วจึงนับช่วงจากเส้นจำนวน
มีกฎการเขียนเพียงสามข้อ และกฎเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงตามประเภทของอสมการ:
- วงเล็บเปิด — จุดนั้นไม่รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมายเข้มงวด, จุดกลวง)
- วงเล็บปิด — จุดนั้นรวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมายไม่เข้มงวด, จุดทึบ)
- สำหรับอนันต์ วงเล็บจะเป็นวงเล็บเปิดเสมอ: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — รูปแบบ \([-\infty;\ 4]\) ไม่มีอยู่จริง อนันต์ไม่ใช่จำนวนและไม่สามารถเข้าถึงได้
หากคำตอบเป็นสองส่วนของแกน ให้เชื่อมด้วยเครื่องหมายยูเนียน \(\cup\): ตัวอย่างเช่น \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)
ประเภทของอสมการและวิธีการแก้
อสมการจะแตกต่างกันไปตาม วิธีที่ตัวแปรปรากฏ - ว่ามันอยู่ในกำลังหนึ่ง, ภายใต้กำลังสอง, ในตัวส่วน, หรือภายใต้ค่าสัมบูรณ์ นี่คือสิ่งที่กำหนดวิธีการแก้ ดังนั้น ขั้นตอนแรกของการแก้ทุกครั้งคือการระบุประเภทของอสมการ ตรรกะทั่วไปต่อไปคือ: ทำอสมการให้อยู่ในรูป 'นิพจน์เปรียบเทียบกับศูนย์' จากนั้นใช้วิธีที่เหมาะสมกับประเภทนั้นๆ สรุปประเภทและวิธีการอยู่ในตารางด้านล่าง
ควรจำแยกต่างหากว่า ค่าสัมบูรณ์ เปิดอย่างไร — ตารางนี้ไม่ครอบคลุม เมื่อ \(a > 0\) อสมการ \(|f(x)| < a\) จะสมมูลกับอสมการคู่ \(-a < f(x) < a\) (ได้เป็นระบบ) และ \(|f(x)| > a\) จะสมมูลกับผลรวม \(f(x) < -a\) หรือ \(f(x) > a\) (ได้เป็นการรวมช่วง) หาก \(a < 0\) ก็ไม่ต้องคิดอะไรเลย ค่าสัมบูรณ์ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(|f(x)| < a\) จะไม่มีคำตอบ และ \(|f(x)| > a\) จะเป็นจริงสำหรับทุกค่า \(x\) ที่เป็นไปได้
อสมการติดราก (มีราก) และ อสมการเลขชี้กำลัง จะศึกษาในโรงเรียนมัธยมปลาย: นอกจากการแปลงทั่วไปแล้ว ยังมีการจัดการกับโดเมนของค่าที่เป็นไปได้ด้วย
การวิเคราะห์โดยละเอียดของแต่ละประเภท: อสมการเชิงเส้น, อสมการตรรกยะและวิธีช่วง, และรากของพหุนามกำลังสองสามารถหาได้ง่ายโดยใช้ ทฤษฎีบทของวีต
| ประเภท | ลักษณะและวิธีการแก้ |
|---|---|
| เชิงเส้น | ax + b > 0ย้ายพจน์และหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ x |
| กำลังสอง | ax2 + bx + c > 0หารากของพหุนามกำลังสองและพิจารณาพาราโบลา |
| เศษส่วนตรรกยะ | P(x) / Q(x) ≥ 0วิธีช่วง, จุดศูนย์ของตัวส่วนต้องกลวง |
| ค่าสัมบูรณ์ | | f(x) | < aเปิดค่าสัมบูรณ์ตามนิยาม |
| ระบบ | อสมการสองตัวในวงเล็บปีกกาแก้แต่ละอสมการ หาช่วงร่วม |
ระบบและผลรวมของอสมการ
บ่อยครั้งที่อสมการหนึ่งจะแยกออกเป็นสองอสมการ และสิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนว่าจะทำอย่างไรกับเซตที่ได้
