สูตรการคูณย่อ

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

สูตรการคูณย่อ (Special Products) คือเอกลักษณ์ทางพีชคณิตที่ช่วยให้เรากระจายพจน์และแยกตัวประกอบได้โดยไม่ต้องคูณยาว ในหน้านี้มีตารางสูตรทั้ง 7 สูตร ได้แก่ กำลังสองสมบูรณ์ (ผลบวกและผลต่าง), ผลต่างกำลังสอง, กำลังสามสมบูรณ์ (ผลบวกและผลต่าง), และผลบวก/ผลต่างกำลังสาม เรามีคำอธิบายวิธีพิสูจน์และตัวอย่างประกอบทุกสูตร พร้อมแบบฝึกหัดโต้ตอบท้ายหน้าให้คุณได้ฝึกฝนการใช้สูตรจริง

สูตรการคูณย่อคืออะไร

สูตรการคูณย่อคือเอกลักษณ์ที่ได้จากการคูณพหุนามอย่างละเอียดและจดจำผลลัพธ์ไว้ เพื่อให้ครั้งต่อไปเราไม่ต้องกระจายพจน์เองทุกครั้ง เพียงแค่จำรูปแบบและแทนค่าตัวเลขหรือตัวแปรลงไป

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ต้น สูตรการคูณย่อใช้ใน 2 ทิศทาง:

จากซ้ายไปขวา — เพื่อ กระจายพจน์ และยกกำลังสองหรือกำลังสามอย่างรวดเร็ว;
จากขวาไปซ้าย — เพื่อ แยกตัวประกอบพหุนาม (ใช้สำหรับการตัดทอนเศษส่วนและแก้สมการ).

โดยทั่วไปต้องจำทั้งหมด 7 สูตร ด้านล่างนี้คือตารางสรุปและคำอธิบายแยกแต่ละสูตร

ตารางสูตรการคูณย่อ

ตารางนี้รวบรวมสูตรการคูณย่อทั้ง 7 สูตรเพื่อให้ดูง่าย โดยที่ $a$ และ $b$ คือนิพจน์ใดๆ ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข ตัวแปร หรือเอกนาม เช่น $2x$

สูตร	นิพจน์
กำลังสองของผลบวก	(a + b)² = a² + 2ab + b²
กำลังสองของผลต่าง	(a − b)² = a² − 2ab + b²
ผลต่างกำลังสอง	a² − b² = (a − b)(a + b)
กำลังสามของผลบวก	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
กำลังสามของผลต่าง	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
ผลบวกกำลังสาม	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
ผลต่างกำลังสาม	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

กำลังสองของผลบวกและกำลังสองของผลต่าง

กำลังสองของผลบวกได้จากการคูณ $(a+b)$ ด้วยตัวมันเอง:

\[(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

อธิบายเป็นคำพูด: กำลังสองของผลบวกเท่ากับหน้ากำลังสอง บวกสองเท่าของหน้าคูณหลัง บวกหลังกำลังสอง ในทำนองเดียวกัน กำลังสองของผลต่างก็พิสูจน์ได้คล้ายกัน เพียงแต่เครื่องหมายของพจน์กลางจะเป็นลบ:

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

สิ่งที่สำคัญที่สุดคืออย่าลืมพจน์กลาง $2ab$ เพราะเหตุนี้ $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ กำลังสองของผลบวกและผลต่างต่างกันแค่เครื่องหมายหน้า $2ab$ ส่วนพจน์ริม $a^2$ และ $b^2$ จะเป็นบวกเสมอ

ตัวอย่าง. $(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.$

กำลังสองของผลบวกมีภาพประกอบทางเรขาคณิตที่ชัดเจน: คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้านยาว $(a+b)$

(a + b)² = a² + 2ab + b² — พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป (a² และ b²) และสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากันสองรูป ab

ผลต่างกำลังสอง

หากคูณผลต่างและผลบวกของนิพจน์เดียวกัน พจน์กลางจะหักล้างกันไปเอง:

\[(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.\]

ได้เป็นสูตร ผลต่างกำลังสอง: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) นี่คือสูตรที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับการ แยกตัวประกอบ: ทันทีที่เห็นผลต่างของกำลังสองสองตัว ให้แยกเป็นผลคูณได้เลย

