Vietova veta spája korene kvadratickej rovnice s jej koeficientami: pre normovanú rovnicu \(x^2 + px + q = 0\) je súčet koreňov rovný \(-p\) a súčin je rovný \(q\). To umožňuje nájsť korene ústne – pod dohľadom, bez diskriminantu. Na tejto stránke nájdete presné vzorce pre normovanú rovnicu a pre všeobecný tvar, obrátenú Vietovu vetu, algoritmus hľadania koreňov, rozobraté príklady a interaktívny trenažér.
Čo je Vietova veta
Vietova veta je pravidlo, ktoré spája korene kvadratickej rovnice s jej koeficientami. Znie takto: ak \(x_1\) a \(x_2\) sú korene normovanej kvadratickej rovnice \(x^2 + px + q = 0\), potom
Slovami: súčet koreňov je rovný druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov je rovný voľnému členu. Znamienko mínus pri súčte je najdôležitejšie miesto celej témy: píše sa práve \(-p\), nie \(p\).
Pre rovnicu vo všeobecnom tvare \(ax^2 + bx + c = 0\) (kde \(a \neq 0\)) sa vzorce získajú vydelením číslom \(a\):
Veta platí len vtedy, keď existujú reálne korene, teda pri \(D \ge 0\). Ak je diskriminant záporný, nie je čo hľadať: neexistujú reálne čísla s takým súčtom a takým súčinom.
Normovaná rovnica a všeobecný tvar: kde treba deliť číslom a
Normovanou nazývame kvadratickú rovnicu, ktorej koeficient pri \(x^2\) je rovný jednej: \(x^2 + px + q = 0\). Práve pre ňu Vietova veta znie najstručnejšie, preto sa hľadanie koreňov vždy začína jej úpravou.
Ak \(a \neq 1\), rovnicu najprv vydelíme číslom \(a\) po členoch. Napríklad \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) sa po vydelení číslom \(3\) zmení na \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), teda \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Odtiaľ \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) a \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Tú istú myšlienku možno zapísať hneď pre všeobecný tvar bez úpravy rovnice: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Chyba, ktorú robia najčastejšie, je použiť „krátke“ vzorce \(-p\) a \(q\) na neupravenú rovnicu a získať súčet \(10\) namiesto \(\frac{10}{3}\).
Obrátená Vietova veta
Vietova veta má obrátenú verziu, a práve tá dovoľuje riešiť rovnice pod dohľadom. Znie takto: ak čísla \(m\) a \(n\) sú také, že
potom \(m\) a \(n\) sú korene rovnice \(x^2 + px + q = 0\).
Rozdiel je zásadný. Priama veta ide od koreňov ku koeficientom: korene sú už známe, získavame väzby medzi nimi. Obrátená ide od koeficientov ku koreňom: uhádli sme pár čísel so správnym súčtom a správnym súčinom – a máme plné právo ich nazvať koreňmi, nič viac dokazovať netreba.
Odtiaľ tiež vyplýva užitočné pravidlo: ak \(x_1\) a \(x_2\) sú korene, potom polynóm možno rozložiť na činitele \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Napríklad \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Hľadanie koreňov podľa Vietovej vety: algoritmus
Hľadanie koreňov je hlavné praktické využitie vety. Funguje rýchlejšie ako diskriminant, keď sú korene celé čísla, a zaberie päť krokov.
Znamienka koreňov podľa koeficientov p a q
Ešte pred hľadaním možno pochopiť, aké znamienka budú mať korene – stačí sa pozrieť na znamienka \(p\) a \(q\). To výrazne skráti hľadanie: hneď vidíte, či hľadať pár dvoch kladných čísel, dvoch záporných alebo čísla s opačnými znamienkami.
| p a q | Korene | Príklad |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | oba > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | oba < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | opačných znamienok | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 a −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vietova veta alebo diskriminant: čo zvoliť
Vzorec pre korene cez diskriminant \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funguje vždy, ale vyžaduje výpočty. Vietova veta funguje okamžite, ale len ak sa korene dajú uhádnuť – zvyčajne ide o malé celé čísla.
Praktické pravidlo je takéto:
- rovnica je normovaná a \(q\) sa dá rozložiť na pár malých činiteľov → skús hľadanie podľa Vietovej vety, odpoveď dostaneš ústne;
- koeficienty sú veľké alebo zlomkové, korene sa nedajú uhádnuť za 10–15 sekúnd → počítaj diskriminant;
- potrebuješ len počet koreňov alebo znamienka koreňov, samotné korene nepotrebuješ → stačí D a tabuľka znamienok vyššie.
