Kvadratická rovnica je rovnica tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a \neq 0\). Počet jej koreňov určuje diskriminant \(D = b^2 - 4ac\) a samotné korene nájdeme pomocou vzorca \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Na tejto stránke nájdeš všetko k téme: štandardný tvar a koeficienty, tri typy neúplných rovníc, diskriminant a tri prípady, vzorec pre korene a jeho „párny“ variant, normovaný tvar a Viètove vzťahy, rozklad na súčin a bikvadratické rovnice — s postupnými príkladmi, rozborom častých chýb a interaktívnym trenažérom.
Čo je kvadratická rovnica
Kvadratická rovnica je rovnica tvaru
kde \(x\) je neznáma a \(a\), \(b\), \(c\) sú čísla (koeficienty), pričom \(a \neq 0\). Takýto zápis sa nazýva štandardný tvar kvadratickej rovnice: vľavo sú členy zoradené podľa klesajúcej mocniny, vpravo je nula.
Podmienka \(a \neq 0\) nie je formálnosť. Práve člen \(ax^2\) robí rovnicu kvadratickou: pri \(a = 0\) zostáva \(bx + c = 0\), teda obyčajná lineárna rovnica s jedným koreňom. Preto v úlohách s parametrom najprv kontrolujeme, či sa vedúci koeficient nerovná nule.
Previesť rovnicu na štandardný tvar sa dá takmer vždy: odstrániť zátvorky, preniesť všetky členy na ľavú stranu a sčítať podobné členy. Napríklad \(5x^2 = 3x - 2\) sa po prenesení zmení na \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), odkiaľ \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Úplné a neúplné kvadratické rovnice
Ak sú všetky tri koeficienty nenulové, rovnica sa nazýva úplná. Ak sa \(b\) alebo \(c\) (alebo oba) rovnajú nule — neúplná. Neúplné typy sú práve tri a ani jeden z nich nevyžaduje diskriminant: každý sa vyrieši za jeden-dva riadky, čo je najrýchlejší spôsob, ako ušetriť čas na písomke.
Kľúčová myšlienka pre \(ax^2 + bx = 0\) je vyňatie spoločného činiteľa pred zátvorku. Súčin \(x(ax + b)\) sa rovná nule vtedy a len vtedy, keď sa aspoň jeden činiteľ rovná nule, odtiaľ máme hneď dva korene. Pre \(ax^2 + c = 0\) je myšlienka iná: vyjadriť \(x^2\) a pozrieť sa na znamienko výsledného čísla — štvorec reálneho čísla nemôže byť záporný.
| Typ rovnice | Ako riešiť |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Preniesť c doprava a vydeliť a: x2 = −c/a. Odmocniť, nezabudnúť na obe znamienka.x = 5 a x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Vyňať x pred zátvorku: x(ax + b) = 0. Súčin je nula, keď sa jeden z činiteľov rovná nule.x = 0 a x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Vydeliť a a odmocniť nulu. Koreň je vždy práve jeden.x = 0 |
Diskriminant: ako nájsť a koľko bude koreňov
Diskriminant je číslo, ktoré počítame z koeficientov úplnej rovnice:
Samotné slovo znamená „rozlišovač“: diskriminant nič nerieši, len rozlišuje tri situácie — dva korene, jeden koreň alebo žiadny koreň. Preto otázka „koľko koreňov má rovnica“ sa rieši bez hľadania samotných koreňov.
Počítať \(D\) treba opatrne: \(b^2\) je vždy kladné, aj keď je samotné \(b\) záporné, a znamienka \(a\) a \(c\) vstupujú do súčinu \(4ac\) tak, ako sú. Vezmime \(x^2 + 4x - 5 = 0\): tu \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), takže \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminant je kladný, takže budú dva korene.
Vzorec pre korene kvadratickej rovnice
Keď \(D \ge 0\), korene nájdeme pomocou hlavného vzorca témy:
Znamienko \(\pm\) znamená dva výpočty: raz so sčítaním, raz s odčítaním. Pri \(D = 0\) oba výpočty dajú to isté číslo \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — tento koreň nazývame dvojnásobný.
Dve miesta, kde sa najčastejšie robia chyby: v čitateli je mínus \(b\) (pre \(b = -7\) je to \(+7\)) a v menovateli je \(2a\), nie len \(2\). Pri \(a = 1\) rozdiel nevidno, preto chyba vzniká práve tam, kde sa vedúci koeficient líši od jednotky.
