อสมการตรรกยะ คือ อสมการในรูป \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) โดยที่ \(P(x)\) และ \(Q(x)\) เป็นพหุนาม และเครื่องหมาย \(>\) อาจแทนด้วย \(<\), \(\ge\) หรือ \(\le\) วิธีแก้อสมการเหล่านี้คือวิธีช่วง: ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย, แยกตัวประกอบ, ทำเครื่องหมายบนแกนจำนวนจริงที่จุดรากของเศษและรากของส่วน และกำหนดเครื่องหมายในแต่ละช่วง ด้านล่างนี้คือ นิยาม, ขั้นตอนการแก้ปัญหาที่สมบูรณ์, กฎของจุดโปร่ง, อันดับของราก, ตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้ว และแบบฝึกหัดพร้อมการตรวจสอบ
อสมการตรรกยะคืออะไร
อสมการตรรกยะ คือ อสมการที่ทั้งสองข้างเป็นนิพจน์ตรรกยะ นั่นคือ พหุนามและเศษส่วนของพหุนาม หลังจากย้ายทุกอย่างไปอยู่ข้างเดียวกันแล้ว จะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป
โดยที่ \(P(x)\) และ \(Q(x)\) เป็นพหุนาม และเครื่องหมาย \(\vee\) แทนเครื่องหมายใดเครื่องหมายหนึ่งในกลุ่ม \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) ทางขวาต้องเป็นศูนย์เสมอ ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับวิธีช่วง
อสมการตรรกยะแบ่งออกเป็นสองประเภท หากตัวแปรปรากฏเฉพาะในตัวเศษ อสมการนั้นจะเรียกว่า อสมการตรรกยะแบบจำนวนเต็ม: ไม่มีตัวหาร และใช้ค่า \(x\) ได้ทุกค่า หากตัวแปรอยู่ในตัวส่วน อสมการนั้นจะเป็น อสมการตรรกยะแบบเศษส่วน (หรือเรียกว่าอสมการเศษส่วน หรืออสมการที่มีเศษส่วน) ซึ่งจะทำให้เกิดข้อจำกัดทันทีคือ \(Q(x) \neq 0\)
ทำไมถึงคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนไม่ได้
สิ่งล่อใจที่แรงที่สุดในการแก้อสมการที่มีเศษส่วนคือการ 'กำจัดตัวส่วน' ด้วยการคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนนั้น สามารถทำได้กับสมการ แต่ทำไม่ได้กับอสมการ เหตุผลง่ายๆ คือ เมื่อคูณด้วย จำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจะกลับด้าน แต่เครื่องหมายของนิพจน์ \(Q(x)\) ไม่ทราบล่วงหน้า — ขึ้นอยู่กับค่า \(x\)
ลองดูอสมการ \(\frac{5}{x-3} < 1\) คูณทั้งสองข้างด้วย \(x - 3\) เหมือนเป็นจำนวนบวก จะได้ \(5 < x - 3\) หรือ \(x > 8\) ลองตรวจสอบคำตอบโดยแทนค่า \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — อสมการเป็นจริง ดังนั้นศูนย์ก็ควรเป็นคำตอบด้วย แต่ศูนย์ไม่อยู่ในคำตอบ \(x > 8\) คำตอบจึงหายไป
วิธีที่ถูกต้องคือย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายและรวมเป็นเศษส่วนเดียว:
ในขั้นตอนสุดท้าย เราคูณทั้งสองข้างด้วย \(-1\) และ กลับเครื่องหมาย — ซึ่งทำได้ เพราะ \(-1\) เป็นจำนวนลบเสมอ จากนั้นใช้วิธีช่วง และได้คำตอบ \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) ซึ่งรวมศูนย์ที่หายไปด้วย
จำง่ายๆ คือ: ห้ามคูณทั้งสองข้างด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร แต่ย้ายข้างได้เสมอ การย้ายข้างไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