Je užitočné aj ich spojenie: spočítal si diskriminant a našiel korene – skontroluj odpoveď podľa Vietovej vety. Súčet by mal dať \(-p\), súčin \(q\). Takáto kontrola zaberie pár sekúnd a zachytí takmer každú aritmetickú chybu.
Príklady riešenia podľa Vietovej vety
Príklad 1. Hľadanie koreňov: oba korene sú kladné
Vyriešte rovnicu \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Krok 1. Rovnica je normovaná: \(p = -9\), \(q = 20\).
Krok 2. Skontrolujeme diskriminant: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – dva korene existujú.
Krok 3. Zapíšeme väzby: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Krok 4. Preberieme rozklady čísla 20: \(1\cdot 20\) (súčet 21), \(2\cdot 10\) (súčet 12), \(4\cdot 5\) (súčet 9) – posledný pár vyhovuje. Oba činitele sú kladné, pretože \(q > 0\) a \(p < 0\).
Krok 5. Kontrola dosadením. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Príklad 2. Korene s opačnými znamienkami
Vyriešte rovnicu \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Krok 1. Rovnica je normovaná: \(p = 3\), \(q = -28\).
Krok 2. \(q < 0\), teda korene majú opačné znamienka a diskriminant je zaručene kladný: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Krok 3. Väzby: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Krok 4. Rozklady čísla 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Potrebný je rozdiel 3 – vhodný je pár 4 a 7. Keďže súčet je záporný, väčší koreň podľa absolútnej hodnoty vezmeme so znamienkom mínus: \(4\) a \(-7\).
Krok 5. Kontrola. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Príklad 3. Rovnica vo všeobecnom tvare (a ≠ 1)
Vyriešte rovnicu \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Krok 1. Koeficient \(a = 3\), preto „krátke“ vzorce \(-p\) a \(q\) nemožno použiť. Použijeme všeobecný tvar: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Krok 2. Súčin je rovný 1 – teda korene sú navzájom prevrátené: ak jeden je \(t\), druhý je \(\tfrac{1}{t}\). Súčet \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) naznačuje \(t = 3\), pretože \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Krok 3. Kontrola dosadením. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Odpoveď: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Príklad 4. Sostavte rovnicu podľa jej koreňov
Úloha. Sostavte normovanú kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú \(-4\) a \(6\).
Krok 1. Spočítame súčet a súčin: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Krok 2. Podľa obrátenej Vietovej vety sú koeficienty \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) a \(q = x_1 x_2 = -24\). Tu sa skrýva hlavná pasca: \(p\) je súčet s opačným znamienkom.
Krok 3. Zapíšeme rovnicu: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Krok 4. Kontrola dosadením. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Odpoveď: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Rovnaký výsledok dáva rozklad \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Príklad 5. Kontrola cudzej odpovede podľa Vietovej vety
Úloha. Žiak vyriešil rovnicu \(x^2 + 5x + 6 = 0\) a zapísal odpoveď: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Skontrolujte, či sa nepomýlil.
Krok 1. Podľa Vietovej vety má platiť \(x_1 + x_2 = -p = -5\) a \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Krok 2. Pri predloženej odpovedi súčin sedí (\(2\cdot 3 = 6\)), ale súčet nie: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Teda odpoveď je nesprávna: stratilo sa znamienko mínus.
Krok 3. Hľadáme správny pár: potrebujeme čísla so súčinom \(6\) a súčtom \(-5\) – to sú \(-2\) a \(-3\) (oba záporné, pretože \(q > 0\) a \(p > 0\)).
Krok 4. Kontrola dosadením. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Odpoveď: správne korene sú \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Časté chyby pri práci s Vietovou vetou
-
Strácajú mínus pri súčte: píšu $x_1 + x_2 = p$ namiesto $x_1 + x_2 = -p$.
Mínus je len pri súčte, súčin sa berie s rovnakým znamienkom: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Skontrolujte na jednoduchej rovnici \(x^2 - 5x + 6 = 0\): tu \(p = -5\), súčet koreňov je rovný \(5\), a korene sú skutočne 2 a 3.
-
Používajú vzorce $-p$ a $q$ na neupravenú rovnicu: pre $2x^2 - 9x + 4 = 0$ hovoria „súčet 9, súčin 4“.
Pokiaľ \(a \neq 1\), platia vzorce všeobecného tvaru: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Korene tu sú 4 a \(\tfrac{1}{2}\), nie 4 a 1. Alebo najprv vydelte celú rovnicu číslom \(a\).