Vyriešme \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), preto \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) a \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Párny druhý koeficient: vzorec s D₁
Ak je \(b\) párne číslo, je výhodné zapísať ho ako \(b = 2k\) a počítať „zmenšený“ diskriminant:
Čísla vo výpočtoch sú štyrikrát menšie (\(D = 4D_1\)), a znamienko \(D_1\) je rovnaké ako pri \(D\) — takže záver o počte koreňov sa nemení.
Príklad: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Tu \(b = 8\), čiže \(k = 4\), a \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Potom \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) a \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Pri bežnom vzorci by sme pracovali s \(D = 100\) — výsledok je rovnaký, ale aritmetiky je viac.
Normovaný tvar a Viètove vzťahy
Rovnica s \(a = 1\) sa nazýva normovaná a zapisuje sa ako \(x^2 + px + q = 0\). Každá kvadratická rovnica sa dá previesť na tento tvar vydelením koeficientom \(a\): napríklad \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) sa po vydelení 4 zmení na \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Normovaný tvar je cenný tým, že preň platia Viètove vzťahy: súčet koreňov sa rovná \(-p\) a súčin sa rovná \(q\). Pre \(x^2 - 7x + 10 = 0\) potrebujeme dve čísla so súčtom 7 a súčinom 10 — sú to 2 a 5, a diskriminant sme nemuseli počítať.
Odhadovanie podľa Vièta pomáha, keď sú korene celé a malé, a navyše bezplatne kontroluje odpoveď nájdenú cez diskriminant: súčet musí dať \(-p\), súčin — \(q\). Vzorce pre všeobecný tvar, obrátená veta a algoritmus odhadovania sú rozobrané v samostatnom materiáli — Viètove vzťahy.
Rozklad kvadratického trojčlena na súčin
Ak sú korene \(x_1\) a \(x_2\) nájdené, kvadratický trojčlen sa rozkladá na súčin:
Násobiteľ \(a\) nesmieme zabudnúť — bez neho rovnosť prestáva platiť. Skontrolovať rozklad je vždy ľahké: odstrániť zátvorky a porovnať s pôvodným trojčlenom. Povedzme, pri \(x^2 + 2x - 8\) sú korene 2 a \(-4\), preto \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Funguje aj opačný postup: ak sa trojčlen podarilo rozložiť spamäti, korene vidno hneď a diskriminant nie je potrebný. Tu pomáhajú vzorce pre skrátené násobenie — napríklad \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) dáva korene \(4\) a \(-4\) okamžite.
Tretí spôsob, ako sa zaobísť bez vzorca pre korene, je doplnenie na úplný štvorec. V \(x^2 + 6x + 5 = 0\) prvé dva členy doplníme na štvorec súčtu: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), teda \((x + 3)^2 = 4\), odkiaľ \(x + 3 = \pm 2\) a \(x = -1\) alebo \(x = -5\). Práve týmto postupom sa vzorec pre korene vo všeobecnom tvare odvodzuje.
Rovnice prevoditeľné na kvadratické: bikvadratické
Bikvadratická rovnica má tvar \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): mocniny sú len párne. Rieši sa substitúciou \(t = x^2\), pričom musí platiť podmienka \(t \ge 0\) — štvorec reálneho čísla nemôže byť záporný.
Po substitúcii vznikne obyčajná kvadratická rovnica \(at^2 + bt + c = 0\). Tú vyriešime diskriminantom a potom sa pre každý nezáporný koreň \(t\) vrátime k \(x = \pm\sqrt{t}\). Odtiaľ vyplýva počet koreňov: až štyri.
Napríklad \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) po substitúcii dá \(t^2 - 13t + 36 = 0\) s koreňmi \(t = 9\) a \(t = 4\). Oba sú kladné, preto \(x = \pm 3\) a \(x = \pm 2\) — spolu štyri korene. Ak by bol jeden z \(t\) záporný, jednoducho by sme ho vyradili.
Rovnakým postupom sa riešia lomené rovnice (po prevedení na spoločného menovateľa a vylúčení zakázaných hodnôt) a rovnice so substitúciou typu \(t = x^2 + 3x\).
Príklady riešenia kvadratických rovníc
Príklad 1. Úplná rovnica, D > 0
Vyrieš \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Krok 1. Rovnica je už v štandardnom tvare: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Krok 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — dva korene.
Krok 3. \(\sqrt{D} = 5\), preto \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Krok 4. Kontrola dosadením. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Príklad 2. Diskriminant sa rovná nule
Vyrieš \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Krok 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Krok 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — jeden koreň.
Krok 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Krok 4. Kontrola. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Odpoveď: \(x = 1{,}5\). Všimni si: ľavá strana je úplný štvorec \((2x - 3)^2\), preto vyšiel len jeden koreň.