ตัวอย่าง (กระจายพจน์). $(x-7)(x+7) = x^2 - 49.$

ตัวอย่าง (แยกตัวประกอบ). $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).$

ข้อควรระวัง: ผลบวกกำลังสอง $a^2 + b^2$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบด้วยสูตรนี้ได้ ใช้ได้เฉพาะผลต่างเท่านั้น

กำลังสามของผลบวก, กำลังสามของผลต่าง, ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

กำลังสามของผลบวกและกำลังสามของผลต่างจะมี 4 พจน์:

\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

สำหรับกำลังสามของผลต่าง เครื่องหมายจะสลับกัน: $+\,-\,+\,-$ และกับดักที่พบบ่อยคือ $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ ไม่สามารถกระจายเลขชี้กำลังเข้าไปเฉยๆ ได้ พจน์กลาง $3a^2b$ และ $3ab^2$ ห้ามหายไป

ตัวอย่าง. $(x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

ส่วน ผลบวกและผลต่างกำลังสาม จะทำหน้าที่แยกตัวประกอบ:

\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).\]

พจน์ที่สองเรียกว่า กำลังสองไม่สมบูรณ์ ของผลบวกหรือผลต่าง เครื่องหมายในพจน์กลางจะตรงข้ามกับเครื่องหมายในวงเล็บแรกเสมอ: ผลบวกกำลังสามใช้ $-ab$, ผลต่างกำลังสามใช้ $+ab$

ตัวอย่าง. $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).$

ตัวอย่างการใช้สูตรการคูณย่อ

ตัวอย่างที่ 1. กระจายพจน์: กำลังสองของผลบวก

โจทย์. จงยกกำลังสอง $(2x+5)^2$

ขั้นตอนที่ 1. ใช้สูตรกำลังสองของผลบวก: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ โดยที่ $a = 2x$, $b = 5$

ขั้นตอนที่ 2. คำนวณแต่ละพจน์:

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$;
$2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x$;
$b^2 = 5^2 = 25$.

คำตอบ. $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.$

ตัวอย่างที่ 2. ยุบพจน์ด้วยสูตรผลต่างกำลังสอง

โจทย์. หาผลคูณ $(3x-4)(3x+4)$

ขั้นตอนที่ 1. นี่คือผลคูณของผลต่างและผลบวกของนิพจน์เดียวกัน — คือผลต่างกำลังสอง $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ โดยที่ $a = 3x$, $b = 4$

ขั้นตอนที่ 2. ยกกำลังสองแต่ละนิพจน์: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $b^2 = 4^2 = 16$.

คำตอบ. $(3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.$

ตัวอย่างที่ 3. แยกตัวประกอบ

โจทย์. แยกตัวประกอบ $x^2 - 36$ และ $x^3 + 27$

ผลต่างกำลังสอง. $x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).$

ผลบวกกำลังสาม. สังเกตว่า $27 = 3^3$ ดังนั้น $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$ ใช้สูตร $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ โดยที่ $a = x$, $b = 3$:

\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\]

สังเกตเครื่องหมาย $-3x$ ในกำลังสองไม่สมบูรณ์ — สำหรับผลบวกกำลังสาม พจน์กลางจะเป็นลบ

ตัวอย่างที่ 4. กำลังสามของผลบวก

โจทย์. กระจายพจน์ $(x+2)^3$

ขั้นตอนที่ 1. สูตรกำลังสามของผลบวก: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ โดยที่ $a = x$, $b = 2$

ขั้นตอนที่ 2. คำนวณพจน์ตามลำดับ:

$a^3 = x^3$;
$3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2$;
$3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x$;
$b^3 = 2^3 = 8$.

