Znaky deliteľnosti čísel: tabuľka a príklady

Znak deliteľnosti je pravidlo, podľa ktorého sa dá zistiť, či sa číslo delí bezo zvyšku iným číslom, bez vykonania samotného delenia. Stačí sa pozrieť na posledné cifry alebo sčítať všetky cifry čísla.

Znaky deliteľnosti pomáhajú všade tam, kde je potrebné rýchlo pochopiť „štruktúru“ čísla:

• pri krátnení zlomkov — hneď vidno, čím krátiť čitateľa a menovateľa;
• pri rozklade čísla na prvočinitele;
• pri hľadaní spoločného deliteľa a spoločného násobku;
• pri rýchlej kontrole odpovede v príkladoch a úlohách.

Je dôležité nezamieňať dve rôzne otázky. „Delí sa 3726 číslom 9?“ — na to odpovedá znak deliteľnosti: súčet cifier 3 + 7 + 2 + 6 = 18 sa delí 9, teda áno. A „koľko vyjde?“ — to je už samotné delenie: 3726 : 9 = 414. Znak dáva len odpoveď „áno“ alebo „nie“, ale zato okamžite a v hlave.

Všetky školské znaky deliteľnosti je vhodné mať pred očami v jednej tabuľke. Farba naznačuje, kam sa pozrieť: na poslednú cifru, na súčet cifier, na „chvost“ dvoch-troch posledných cifier alebo hneď na dva znaky.

Najjednoduchšia skupina: pozeráme sa len na poslednú cifru, ostatné nie sú dôležité.

• na 2 sa delia všetky párne čísla — tie, ktoré končia na 0, 2, 4, 6 alebo 8;
• na 5 — čísla končiace na 0 alebo 5;
• na 10 — čísla končiace na 0.

Dĺžka čísla nehrá rolu: 987 654 320 sa delí aj na 2, aj na 5, aj na 10, pretože končí nulou. A 1435 sa delí na 5 (posledná cifra 5), ale nedelí sa ani na 2, ani na 10 — číslo je nepárne.

Odtiaľto užitočný záver: na 10 sa delia presne tie čísla, ktoré sa delia aj na 2, aj na 5 súčasne.

Tu posledná cifra nič nerieši — funguje súčet všetkých cifier čísla:

• číslo sa delí na 3, ak sa jeho súčet cifier delí 3;
• číslo sa delí na 9, ak sa jeho súčet cifier delí 9.

Ak súčet vyšiel veľký, znak sa dá aplikovať naň ešte raz: číslo 899 991 má súčet cifier 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, a u 45 je súčet 4 + 5 = 9 — znamená to, že pôvodné číslo sa delí aj na 9, aj na 3.

Znaky sú podobné, ale nenahrádzajú sa. Každé číslo, ktoré sa delí na 9, sa delí aj na 3 — veď samotná deviatka sa delí tromi. Opak však neplatí: súčet cifier sa môže deliť na 3 a pritom sa nedeliť na 9, a vtedy číslo prejde len jedným znakom z dvoch. Oba prípady sú rozobraté nižšie.

Jedna posledná cifra tu nestačí — potrebný je „chvost“ z niekoľkých posledných cifier:

• na 4 sa delí číslo, ktorého posledné dve cifry tvoria číslo deliteľné 4;
• na 8 — ak posledné tri cifry tvoria číslo deliteľné 8;
• na 25 — ak posledné dve cifry tvoria 00, 25, 50 alebo 75.

Prečo stačí chvost: 100 sa delí aj na 4, aj na 25, a 1000 sa delí na 8. Preto všetko, čo je vľavo, sa už samo delí potrebným číslom a neovplyvňuje výsledok.

Odtiaľto dôležité dôsledky: párnosť pre štvorku a osmičku nestačí. Číslo môže byť párne, ale ak sa jeho chvost z dvoch alebo troch cifier nedelí bezo zvyšku, tak sa nedelí ani celé číslo. Rozbor chvostov — vo vložke nižšie.

Svoje vlastné pravidlo šestka nemá: 6 = 2 · 3, a činitele sú nesúdeliteľné. Preto je znak zložený — číslo sa delí na 6, ak sa delí súčasne na 2 a na 3.

Preveríme 5124: posledná cifra 4 — číslo je párne, teda sa delí na 2; súčet cifier 5 + 1 + 2 + 4 = 12 sa delí na 3. Obe podmienky sú splnené → 5124 : 6 = 854.

Samotná párnosť nestačí: 1000 je párne, ale súčet jeho cifier je 1 a nedelí sa na 3, preto sa číslo na 6 nedelí. Nefunguje ani opačná polovica: u 4521 je súčet cifier 12 deliteľný na 3, ale samotné číslo je nepárne — na 6 sa tiež nedelí.

Presne takto sa skladajú iné zložené znaky: na 12 — delí sa na 3 a na 4, na 15 — na 3 a na 5, na 18 — na 2 a na 9, na 45 — na 5 a na 9.

Znak deliteľnosti na 11 používa striedavý súčet cifier. Cifry sa sčítajú, počnúc od poslednej, pričom sa strieda znamienko: plus, mínus, plus, mínus. Ak je výsledok deliteľný 11 (vrátane nuly), potom sa aj celé číslo delí 11.

Toto isté pravidlo sa často formuluje inak: rozdiel medzi súčtom cifier na nepárnych miestach a súčtom cifier na párnych miestach sa musí deliť 11. Je to to isté pravidlo.