ระบบ (วงเล็บปีกกา) หมายถึง 'ทั้งสองอย่างพร้อมกัน' เราแก้แต่ละอสมการแยกกัน ทำเครื่องหมายคำตอบทั้งสองบนแกนเดียวกัน และหา ช่วงร่วม — ส่วนที่ทับกัน หากไม่มีส่วนร่วม ระบบจะไม่มีคำตอบ
ผลรวม (วงเล็บเหลี่ยม) หมายถึง 'อย่างใดอย่างหนึ่ง' ในกรณีนี้ เราจะหา ยูเนียน — ทุกสิ่งที่ถูกระบายสีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ผลรวมมักจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดค่าสัมบูรณ์ที่มีเครื่องหมาย 'มากกว่า'
ควรแยก อสมการคู่ รูปแบบ \(-3 < 2x + 1 \le 7\) ออกมา: นี่คือการเขียนระบบแบบย่อ การแปลงจะทำกับทั้งสามส่วนพร้อมกัน — ลบ, หาร และเมื่อหารด้วยจำนวนลบ จะต้องกลับเครื่องหมายทั้งสองพร้อมกัน
ตัวอย่างการแก้อสมการ
ตัวอย่างที่ 1. ตรวจสอบว่าจำนวนเป็นคำตอบของอสมการหรือไม่
โจทย์ \(x = -1\) เป็นคำตอบของอสมการ \(3x + 5 \ge 1\) หรือไม่?
ขั้นตอนที่ 1 แทนค่า \(-1\) ลงใน \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\)
ขั้นตอนที่ 2 เปรียบเทียบกับด้านขวา: \(2 \ge 1\) — เป็นอสมการจำนวนจริงที่ถูกต้อง
คำตอบ ใช่ \(-1\) เป็นหนึ่งในคำตอบ แต่การแก้อสมการหมายถึงการหา ค่าทั้งหมด ที่เป็นเช่นนี้ ไม่ใช่แค่ค่าเดียว: ในที่นี้คำตอบคือ \(x \ge -\frac{4}{3}\)
ตัวอย่างที่ 2. อสมการเชิงเส้นพร้อมการเปลี่ยนเครื่องหมาย
โจทย์ แก้ \(7 - 3x < 1\)
ขั้นตอนที่ 1 ย้าย \(7\) ไปทางขวา (คือ ลบ \(7\) ทั้งสองข้าง — เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยน): \(-3x < 1 - 7\), ดังนั้น \(-3x < -6\)
ขั้นตอนที่ 2 หารทั้งสองข้างด้วย \(-3\) ตัวหารเป็นจำนวนลบ ดังนั้น เครื่องหมายจะเปลี่ยน: \(x > 2\)
ขั้นตอนที่ 3 ทำเครื่องหมายบนแกน: จุดกลวงที่ \(2\), ระบายสีทั้งหมดไปทางขวา
คำตอบ \(x > 2\), หรือ \(x \in (2;\ +\infty)\)
ตัวอย่างที่ 3. อสมการกำลังสอง
โจทย์ แก้ \(x^2 - 4x - 5 \le 0\)
ขั้นตอนที่ 1 หารากของพหุนามกำลังสอง: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), ดังนั้น \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\)
ขั้นตอนที่ 2 สัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เป็นบวก ดังนั้นกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น: ระหว่างราก พหุนามจะเป็นลบ และนอกรากจะเป็นบวก
ขั้นตอนที่ 3 เราต้องการเครื่องหมาย \(\le 0\) นั่นคือ ค่าที่เป็นลบ และ รากเอง (เครื่องหมายไม่เข้มงวด) — เราจะเลือกช่วงระหว่างรากพร้อมกับจุดปลาย
คำตอบ \(x \in [-1;\ 5]\)
ตัวอย่างที่ 4. อสมการค่าสัมบูรณ์
โจทย์ แก้ \(|x + 1| > 4\)
ขั้นตอนที่ 1 ค่าสัมบูรณ์มากกว่าจำนวนบวก หมายความว่านิพจน์ภายใต้ค่าสัมบูรณ์ต้องมากกว่า \(4\) หรือน้อยกว่า \(-4\) เราจะได้ผลรวม: \(x + 1 > 4\) หรือ \(x + 1 < -4\)
ขั้นตอนที่ 2 แก้แต่ละอสมการ: จากอสมการแรก \(x > 3\), จากอสมการที่สอง \(x < -5\)
ขั้นตอนที่ 3 นี่คือผลรวม ดังนั้นเราจะหา ยูเนียน ของช่วง ไม่ใช่ช่วงร่วม
