สูตรกำลังสอง ใช้สำหรับแก้สมการกำลังสองทุกรูปแบบที่อยู่ในรูป \(ax^2 + bx + c = 0\) (โดยที่ \(a \neq 0\)) รากของสมการหาได้จาก \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) ในหน้านี้ คุณจะได้เรียนรู้ความหมายของแต่ละส่วน วิธีใช้สูตรทีละขั้นตอน วิธีที่ ดิสคริมิแนนต์ ช่วยบอกจำนวนคำตอบ และตัวอย่างที่แสดงวิธีทำอย่างละเอียด พร้อมเครื่องมือฝึกหัดแบบโต้ตอบให้คุณได้ลองทำทันที
สูตรกำลังสองคืออะไร
สมการกำลังสอง คือสมการใดๆ ที่เขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน \(ax^2 + bx + c = 0\) โดยที่ \(a\), \(b\) และ \(c\) เป็นตัวเลข และ \(a \neq 0\) ตัวเลข \(a\), \(b\) และ \(c\) เรียกว่า สัมประสิทธิ์: \(a\) คือสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\), \(b\) คือสัมประสิทธิ์ของ \(x\) และ \(c\) คือค่าคงที่
สูตรกำลังสองให้คำตอบ (หรือ ราก) ของสมการโดยตรงจากสัมประสิทธิ์ทั้งสามนี้ โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบ ซึ่งใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกข้อ แม้แต่ข้อที่แยกตัวประกอบได้ยาก
ที่มาของสูตร (การพิสูจน์): สูตรนี้ได้มาจากการ จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ ของสมการทั่วไป เริ่มจากหาร \(ax^2 + bx + c = 0\) ด้วย \(a\) ย้ายค่าคงที่ไปอีกฝั่ง บวก \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ทั้งสองข้างเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วถอดรากที่สอง ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรเดียวด้านล่างนี้ ซึ่งใช้ได้กับทุกค่า \(a\), \(b\), \(c\)
ดิสคริมิแนนต์: จำนวนรากของสมการ
ส่วนที่อยู่ใต้เครื่องหมายราก \(b^2 - 4ac\) เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (มักเขียนแทนด้วย \(D\)) คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณสูตรจนจบเพื่อดูว่าสมการมีกี่คำตอบ เพียงแค่ดู เครื่องหมาย ของดิสคริมิแนนต์ก็บอกได้ทันที
เนื่องจากเราไม่สามารถถอดรากที่สองของจำนวนลบในระบบจำนวนจริงได้ เครื่องหมายของ \(D\) จึงแบ่งสมการกำลังสองออกเป็น 3 กรณี: มี 2 ราก, มี 1 รากซ้ำ หรือไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง บนกราฟ นี่คือจุดที่พาราโบลา \(y = ax^2 + bx + c\) ตัดแกน x — ตัดสองจุด, ตัดจุดเดียว (ที่จุดยอด), หรือไม่ตัดเลย
| ดิสคริมิแนนต์ D = b² − 4ac | รากที่เป็นจำนวนจริง | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|
| D > 0 | มี 2 รากที่แตกต่างกัน | พาราโบลาตัดแกน x สองจุด ใช้ทั้งเครื่องหมายบวกและลบ: x = (−b ± √D) / 2a |
| D = 0 | มี 1 ราก (รากซ้ำ) | พาราโบลาแตะแกน x ที่จุดยอด เครื่องหมาย ± จะหายไป: x = −b / 2a |
| D < 0 | ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง | พาราโบลาไม่แตะแกน x เลย เพราะไม่มีรากที่สองของจำนวนลบในระบบจำนวนจริง |
วิธีใช้สูตรกำลังสอง: ขั้นตอน
สูตรกำลังสองมีวิธีใช้เหมือนเดิมเสมอ ทำตาม 5 ขั้นตอนนี้ตามลำดับแล้วคุณจะไม่มีวันพลาด ส่วนที่ยากที่สุดคือการอ่านค่าสัมประสิทธิ์ (พร้อมเครื่องหมาย) ให้ถูกต้องเท่านั้น
ตัวอย่างสูตรกำลังสอง (ทีละขั้นตอน)
ตัวอย่างที่ 1. มี 2 รากที่เป็นจำนวนจริง (D > 0)
แก้สมการ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
ขั้นตอนที่ 1–2. สมการอยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว อ่านค่าสัมประสิทธิ์ได้: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)
ขั้นตอนที่ 3. ดิสคริมิแนนต์: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)
ขั้นตอนที่ 4. \(D = 25 > 0\) ดังนั้นสมการนี้มี 2 รากที่เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน
ขั้นตอนที่ 5. แทนค่า: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)
ใช้เครื่องหมายบวก: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\) ใช้เครื่องหมายลบ: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
รากของสมการ: \(x = 3\) และ \(x = \tfrac{1}{2}\)
ตัวอย่างที่ 2. มี 1 รากซ้ำ (D = 0)
แก้สมการ \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
ขั้นตอนที่ 1–2. อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)
ขั้นตอนที่ 3. ดิสคริมิแนนต์: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)