วิธีช่วง: ขั้นตอนการแก้อสมการ
วิธีช่วงอาศัยคุณสมบัติอย่างหนึ่ง: ระหว่างรากที่อยู่ติดกันของนิพจน์ตรรกยะ เครื่องหมายของนิพจน์จะคงที่ ดังนั้น เพียงแค่หาจุดทั้งหมดที่ทำให้ตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นศูนย์ แบ่งแกนจำนวนจริงออกเป็นช่วงๆ และกำหนดเครื่องหมายในแต่ละช่วง โดยใช้จุดทดสอบหนึ่งจุด หรือพิจารณาจากอันดับของราก
จุดโปร่งและจุดทึบ: โดเมนและเครื่องหมายอสมการ
ข้อผิดพลาดในวงเล็บเดียวสามารถเปลี่ยนคำตอบที่ถูกต้องให้เป็นคำตอบที่ผิดได้ ดังนั้นควรจำกฎเกี่ยวกับจุดให้แม่น มีหลักการเพียงสองข้อเท่านั้น
ข้อแรก - โดเมนที่ยอมรับได้ (ODZ) รากของตัวส่วนจะเป็นจุดโปร่งเสมอ ไม่ว่าเครื่องหมายอสมการจะเป็นอย่างไร ณ จุดนั้น เศษส่วนจะไม่มีความหมาย: หารด้วยศูนย์ไม่ได้ ดังนั้นค่าดังกล่าวจึงไม่สามารถเป็นคำตอบได้ แม้ว่าเครื่องหมายจะไม่เข้มงวด
ข้อสอง - เครื่องหมายเข้มงวดหรือไม่เข้มงวด รากของตัวเศษทำให้เศษส่วนเป็นศูนย์ หากเครื่องหมายไม่เข้มงวด (\(\le\) หรือ \(\ge\)) การเท่ากับศูนย์เป็นที่ยอมรับได้ ดังนั้นจุดนั้นจะถูกเติมทึบและรวมอยู่ในคำตอบด้วยวงเล็บเหลี่ยม หากเครื่องหมายเข้มงวด (\(<\) หรือ \(>\)) ศูนย์ไม่เป็นที่ยอมรับ ดังนั้นจุดนั้นจะเป็นจุดโปร่ง
ตัวอย่างเช่น สำหรับอสมการ \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) จุด \(x = 6\) จะถูกเติมทึบ (รากของเศษ, เครื่องหมายไม่เข้มงวด) และจุด \(x = -1\) จะเป็นจุดโปร่ง (รากของส่วน) คำตอบคือ \(x \in (-1; 6]\)
| จุดประเภทใด | ทำเครื่องหมายอย่างไร |
|---|---|
| รากของส่วน, Q(x) = 0 | โปร่ง เสมอ, ไม่ว่าเครื่องหมายจะเป็นอย่างไร - จุดนั้นไม่อยู่ในโดเมน |
| รากของเศษ, เครื่องหมายเข้มงวด < หรือ > | โปร่ง เศษส่วนเป็นศูนย์ แต่ต้องการเครื่องหมายที่ต่างออกไปอย่างเข้มงวด |
| รากของเศษ, เครื่องหมายไม่เข้มงวด ≤ หรือ ≥ | ทึบ การเท่ากับศูนย์เป็นที่ยอมรับ จุดนั้นรวมอยู่ในคำตอบ |
อันดับของราก: เครื่องหมายเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยน
เครื่องหมายในแต่ละช่วงไม่จำเป็นต้องสลับกันเสมอไป — นี่คือความเข้าใจผิดที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ การสลับกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อวงเล็บทั้งหมดปรากฏในเลขชี้กำลังหนึ่ง กฎที่แม่นยำกว่าคือ อันดับของราก — เลขชี้กำลังของวงเล็บที่เกี่ยวข้อง
เมื่อข้ามรากที่มีอันดับ คี่ (เลขชี้กำลัง 1, 3, 5) เครื่องหมายของนิพจน์จะเปลี่ยนไป เมื่อข้ามรากที่มีอันดับ คู่ (เลขชี้กำลัง 2, 4) เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยน: วงเล็บที่ยกกำลังคู่จะมีค่าไม่ติดลบและไม่ส่งผลต่อเครื่องหมายของนิพจน์ การนับอันดับจะเหมือนกันทั้งในตัวเศษและตัวส่วน