คำตอบ. $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้สูตร

ลืมพจน์กลาง: เขียน $(a+b)^2 = a^2 + b^2$

ในกำลังสองของผลบวกและผลต่างจะมีพจน์กลาง $2ab$ เสมอ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการคูณ $(a+b)(a+b)$ แบบตั้งคูณ แล้วพจน์กลางจะปรากฏออกมาเอง
สับสนเครื่องหมายในกำลังสองของผลต่างและผลต่างกำลังสอง

ในกำลังสองของผลต่าง เครื่องหมายลบอยู่แค่ที่พจน์กลาง: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (พจน์ริมเป็นบวก) ส่วนในผลต่างกำลังสอง เครื่องหมายลบอยู่ระหว่างกำลังสอง: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) นี่คือคนละสูตรกัน
กระจายเลขชี้กำลังในกำลังสาม: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$

ทำแบบนี้ไม่ได้ กำลังสามของผลบวกมี 4 พจน์: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ส่วนสูตร $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ เป็นเรื่องของการแยกตัวประกอบ
ในกำลังสองไม่สมบูรณ์ของผลบวก/ผลต่างกำลังสาม ใส่พจน์กลางเป็น $2ab$

กำลังสองไม่สมบูรณ์คือ $a^2 \pm ab + b^2$ ไม่มีเลข 2 หน้า $ab$ เครื่องหมายจะตรงข้ามกับวงเล็บแรก: ผลบวกกำลังสาม $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$, ผลต่างกำลังสาม $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$
พยายามแยกตัวประกอบผลบวกกำลังสอง $a^2 + b^2$

สูตรนี้แยกได้เฉพาะผลต่างกำลังสอง $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ เท่านั้น ผลบวกกำลังสอง $a^2 + b^2$ ในหลักสูตรโรงเรียนไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

คำถามและคำตอบ

สูตรการคูณย่อมีทั้งหมดกี่สูตร?

7 สูตร: กำลังสองของผลบวก, กำลังสองของผลต่าง, ผลต่างกำลังสอง, กำลังสามของผลบวก, กำลังสามของผลต่าง, ผลบวกกำลังสาม และผลต่างกำลังสาม ทั้งหมดรวมอยู่ในตารางด้านบน

กำลังสองของผลบวกเท่ากับเท่าใด?

เท่ากับหน้ากำลังสอง บวกสองเท่าของหน้าคูณหลัง บวกหลังกำลังสอง: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 สำหรับกำลังสองของผลต่าง พจน์กลางจะเป็นลบ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

จะแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสองได้อย่างไร?

ใช้สูตร $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) เช่น $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5) เพียงแค่ดูว่าพจน์ทั้งสองเป็นกำลังสองสมบูรณ์และมีเครื่องหมายลบตรงกลาง

ทำไม $(a+b)^2$ ถึงไม่เท่ากับ $a^2 + b^2$?

เพราะเมื่อคูณ $(a+b)(a+b)$ จะมีพจน์ $ab$ เพิ่มมาอีกสองพจน์ ซึ่งรวมกันได้พจน์กลาง $2ab$ ห้ามลืมพจน์นี้: ที่ถูกต้องคือ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

กำลังสามของผลบวกต่างจากผลบวกกำลังสามอย่างไร?

กำลังสามของผลบวก $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ คือการกระจายพจน์ ส่วนผลบวกกำลังสาม $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ คือการแยกตัวประกอบ เป็นคนละสูตรกัน อย่าสับสน

เรียนสูตรการคูณย่อตอน ม.ไหน?

ปกติเรียนตอน ม.2 ในวิชาคณิตศาสตร์: เริ่มจากกำลังสองของผลบวก/ผลต่าง และผลต่างกำลังสอง ก่อนจะไปถึงสูตรกำลังสาม ซึ่งจะถูกนำไปใช้อย่างต่อเนื่องในการลดรูปนิพจน์ ตัดทอนเศษส่วน และแก้สมการ

มีคำถามเพิ่มเติม? คุยต่อในแชท

ช่วยกระจายพจน์ให้หน่อย แยกตัวประกอบ ตรวจคำตอบให้หน่อย กำลังสามของผลบวก หรือ ผลบวกกำลังสาม? ขอโจทย์ฝึกฝนหน่อย

ผู้ใช้ #4365351

ฉันชอบโปรแกรมแก้ไขข้อความบนรูปภาพมาก ผลลัพธ์ออกมาเป็นผลงานชิ้นเอกเลย

Web · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4383661

ขอบคุณนะ ผลงานของ AI ทำให้ฉันประทับใจมาก สมบูรณ์แบบ!

ผู้ใช้ #4279467

ฉันชอบมากเลย ถ้ามีสิทธิ์ใช้งานฟรีเพิ่มอีกสักหน่อยจะดีมาก

Google Play · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4160129

เป็นแอปที่ยอดเยี่ยมและราคาจับต้องได้