Príklad 3. Diskriminant je záporný
Vyrieš \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Krok 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Krok 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Krok 3. Diskriminant je záporný, takže odmocniť \(\sqrt{D}\) v reálnych číslach nie je možné. Vzorec pre korene netreba použiť — riešenie sa tu končí.
Odpoveď: reálne korene neexistujú. Toto je plnohodnotná odpoveď, nie znak chyby: graf funkcie \(y = 2x^2 + 3x + 5\) jednoducho nepretína os \(x\).
Príklad 4. Neúplná rovnica typu ax² + c = 0
Vyrieš \(3x^2 - 27 = 0\).
Krok 1. Prenesieme absolútny člen: \(3x^2 = 27\).
Krok 2. Vydelíme 3: \(x^2 = 9\).
Krok 3. Štvorec sa rovná 9 u dvoch čísel: \(x = 3\) a \(x = -3\). Druhé znamienko sa stráca najčastejšie.
Krok 4. Kontrola. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Porovnaj s rovnicou \(2x^2 + 8 = 0\): tam \(x^2 = -4\), a reálne korene neexistujú.
Príklad 5. Neúplná rovnica typu ax² + bx = 0
Vyrieš \(5x^2 - 15x = 0\).
Krok 1. Vyjmeme spoločný činiteľ: \(5x(x - 3) = 0\).
Krok 2. Súčin je nula, keď sa jeden z činiteľov rovná nule: \(5x = 0\) alebo \(x - 3 = 0\).
Krok 3. Odtiaľ \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Krok 4. Kontrola. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Ak by sme skrátili pôvodnú rovnicu x-om, zostalo by len \(x = 3\) — koreň \(x = 0\) by sa stratil. Deliť výrazom s neznámou sa nesmie.
Príklad 6. Párny druhý koeficient
Vyrieš \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Krok 1. \(b = -22\) — je párne, preto \(k = -11\), a \(a = 5\), \(c = 8\).
Krok 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Krok 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Krok 4. Kontrola. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Bežný diskriminant by dal \(D = 324\) — ten istý výsledok, ale počítali by sme dlhšie.
Príklad 7. Najprv previesť na štandardný tvar
Vyrieš \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Krok 1. Odstránime zátvorky: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), teda \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Krok 2. Prenesieme deviatku vľavo: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Až teraz môžeme vypísať koeficienty: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Krok 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Krok 4. Kontrola v pôvodnej rovnici. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Odpoveď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Častá chyba tu je — dať každú zátvorku do rovnosti s 9: pravidlo „súčin sa rovná nule“ funguje len pre nulu.
Príklad 8. Rozklad trojčlena na súčin
Rozlož \(2x^2 - 5x - 3\) na súčin.
Krok 1. Položíme trojčlen rovný nule a nájdeme korene: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Krok 2. Dosadíme do vzorca \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Krok 3. Dvojku je výhodné vniesť do druhej zátvorky: \((x - 3)(2x + 1)\).
Krok 4. Kontrola roznásobením. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Odpoveď: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Príklad 9. Bikvadratická rovnica
Vyrieš \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Krok 1. Substitúcia \(t = x^2\), kde \(t \ge 0\). Rovnica sa zmení na \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Krok 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Krok 3. Obe hodnoty sú nezáporné, preto sa vrátime k \(x\): z \(x^2 = 9\) dostaneme \(x = \pm 3\), z \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Krok 4. Kontrola. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Pre záporné hodnoty párne mocniny dajú tie isté čísla.
Odpoveď: \(x = \pm 2\) a \(x = \pm 3\) — štyri korene.
Časté chyby pri riešení kvadratických rovníc
-
Počítajú diskriminant bez prevedenia rovnice na štandardný tvar: pre $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ hneď berú $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Najprv prenesieme všetko vľavo a sčítame podobné členy: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), teda \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Až odtiaľ \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Vzorec pre korene funguje výlučne so štandardným tvarom.
-
Strácajú znamienko pri umocňovaní $b$ na druhú: pre $x^2 - 9x + 14 = 0$ píšu $D = -81 - 56$.
Štvorec akéhokoľvek čísla je nezáporný: \((-9)^2 = 81\), nie \(-81\). Správne je \(D = 81 - 56 = 25\), korene \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), teda 7 a 2. Kontrola: \(49 - 63 + 14 = 0\) a \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
V čitateli nechávajú $b$ namiesto $-b$: pre $x^2 + 5x - 6 = 0$ počítajú $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Vo vzorci je \(-b\), preto pri \(b = 5\) v čitateli bude \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), odkiaľ \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Dosadenie potvrdzuje: \(1 + 5 - 6 = 0\) a \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Pri $D = 0$ píšu „žiadne korene“: pri $x^2 + 14x + 49 = 0$ je diskriminant nulový a riešenie ukončia.