พิจารณา \((x-9)^2(x+3) > 0\) รากคือ \(x = 9\) มีอันดับ 2 และ \(x = -3\) มีอันดับ 1 ทางขวาของ 9 นิพจน์เป็นบวก เมื่อข้าม 9 — อันดับเป็นคู่ เครื่องหมายจะคงเดิม ในช่วง \((-3; 9)\) ก็ยังเป็นบวก เมื่อข้าม \(-3\) — อันดับเป็นคี่ เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นลบ คำตอบของอสมการเข้มงวดคือ: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\) จุด 9 เป็นจุดโปร่ง เพราะที่จุดนั้นนิพจน์มีค่าเป็นศูนย์ แต่สำหรับอสมการไม่เข้มงวด \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) คำตอบจะต่างออกไป: \(x \in [-3; +\infty)\) — จุด 9 จะถูกเติมทึบและ 'เชื่อม' สองช่วงเข้าด้วยกัน
| อันดับของราก | เครื่องหมายเมื่อข้าม |
|---|---|
| คี่: (x − a), (x − a)3 | เปลี่ยน |
| คู่: (x − a)2, (x − a)4 | ไม่เปลี่ยน |
แกนจำนวนจริงพร้อมตัวอย่าง: การกำหนดเครื่องหมาย
รวบรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันในอสมการ \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) รากของเศษคือ \(x = -7\) รากของส่วนคือ \(x = 2\) และ \(x = 5\) ซึ่งเป็นจุดที่กำหนดโดเมน วงเล็บทั้งสามมีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่ง ดังนั้นเครื่องหมายจะสลับกัน จุดทดสอบ \(x = 10\) ในช่วงทางขวาสุดให้ค่า \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — เริ่มต้นด้วยบวกและเดินไปทางซ้าย เปลี่ยนเครื่องหมายที่แต่ละจุด
ตัวอย่างการแก้อสมการตรรกยะ
ตัวอย่างที่ 1. อสมการเศษส่วนอย่างง่าย
แก้ \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
ขั้นตอนที่ 1. ทางขวาเป็นศูนย์แล้ว และเป็นเศษส่วนเดียว - ไม่ต้องย้ายข้างหรือรวมเศษส่วน
ขั้นตอนที่ 2. โดเมน (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), นั่นคือ \(x \neq -5\).
ขั้นตอนที่ 3. ราก. ตัวเศษเป็นศูนย์ที่ \(x = 3\), ตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ \(x = -5\).
ขั้นตอนที่ 4. จุดบนแกน. \(x = 3\) เติมทึบ (รากของเศษ, เครื่องหมายไม่เข้มงวด), \(x = -5\) เป็นจุดโปร่ง (รากของส่วน).
ขั้นตอนที่ 5. เครื่องหมาย. จุดทดสอบ \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — ทางขวาเป็นบวก วงเล็บทั้งสองมีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่ง ดังนั้นเครื่องหมายจะสลับกัน: ในช่วง \((-5; 3)\) เป็นลบ, ในช่วง \((-\infty; -5)\) เป็นบวก ตรวจสอบ: ที่ \(x = -6\) ได้ \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — ตรงกัน
ขั้นตอนที่ 6. คำตอบ. ต้องการเครื่องหมาย 'บวกหรือศูนย์': \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
ตัวอย่างที่ 2. ทางขวาไม่ใช่ศูนย์ - ย้ายข้าง
แก้ \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
ขั้นตอนที่ 1. ย้าย 1 ไปทางซ้าย. ห้ามคูณด้วย \(x - 4\) เพราะเครื่องหมายของนิพจน์นี้ไม่ทราบ:
ขั้นตอนที่ 2. รวมเป็นเศษส่วนเดียว.