คำตอบ \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)
ตัวอย่างที่ 5. ระบบอสมการ
โจทย์ แก้ระบบ \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
ขั้นตอนที่ 1 อสมการแรก: \(2x > -4\), หารด้วย \(2\) ที่เป็นบวก — เครื่องหมายคงเดิม, \(x > -2\)
ขั้นตอนที่ 2 อสมการที่สอง: \(x \le 4\)
ขั้นตอนที่ 3 ทำเครื่องหมายทั้งสองคำตอบบนแกนเดียวกันและหาช่วงร่วม — ส่วนที่ถูกระบายสีสองครั้ง ขอบเขตซ้ายไม่รวม (เครื่องหมายเข้มงวด), ขอบเขตขวา 포함 (เครื่องหมายไม่เข้มงวด)
คำตอบ \(x \in (-2;\ 4]\)
ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้อสมการ
-
หารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนลบและคงเครื่องหมายเดิม
เมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายจะต้องเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม จาก \(-5x \ge 10\) จะได้ \(x \le -2\), ไม่ใช่ \(x \ge -2\) คุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ด้วยการแทนค่า: \(x = -3\) จะได้ \(15 \ge 10\) — เป็นจริง ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 'น้อยกว่าหรือเท่ากับ'
-
เขียนวงเล็บปิดที่อนันต์: $[-\infty;\ 7]$
อนันต์ไม่ใช่จำนวน จึงไม่สามารถ 'เข้าถึง' ได้ ดังนั้นวงเล็บที่ \(\infty\) จะเป็นวงเล็บเปิดเสมอ: \((-\infty;\ 7]\) วงเล็บปิดจะใช้กับขอบเขตจำกัดที่รวมอยู่ในคำตอบเท่านั้น
-
สับสนระหว่างประเภทของวงเล็บและประเภทของจุด: ใช้เครื่องหมายวงเล็บปิดกับเครื่องหมายเข้มงวด
เครื่องหมายเข้มงวด (\(<\), \(>\)) — ขอบเขตไม่รวม: จุดกลวงและวงเล็บเปิด เครื่องหมายไม่เข้มงวด (\(\le\), \(\ge\)) — ขอบเขต 포함: จุดทึบและวงเล็บปิด การตรวจสอบง่ายๆ: ลองแทนค่าขอบเขตลงในอสมการเดิมและดูว่าผลลัพธ์ถูกต้องหรือไม่
-
คูณทั้งสองข้างของนิพจน์ที่มีตัวแปรเพื่อ 'กำจัดเศษส่วน'
เครื่องหมายของนิพจน์ดังกล่าวไม่ทราบแน่ชัด ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าจะต้องกลับเครื่องหมายอสมการหรือไม่ — การแปลงนี้ไม่สมมูลกัน แทนที่จะทำเช่นนั้น ให้ย้ายทุกอย่างไปข้างหนึ่ง ทำให้เป็นเศษส่วนเดียว และใช้วิธีช่วง
-
เขียนคำตอบเป็นจำนวนเดียว: 'x = 3' แทนที่จะเป็นเซต
คำตอบของอสมการคือเซตของค่าต่างๆ เขียนเป็นช่วง: \(x > 3\), หรือ \((3;\ +\infty)\) จำนวนเดียวอาจเป็นองค์ประกอบของคำตอบ แต่ไม่ใช่คำตอบทั้งหมด
-
สำหรับระบบจะใช้ยูเนียน และสำหรับผลรวมจะใช้ช่วงร่วม
สำหรับระบบ (วงเล็บปีกกา, 'และ') — ช่วงร่วม, ส่วนที่ทับกันของช่วง สำหรับผลรวม (วงเล็บเหลี่ยม, 'หรือ') — ยูเนียนผ่านเครื่องหมาย \(\cup\) และอีกอย่าง: รูปแบบ '\(-2 < x > 5\)' ไม่มีความหมาย — คำตอบดังกล่าวจะเขียนเป็นการรวมกันของสองช่วง
คำถามและคำตอบ
ความหมายของการแก้อสมการคืออะไร?