Žiadne korene sú len pri \(D < 0\). Pri \(D = 0\) je koreň práve jeden: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Kontrola: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Krátia rovnicu $4x^2 - 9x = 0$ x-om a dostanú jediný koreň $x = 2{,}25$.
Deliť výrazom s neznámou sa nesmie: \(x\) môže byť nula a koreň \(x = 0\) sa stratí. Správne je vyňať činiteľ: \(x(4x - 9) = 0\), odkiaľ \(x_1 = 0\) a \(x_2 = 2{,}25\). Kontrola: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
V rovnici $x^2 = 16$ zapisujú len $x = 4$.
Štvorec sa rovná 16 aj u čísla \(-4\). Zapisovať treba oba korene: \(x = \pm 4\). Spoľahlivejšie je riešiť cez štandardný tvar \(x^2 - 16 = 0\), teda \((x - 4)(x + 4) = 0\) — vtedy oba činitele vidno hneď.
-
Nekontrolujú podmienku $a \neq 0$ v rovnici s parametrom: v $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ hneď počítajú diskriminant.
Pri \(m = 2\) sa vedúci koeficient rovná nule a rovnica sa stáva lineárnou \(3x - 1 = 0\) s jediným koreňom \(x = \dfrac{1}{3}\). Prípad \(m = 2\) rozoberáme osobitne a vzorec pre korene používame len pri \(m \neq 2\).
Otázky a odpovede
Čo je kvadratická rovnica?
Je to rovnica tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a\), \(b\), \(c\) sú čísla a \(a \neq 0\). Neznáma je v nej v druhej mocnine, preto korene môžu byť dva, jeden alebo žiadny.
Ako vyzerá štandardný tvar kvadratickej rovnice?
Štandardný (všeobecný) tvar je \(ax^2 + bx + c = 0\): všetky členy sú vľavo zoradené podľa klesajúcej mocniny, vpravo je nula. Na tento tvar prevádzame každú kvadratickú rovnicu pred výpočtom diskriminantu.
Ako nájsť diskriminant?
Podľa vzorca \(D = b^2 - 4ac\), dosadením koeficientov spolu s ich znamienkami. Napríklad pre \(x^2 + 3x - 10 = 0\) dostaneme \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), a korene sú \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), teda 2 a \(-5\).
Aký je vzorec pre korene kvadratickej rovnice?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), alebo kratšie \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Používa sa pri \(D \ge 0\); v menovateli je práve \(2a\), nie 2.
Koľko koreňov môže mať kvadratická rovnica?
Najviac dva. Pri \(D > 0\) sú korene dva, pri \(D = 0\) — jeden (dvojnásobný), pri \(D < 0\) reálne korene neexistujú.
Čo je neúplná kvadratická rovnica?
Je to rovnica, v ktorej \(b = 0\), \(c = 0\) alebo oba naraz: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Všetky tri sa riešia bez diskriminantu — prenesením člena alebo vyňatím \(x\) pred zátvorku.
Ako riešiť kvadratické rovnice bez diskriminantu?
Sú tri cesty: odhadovanie koreňov podľa Viètových vzťahov pre normovanú rovnicu, rozklad na súčin a doplnenie na úplný štvorec. Najrýchlejšie funguje odhadovanie, keď sú korene malé celé čísla.
Čo robiť, ak je diskriminant záporný?
Zapísať, že reálne korene neexistujú, a ukončiť riešenie. Záporný diskriminant je normálna odpoveď: graf príslušnej paraboly nepretína os \(x\). Korene v takom prípade existujú len v komplexných číslach, a tie sa študujú neskôr.
Ako skontrolovať nájdené korene?
Dosadiť každý koreň do pôvodnej rovnice — musí vyjsť správna rovnosť. Pre normovanú rovnicu existuje aj rýchla kontrola podľa Viètových vzťahov: súčet koreňov sa rovná \(-p\), súčin sa rovná \(q\).
Kvadratická rovnica a kvadratická funkcia — je to to isté?
Áno, sú to dva názvy pre jeden objekt \(ax^2 + bx + c = 0\). Nepleť si ju s kvadratickou funkciou \(y = ax^2 + bx + c\): korene rovnice sú práve priesečníky grafu funkcie s osou \(x\).
V ktorom ročníku sa preberajú kvadratické rovnice?
V 8. ročníku na algebre: najprv neúplné rovnice, potom diskriminant, vzorec pre korene a Viètove vzťahy. Ďalej sa téma vyskytuje v kvadratickej funkcii, nerovniciach, úlohách na testovaní.