ขั้นตอนที่ 4. \(D = 0\) ดังนั้นจึงมี 1 รากที่เป็นจำนวนจริง (รากซ้ำ) พจน์ \(\pm\) จะหายไปเพราะ \(\sqrt{0} = 0\)
ขั้นตอนที่ 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)
รากของสมการ: \(x = 3\) (สมการนี้คือรูปกำลังสองสมบูรณ์ \((x-3)^2 = 0\))
ตัวอย่างที่ 3. ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง (D < 0)
แก้สมการ \(x^2 + 2x + 5 = 0\)
ขั้นตอนที่ 1–2. รูปมาตรฐาน: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)
ขั้นตอนที่ 3. ดิสคริมิแนนต์: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)
ขั้นตอนที่ 4. \(D = -16 < 0\) เนื่องจากคุณไม่สามารถถอดรากที่สองของจำนวนลบในระบบจำนวนจริงได้ สมการนี้จึง ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง — พาราโบลาจะไม่ตัดแกน x เลย
ขั้นตอนที่ 5. ไม่ต้องคำนวณต่อสำหรับคำตอบที่เป็นจำนวนจริง (หากคุณเรียนเรื่องจำนวนเชิงซ้อน รากของสมการคือ \(x = -1 \pm 2i\) แต่สำหรับคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เราหยุดเพียงเท่านี้)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้สูตรกำลังสอง
-
ใส่เครื่องหมาย b ผิด โดยเฉพาะเมื่อ b เป็นค่าลบ
สูตรเริ่มต้นด้วย −b ถ้า b = −7 ดังนั้น −b = +7 — เครื่องหมายลบสองตัวจะหักล้างกัน ให้เขียนการแทนค่าออกมาให้ชัดเจน เช่น −(−7) ก่อนจะทำให้เป็นรูปอย่างง่าย
-
ลืมเครื่องหมาย ± และตอบเพียงรากเดียว
เมื่อ D > 0 เครื่องหมาย ± จะให้คำตอบสองค่า: ค่าหนึ่งใช้ + และอีกค่าใช้ − เสมอ ให้คำนวณทั้ง (−b + √D)/(2a) และ (−b − √D)/(2a) ยกเว้นกรณีที่ D = 0
-
หารเพียงบางส่วนของตัวเศษด้วย 2a
ตัวเศษทั้งหมด −b ± √D ต้องถูกหารด้วย 2a ไม่ใช่แค่ส่วน √D ให้เขียนเป็นเศษส่วนเดียว: (−b ± √D) / (2a)
-
คำนวณดิสคริมิแนนต์ผิดเมื่อ a หรือ c เป็นค่าลบ
ในสูตร D = b² − 4ac การลบ 4ac เมื่อ a·c เป็นค่าลบจะกลายเป็นการบวก เช่น สำหรับ 3x² − 2x − 1 จะได้ −4·3·(−1) = +12 ดังนั้น D = 4 + 12 = 16 ไม่ใช่ 4 − 12
-
ใช้สูตรก่อนจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน
ย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียวกันเพื่อให้สมการอยู่ในรูป ax² + bx + c = 0 ก่อนเสมอ เช่น x² = 5x − 6 ต้องเปลี่ยนเป็น x² − 5x + 6 = 0 ก่อนจะอ่านค่า a, b, c
คำถามที่พบบ่อย
สูตรกำลังสองคืออะไร?
สูตรกำลังสองคือ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ใช้สำหรับหาคำตอบของสมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0 (โดยที่ a ≠ 0) ได้โดยตรงจากสัมประสิทธิ์ a, b และ c
วิธีใช้สูตรกำลังสองทีละขั้นตอนทำอย่างไร?
จัดรูปสมการให้เป็น ax² + bx + c = 0 ระบุค่า a, b, c พร้อมเครื่องหมาย คำนวณดิสคริมิแนนต์ D = b² − 4ac ตรวจสอบเครื่องหมายของ D เพื่อดูจำนวนราก แล้วแทนค่าลงใน x = (−b ± √D) / (2a) และคำนวณหาค่าทั้งสองกรณี
ดิสคริมิแนนต์คืออะไรและสำคัญอย่างไร?
ดิสคริมิแนนต์คือ D = b² − 4ac ซึ่งเป็นนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายราก เครื่องหมายของมันช่วยบอกจำนวนรากที่เป็นจำนวนจริงได้โดยไม่ต้องคำนวณจนจบ: D > 0 มี 2 ราก, D = 0 มี 1 รากซ้ำ, และ D < 0 ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง
เมื่อไหร่ควรใช้สูตรกำลังสองแทนการแยกตัวประกอบ?
การแยกตัวประกอบทำได้รวดเร็วเมื่อตัวเลขไม่ซับซ้อน แต่สูตรกำลังสองใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกข้อ รวมถึงข้อที่แยกตัวประกอบไม่ได้ หรือมีรากเป็นจำนวนอตรรกยะ/ทศนิยม จึงเป็นวิธีที่เชื่อถือได้เสมอเมื่อการแยกตัวประกอบไม่ชัดเจน
สูตรกำลังสองมีที่มาจากไหน?
ได้มาจากการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ของสมการทั่วไป ax² + bx + c = 0: เริ่มจากหารด้วย a, จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์โดยบวก (b/2a)², เขียนฝั่งซ้ายให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรกำลังสอง
สูตรกำลังสองสามารถไม่มีคำตอบได้หรือไม่?
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นลบ (D < 0) จะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเพราะไม่สามารถถอดรากที่สองของจำนวนลบในระบบจำนวนจริงได้ สมการจะมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนแทน แต่ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง บนกราฟคือพาราโบลาไม่แตะแกน x เลย