-
Hľadajú korene bez preverenia diskriminantu: pri $x^2 + x + 1 = 0$ sa snažia nájsť pár čísel so súčtom $-1$ a súčinom $1$.
Najprv sa uistite, že korene existujú: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), reálne korene neexistujú, hľadanie nie je možné. Vietova veta platí len pri \(D \ge 0\).
-
Hľadajú pár len podľa súčinu, bez preverenia súčtu: pre $x^2 - 8x + 12 = 0$ vezmú 3 a 4, pretože ich súčin je rovný 12.
Treba preveriť obe väzby naraz. Pre \(x^2 - 8x + 12 = 0\) súčin 12 dávajú páry (1; 12), (2; 6), (3; 4), a súčet 8 len pár 2 a 6. Kontrola: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) a \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Pri zostavovaní rovnice podľa koreňov berú $p$ rovné súčtu: pre korene 2 a 5 napíšu $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koeficient \(p\) je rovný súčtu s opačným znamienkom: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), teda \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Dosadenie potvrdzuje: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Myslia si, že Vietova veta platí len pre celé korene, a nepoužívajú ju na kontrolu odpovede.
Väzby \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\) platia pri akýchkoľvek reálnych koreňoch – celých, zlomkových aj iracionálnych. Ústne hľadanie je pohodlné pre celé čísla, pre ostatné zostáva veta rýchlym spôsobom kontroly odpovede nájdenej diskriminantom.
Otázky a odpovede
Ako znie Vietova veta jednoduchými slovami?
Ak má normovaná kvadratická rovnica \(x^2 + px + q = 0\) korene, potom ich súčet je rovný druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin je rovný voľnému členu: \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\).
Aké sú súčet a súčin koreňov rovnice $ax^2 + bx + c = 0$?
Pre rovnicu vo všeobecnom tvare je súčet koreňov rovný \(-\dfrac{b}{a}\) a súčin \(\dfrac{c}{a}\). Tieto vzorce sa získajú z normovaného prípadu vydelením celej rovnice číslom \(a\).
Čím sa obrátená Vietova veta líši od priamej?
Priama veta ide od koreňov ku koeficientom: poznajúc korene, získame súčet \(-p\) a súčin \(q\). Obrátená ide naopak: ak pár čísel dáva požadovaný súčet a požadovaný súčin, potom tieto čísla sú koreňmi rovnice. Práve obrátená veta umožňuje riešiť rovnice pod dohľadom.
Ako nájsť korene podľa Vietovej vety?
Upravte rovnicu na tvar \(x^2 + px + q = 0\), uistite sa, že \(D \ge 0\), zapíšte \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\), preberte rozklady čísla \(q\) na páry činiteľov a vyberte ten pár, ktorého súčet je rovný \(-p\). Napríklad pre \(x^2 + 6x + 8 = 0\) potrebujeme čísla so súčinom 8 a súčtom \(-6\) – to sú \(-2\) a \(-4\).
Funguje Vietova veta, ak koeficient pri $x^2$ nie je rovný jednej?
Áno, ale vo forme všeobecného tvaru: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Krátke vzorce \(-p\) a \(q\) platia len pre normovanú rovnicu, preto pri \(a \neq 1\) rovnicu najprv vydelíme číslom \(a\).
Čo robiť, ak sa korene podľa Vietovej vety nedajú nájsť?
Znamená to, že korene nie sú celé alebo vôbec neexistujú. Spočítajte diskriminant: pri \(D < 0\) reálne korene neexistujú, a pri \(D \ge 0\) nájdite korene podľa vzorca \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) a až potom skontrolujte odpoveď podľa Vietovej vety.
Ako určiť znamienka koreňov bez riešenia rovnice?
Podľa znamienok \(p\) a \(q\) pri \(D \ge 0\): ak \(q > 0\) a \(p < 0\) – oba korene sú kladné; ak \(q > 0\) a \(p > 0\) – oba korene sú záporné; ak \(q < 0\) – korene majú opačné znamienka; ak \(q = 0\) – jeden z koreňov je rovný nule.
V ktorom ročníku sa preberá Vietova veta?
V 8. ročníku na hodinách algebry, hneď po kvadratických rovniciach a diskriminante. Ďalej sa používa pri rozklade kvadratického trojčlenu na činitele \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), pri skúmaní koreňov s parametrom a v úlohách OGE a ЕГЭ.