ขั้นตอนที่ 3. โดเมน (ODZ). \(x \neq 4\).
ขั้นตอนที่ 4. จุด. \(x = -5\) — รากของเศษ, เครื่องหมายไม่เข้มงวด, เติมทึบ. \(x = 4\) — รากของส่วน, โปร่ง.
ขั้นตอนที่ 5. เครื่องหมาย. ที่ \(x = 5\) เศษส่วนมีค่าเท่ากับ \(\frac{10}{1} > 0\) ดังนั้นในช่วง \((4; +\infty)\) เป็นบวก, ในช่วง \((-5; 4)\) เป็นลบ, ในช่วง \((-\infty; -5)\) เป็นบวก.
ขั้นตอนที่ 6. คำตอบ. \(x \in [-5; 4)\) ตรวจสอบจุดขอบ: ที่ \(x = -5\) เศษส่วนมีค่าเป็นศูนย์ — เหมาะสำหรับ \(\le\); ที่ \(x = 4\) เศษส่วนไม่มีความหมาย — ไม่เหมาะ
ตัวอย่างที่ 3. รากอันดับคู่และจุดโดดเดี่ยว
แก้ \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
ขั้นตอนที่ 1. โดเมน (ODZ). \(x \neq 9\).
ขั้นตอนที่ 2. รากและอันดับ. \(x = 2\) — อันดับ 2 (คู่), \(x = -6\) — อันดับ 1, \(x = 9\) — อันดับ 1 ในตัวส่วน.
ขั้นตอนที่ 3. จุด. \(x = 2\) และ \(x = -6\) เติมทึบ (รากของเศษเมื่อเครื่องหมายไม่เข้มงวด), \(x = 9\) โปร่ง.
ขั้นตอนที่ 4. เครื่องหมาย. จุดทดสอบ \(x = 10\): ตัวเศษเป็นบวก, ตัวส่วนเป็น 1 — บวก เดินไปทางซ้าย. ข้าม 9 (อันดับคี่) เครื่องหมายเปลี่ยน: ในช่วง \((2; 9)\) เป็นลบ. ข้าม 2 (อันดับ คู่) เครื่องหมาย ไม่เปลี่ยน: ในช่วง \((-6; 2)\) ก็ยังเป็นลบ. ข้าม \(-6\) (อันดับคี่) เครื่องหมายเปลี่ยน: ในช่วง \((-\infty; -6)\) เป็นบวก.
ขั้นตอนที่ 5. คำตอบ. เลือกช่วงที่มีเครื่องหมาย 'บวก' บวกกับจุดทั้งหมดที่นิพจน์มีค่าเป็นศูนย์. จุด \(x = 2\) อยู่ในช่วงที่เป็นลบ แต่ตัวนิพจน์เองมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดนั้น ดังนั้นจึงรวมอยู่ในคำตอบแยกต่างหาก:
จุด 'โดดเดี่ยว' เช่นนี้ในคำตอบ — เป็นสัญญาณที่ถูกต้องของรากอันดับคู่เมื่อเครื่องหมายไม่เข้มงวด
ตัวอย่างที่ 4. การตัดทอนเศษส่วน: กับดักโดเมน
แก้ \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
ขั้นตอนที่ 1. แยกตัวประกอบ. ตัวเศษเป็นกำลังสองสมบูรณ์: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). สำหรับตัวส่วน คำนวณดิสคริมิแนนต์: \(D = 81 + 40 = 121\), รากคือ \(x_1 = \frac{1}{5}\) และ \(x_2 = -2\), ดังนั้น \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
ขั้นตอนที่ 2. โดเมน (ODZ) — ก่อนการตัดทอนใดๆ. \(5x - 1 \neq 0\) และ \(x + 2 \neq 0\), นั่นคือ \(x \neq \frac{1}{5}\) และ \(x \neq -2\).