การแก้อสมการ หมายถึง การหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ทำให้อสมการกลายเป็นอสมการจำนวนจริงที่ถูกต้อง และเขียนเป็นเซต คำตอบจะเป็นช่วงหรือการรวมกันของช่วง ไม่ใช่จำนวนเดียว
อสมการมีกี่ประเภท?
ตามลักษณะของนิพจน์ที่มีตัวแปร เราสามารถจำแนกอสมการได้เป็น เชิงเส้น (\(ax + b > 0\)), กำลังสอง (\(ax^2 + bx + c > 0\)), เศษส่วนตรรกยะ (ตัวแปรในตัวส่วน), ค่าสัมบูรณ์, ติดราก และเลขชี้กำลัง นอกจากนี้ยังมีการแยกอสมการระบบและผลรวมออกจากกันด้วย ตามเครื่องหมายอสมการ จะแบ่งเป็นแบบเข้มงวด (\(<\), \(>\)) และแบบไม่เข้มงวด (\(\le\), \(\ge\))
เมื่อใดที่เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม?
ในสองกรณี: เมื่อทั้งสองข้างถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ และเมื่อสลับข้างซ้ายและขวา เมื่อบวก, ลบ และหารด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายจะยังคงเดิม
เมื่อใดที่ใช้วงเล็บเปิด และเมื่อใดที่ใช้วงเล็บปิด?
วงเล็บเปิด — หากขอบเขตไม่รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมายเข้มงวด, จุดกลวงบนแกน) วงเล็บปิด — หากรวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมายไม่เข้มงวด, จุดทึบ) ใกล้ \(+\infty\) และ \(-\infty\) วงเล็บจะเป็นวงเล็บเปิดเสมอ
การแก้อสมการแตกต่างจากการแก้อสมการอย่างไร?
การแปลงเกือบจะเหมือนกัน แต่สำหรับสมการ คำตอบมักจะประกอบด้วยจำนวนที่แยกจากกัน ในขณะที่สำหรับอสมการ คำตอบจะเป็นช่วงทั้งหมด นอกจากนี้ อสมการยังมีกฎการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อคูณและหารด้วยจำนวนลบ ซึ่งไม่มีในสมการ
อสมการเศษส่วนเรียกว่าอะไร และศึกษาที่ไหน?
อสมการเศษส่วน (เศษส่วนตรรกยะ) คืออสมการที่มีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน เช่น \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); เนื่องจากมีตัวส่วน จึงมีโดเมนของค่าที่เป็นไปได้ และไม่สามารถแก้ได้ด้วยการหารปกติ ขั้นตอนการแก้โดยละเอียดพร้อมตัวอย่างอยู่ในบทความแยกต่างหาก อสมการตรรกยะและวิธีช่วง
เรียนการแก้อสมการในชั้นปีใด?
อสมการเชิงเส้นและช่วงจำนวนจริงจะเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (ตามหลักสูตรเมอร์ซเลียก — ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3) อสมการกำลังสองและเศษส่วนตรรกยะพร้อมวิธีช่วงจะเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2-3 และอสมการติดรากและเลขชี้กำลังจะเรียนในโรงเรียนมัธยมปลาย