ขั้นตอนที่ 3. ตัดทอน. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\) แต่เฉพาะเมื่อ \(x \neq \frac{1}{5}\) — การตัดทอนไม่ทำให้จุดโปร่งกลับคืนมา
ขั้นตอนที่ 4. แก้ \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). ราก: \(\frac{1}{5}\) และ \(-2\). ที่ \(x = 1\) เศษส่วนมีค่าเท่ากับ \(\frac{4}{3} > 0\). ดังนั้นในช่วง \((\frac{1}{5}; +\infty)\) เป็นบวก, ในช่วง \((-2; \frac{1}{5})\) เป็นลบ, ในช่วง \((-\infty; -2)\) เป็นบวก.
ขั้นตอนที่ 5. นำโดเมน (ODZ) กลับมาใช้. ช่วง \((-2; \frac{1}{5}]\) จะเหมาะสมตามเครื่องหมาย แต่จุด \(\frac{1}{5}\) เป็นจุดโปร่ง: ในอสมการตั้งต้น ตัวส่วน \(5x^2+9x-2\) ที่ \(x = \frac{1}{5}\) จะเป็นศูนย์ เศษส่วนจะไม่มีความหมาย ณ จุดนั้น
คำตอบ: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — วงเล็บทั้งสองเป็นวงกลม
ตัวอย่างที่ 5. พหุนามกำลังสองในตัวเศษ
แก้ \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
ขั้นตอนที่ 1. แยกตัวประกอบตัวเศษ. ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลบวกของรากคือ 7, ผลคูณคือ 10 ดังนั้น \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). อสมการจะอยู่ในรูป \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
ขั้นตอนที่ 2. โดเมน (ODZ). \(x \neq -4\).
ขั้นตอนที่ 3. จุด. ทั้งสามจุดเป็นจุดโปร่ง: \(-4\) — รากของส่วน, \(2\) และ \(5\) — รากของเศษเมื่อเครื่องหมายเข้มงวด.
ขั้นตอนที่ 4. เครื่องหมาย. จุดทดสอบ \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). วงเล็บทั้งหมดมีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่ง ดังนั้นเครื่องหมายจะสลับกัน: ในช่วง \((5; +\infty)\) เป็นบวก, ในช่วง \((2; 5)\) เป็นลบ, ในช่วง \((-4; 2)\) เป็นบวก, ในช่วง \((-\infty; -4)\) เป็นลบ.
ขั้นตอนที่ 5. คำตอบ. ต้องการเครื่องหมายลบที่เข้มงวด: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). ตรวจสอบโดยการแทนค่า: ที่ \(x = -5\) ได้ \(\frac{70}{-1} < 0\), ที่ \(x = 3\) ได้ \(\frac{-2}{7} < 0\) — ทั้งสองช่วงเหมาะสม
ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้อสมการตรรกยะ
-
คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วน: จาก $\frac{3}{x-8} > 1$ กลายเป็น $3 > x - 8$ และเขียน $x < 11$
เครื่องหมายของนิพจน์ \(x - 8\) ไม่ทราบล่วงหน้า และเมื่อคูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจะกลับด้าน การตรวจสอบ: \(x = 0\) ให้ \(\frac{3}{-8} < 1\) — ศูนย์ไม่ใช่คำตอบ แม้ว่าจะอยู่ในคำตอบ \(x < 11\) วิธีที่ถูกต้อง: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), นั่นคือ \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), ซึ่งได้ \(x \in (8; 11)\)
-
เติมทึบรากของส่วนเพราะเครื่องหมายไม่เข้มงวด: สำหรับ $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ เขียนคำตอบด้วยวงเล็บเหลี่ยมที่เลขเจ็ด
รากของส่วนจะเป็นจุดโปร่งเสมอ ไม่ว่าเครื่องหมายอสมการจะเป็นอย่างไร: ณ จุดนั้นเศษส่วนจะไม่มีความหมาย คำตอบที่ถูกต้องคือ: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — วงเล็บเหลี่ยมที่เลขหนึ่ง, วงเล็บกลมที่เลขเจ็ด
-
ตัดทอนเศษส่วนและสูญเสียโดเมน: จาก $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ ได้ $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ และรวมจุด $x = -3$ เข้าไปในคำตอบ
โดเมน (ODZ) จะต้องเขียน ก่อน การตัดทอน โดยพิจารณาจากตัวส่วนตั้งต้น: \(x \neq -3\) และ \(x \neq 5\). เศษส่วนที่ตัดทอนแล้ว \(\frac{x+3}{x-5}\) จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ในช่วง \([-3; 5)\) — ที่ \(x = 0\) จะมีค่าเท่ากับ \(-0{,}6\) ซึ่งตรงตามเงื่อนไขสำหรับเครื่องหมาย \(\le\). แต่จุด \(-3\) เป็นจุดโปร่งตามโดเมน ดังนั้นคำตอบคือ \((-3; 5)\) ไม่ใช่ \([-3; 5)\)
-
คิดว่าเครื่องหมายในแต่ละช่วงจะสลับกันเสมอ และสำหรับ $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ ให้เครื่องหมายลบทางขวาของเลขหนึ่ง
การสลับกันจะถูกต้องก็ต่อเมื่อวงเล็บมีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่ง ราก \(x = 1\) มีอันดับ 2 ดังนั้นเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเมื่อข้ามจุดนั้น นิพจน์จะเป็นบวกตลอดช่วง \((-4; +\infty)\) ยกเว้นที่จุดหนึ่ง ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ คำตอบ: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)
-
เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเมื่อย้ายข้างพจน์: จาก $\frac{x}{x-2} \le 3$ กลายเป็น $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$
การย้ายพจน์จากข้างหนึ่งไปอีกข้างหนึ่งไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ — จะเปลี่ยนเฉพาะเครื่องหมายของพจน์นั้นเท่านั้น เครื่องหมายจะกลับด้านก็ต่อเมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบเท่านั้น วิธีที่ถูกต้อง: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), ต่อไป \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), นั่นคือ \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)
-
ทำเครื่องหมายบนแกนเฉพาะรากของเศษ และตรวจสอบตัวส่วน 'ทีหลัง': สำหรับ $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ ให้จุดเดียวคือ $-11$
บนแกนต้องทำเครื่องหมายสำหรับรากทั้งหมดทันที — ทั้งรากของเศษและรากของส่วน มิฉะนั้นช่วงจะผิดพลาด ที่นี่ \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\) ดังนั้นมีสามจุด: \(-11\), \(-4\) และ \(4\), ไม่ใช่จุดเดียว ทั้งหมดเป็นจุดโปร่ง (เครื่องหมายเข้มงวด), คำตอบ: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)
คำถามและคำตอบ
อสมการตรรกยะคืออะไร?
คืออสมการที่ทั้งสองข้างเป็นนิพจน์ตรรกยะ (พหุนามและเศษส่วนของพหุนาม) หลังจากย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้ว จะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) โดยที่ \(P(x)\) และ \(Q(x)\) เป็นพหุนาม และเครื่องหมาย \(>\) อาจแทนด้วย \(<\), \(\le\) หรือ \(\ge\)
แก้อสมการตรรกยะอย่างไร?
ด้วยวิธีช่วง 6 ขั้นตอน: ย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายเพื่อให้ทางขวาเป็นศูนย์; รวมเป็นเศษส่วนเดียวและแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน; เขียนโดเมน (ODZ: \(Q(x) \neq 0\)); ทำเครื่องหมายบนแกนจำนวนจริงที่รากของเศษและส่วน; กำหนดเครื่องหมายในแต่ละช่วงโดยใช้จุดทดสอบและอันดับของราก; เขียนคำตอบเป็นช่วงที่มีเครื่องหมายที่ต้องการ
อสมการตรรกยะแบบเศษส่วนแตกต่างจากอสมการตรรกยะแบบจำนวนเต็มอย่างไร?
ในอสมการตรรกยะแบบจำนวนเต็ม ตัวแปรจะปรากฏเฉพาะในตัวเศษเท่านั้น เช่น \((x-1)(x+4) > 0\) และโดเมนคือจำนวนจริงทั้งหมด ในอสมการตรรกยะแบบเศษส่วน ตัวแปรจะอยู่ในตัวส่วน เช่น \(\frac{x-1}{x+4} > 0\) และจะมีข้อจำกัด \(x \neq -4\) ขั้นตอนการแก้เหมือนกัน — สิ่งที่แตกต่างคือจุดโปร่ง
แก้อสมการที่มีเศษส่วนอย่างไร?
เช่นเดียวกับอสมการตรรกยะอื่นๆ: ก่อนอื่นให้ย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายและรวมเป็นเศษส่วนเดียว อย่าเพิ่งกำจัดตัวส่วน ตัวอย่างเช่น \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) จะกลายเป็น \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), นั่นคือ \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). ตัวเศษเป็นค่าคงที่และเป็นลบ ดังนั้นเศษส่วนจะเป็นบวกหรือศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวส่วนเป็นลบ: \(x + 2 < 0\). คำตอบ: \(x \in (-\infty; -2)\)
ทำไมถึงคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยตัวส่วนไม่ได้?
เพราะเครื่องหมายของตัวส่วนขึ้นอยู่กับค่า \(x\): เมื่อคูณด้วยนิพจน์ที่เป็นบวก เครื่องหมายอสมการจะคงเดิม แต่เมื่อคูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายจะกลับด้าน เราไม่ทราบล่วงหน้าว่ากรณีใดเป็นจริง ดังนั้นส่วนหนึ่งของคำตอบจะหายไป และส่วนหนึ่งจะถูกเพิ่มเข้ามาโดยไม่จำเป็น การย้ายข้างพจน์สามารถทำได้เสมอ — การย้ายข้างไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
หาโดเมน (ODZ) ในอสมการได้อย่างไร?
สำหรับอสมการตรรกยะ โดเมนคือค่า \(x\) ทั้งหมดที่ทำให้ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ตั้งสมการให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ แก้สมการ และตัดค่าที่ได้ออกไป ต้องเขียนโดเมนโดยพิจารณาจากตัวส่วนตั้งต้น ก่อน การตัดทอนเศษส่วน — มิฉะนั้นจุดโปร่งจะหายไป
จุดใดเป็นจุดโปร่ง และจุดใดเป็นจุดทึบ?
รากของตัวส่วนจะเป็นจุดโปร่งเสมอ ไม่ว่าเครื่องหมายอสมการจะเป็นอย่างไร รากของเศษจะเป็นจุดทึบเมื่อเครื่องหมายไม่เข้มงวด (\(\le\) หรือ \(\ge\)) และเป็นจุดโปร่งเมื่อเครื่องหมายเข้มงวด (\(<\) หรือ \(>\)). ในการเขียนคำตอบ จุดโปร่งจะใช้สัญลักษณ์วงเล็บกลม และจุดทึบจะใช้สัญลักษณ์วงเล็บเหลี่ยม
อันดับของรากคืออะไร และมีความสำคัญอย่างไรในวิธีช่วง?
อันดับคือเลขชี้กำลังของวงเล็บในการแยกตัวประกอบ เมื่อข้ามรากที่มีอันดับคี่ เครื่องหมายของนิพจน์จะเปลี่ยนไป เมื่อข้ามรากที่มีอันดับคู่ — จะคงเดิม นี่คือเหตุผลที่เครื่องหมายไม่สลับกันเสมอไป: สำหรับ \((x-9)^2(x+3)\) ที่จุด 9 เครื่องหมายจะยังคงเดิม
อสมการตรรกยะเรียนในชั้นปีใด?
เรียนในชั้น ม.3 ในวิชาคณิตศาสตร์ หลังจากอสมการกำลังสองและการแยกตัวประกอบพหุนาม วิธีช่วงจะถูกนำไปใช้กับอสมการเลขชี้กำลัง, ลอการิทึม และอสมการอตรรกยะ รวมถึงในข้อสอบ OGE และ ЕГЭ ระดับโปรไฟล์
