Proporcija je jednakost dva odnosa, na primer \(2:3 = 8:12\). Da biste rešavali proporcije, potreban vam je samo jedan alat — osnovno svojstvo proporcije: proizvod krajnjih članova jednak je proizvodu srednjih. U školi ga nazivaju pravilom „unakrsnog množenja“. Ispod je objašnjeno šta su odnos i proporcija, kako pronaći nepoznati član, čime se direktna proporcionalnost razlikuje od obrnute, analiza zadataka o receptima, razmeri i cenama, prelazak na procente i trenažer od 10 zadataka.
Šta su odnos i proporcija
Odnos dva broja je njihov količnik. Odnos \(2:3\) (čita se „dva prema tri“) pokazuje koliko je jedan broj veći od drugog ili koji deo jedno čini od drugog. Može se zapisati na dva načina: \(2:3\) ili kao razlomak \(\frac{2}{3}\) — to je isto.
Proporcija je jednakost dva odnosa:
U proporciji ima ukupno četiri broja i oni imaju imena. Brojevi na krajevima zapisa su krajnji članovi, brojevi u sredini su srednji članovi. Proporcija je tačna kada su oba odnosa jednaka istom broju.
Osnovno svojstvo proporcije: pravilo „unakrsnog množenja“
Osnovno svojstvo proporcije: proizvod krajnjih članova jednak je proizvodu srednjih.
Zašto je to tako? Pomnožimo obe strane jednakosti \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) sa \(b \cdot d\). S leve strane će se skratiti \(b\), s desne \(d\), i ostaće tačno \(a \cdot d = c \cdot b\). Nema magije — obično svojstvo jednakosti.
Upravo to đaci i nazivaju „rešavanje proporcija unakrsno“: brojevi se množe po dijagonali, unakrsno. Svojstvo radi i u obrnutom smeru: ako za četiri broja (nijedan nije nula) važi \(a \cdot d = b \cdot c\), onda se od njih može sastaviti tačna proporcija.
Odavde odmah proizilaze dva umeća: proveriti da li je proporcija tačna i pronaći u njoj nepoznati broj.
Kako pronaći nepoznati član proporcije
Iz osnovnog svojstva proizilaze dva kratka pravila:
- nepoznati krajnji član = proizvod srednjih : poznati krajnji;
- nepoznati srednji član = proizvod krajnjih : poznati srednji.
Nije ih obavezno pamtiti napamet. Dovoljan je jedan univerzalni pristup: unakrsno pomnožiti, dobiti jednakost oblika „broj \(\cdot\, x\) = broj“ i podeliti. Analizirajmo to korak po korak na proporciji \(x : 7 = 12 : 21\).
Poslednji korak — provera — traje pet sekundi i hvata skoro svaku aritmetičku grešku, tako da ga ne treba preskakati.
Direktna i obrnuta proporcionalnost
Dve veličine nazivamo direktno proporcionalnim ako se pri povećanju jedne nekoliko puta druga povećava isto toliko puta. Kupili smo dvostruko više svezaka — platili smo dvostruko više. Kod takvih veličina je konstantan njihov odnos.
Veličine su obrnuto proporcionalne ako se pri povećanju jedne nekoliko puta druga smanjuje isto toliko puta. Dvostruko više radnika — dvostruko manje dana za isti posao. Kod takvih veličina je konstantan njihov proizvod.
Glavna razlika vidi se u trenutku kada zapisujemo proporciju. Za direktnu zavisnost ona se sastavlja „kako jeste“: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Za obrnutu, drugi odnos se preokreće: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Zašto? Za obrnutu zavisnost, proizvod je konstantan: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Podelimo obe strane sa \(a_2 \cdot b_1\) — i dobićemo upravo \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Tako da „preokret“ nije čarolija koju treba pamtiti, već posledica toga što je konstantan proizvod, a ne odnos.
| Znak | Direktna | Obrnuta |
|---|---|---|
| Veza | više → više | više → manje |
| Konstantno | odnos a : b | proizvod a × b |
| Zapis | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Primer | 3 olovke — 90 ₽, 5 olovaka — 150 ₽ | 4 molera — 9 dana, 6 molera — 6 dana |
Kako sastaviti proporciju za zadatak: recept, razmera, cena
Tekstualni zadaci „o proporciji“ rešavaju se po jednom scenariju:
- Zapišite uslov u dve kolone tako da iste veličine stoje jedna ispod druge (porcije ispod porcija, grami ispod grama).
- Označite nepoznato sa \(x\).
- Odredite tip zavisnosti: mentalno povećajte prvu veličinu i pogledajte da li se druga povećava ili smanjuje.
- Sastavite proporciju — za obrnutu zavisnost preokrenite drugi odnos.
- Rešite unakrsnim množenjem i proverite da li je dobijeni odgovor razuman.
Pokazaćemo na primeru recepta. Za 4 porcije palačinki potrebno je 300 g brašna — koliko brašna je potrebno za 6 porcija? Porcija je više, znači i brašna treba više: zavisnost je direktna, proporcija se sastavlja „kako jeste“:
Za 6 porcija potrebno je 450 g brašna. Odgovor je razuman: porcija je postalo jedan i po put više, i brašna je trebalo jedan i po put više.
Isto tako se rešavaju zadaci o razmeri (rastojanje na karti odnosi se prema rastojanju na terenu kao 1 prema broju razmere) i o ceni (količina robe odnosi se prema količini kao cena prema ceni). Puna objašnjenja — u primerima ispod.
Procenti kroz proporciju
Procenat je stoti deo broja, stoga se svaki jednostavan zadatak o procentima pretvara u proporciju:
Negde je jedan od četiri broja nepoznat — njega i nalazimo unakrsnim množenjem.
Pronaći deo. Koliko će biti 15% od 240? Sastavljamo \(x : 240 = 15 : 100\), znači \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) i \(x = 36\).
Pronaći celinu. Broj 21 čini 35% nekog broja. Sastavljamo \(21 : x = 35 : 100\), znači \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) i \(x = 60\).
Pronaći procenat. Koliko procenata čini 18 od 45? Sastavljamo \(18 : 45 = p : 100\), znači \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) i \(p = 40\), to jest 40%.
Jedan pristup — tri različita tipa zadataka, ništa dodatno ne treba pamtiti. Posebno je samo pitanje „za koliko procenata se veličina povećala ili smanjila“: tu se prvo nalazi promena, a zatim se ona deli sa prvobitnom vrednošću — to je već formula procentualne promene, a ne jednostavna proporcija.
Primeri rešavanja proporcija sa objašnjenjem korak po korak
Primer 1. Nepoznati srednji član
Zadatak. Pronađite nepoznati član proporcije \(15 : x = 45 : 24\).
Korak 1. Određujemo koji je koji član. Krajnji su — 15 i 24, srednji — \(x\) i 45.
Korak 2. Primjenjujemo osnovno svojstvo: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), to jest \(360 = 45x\).
Korak 3. Delimo: \(x = 360 : 45 = 8\).
Provera. \(15 : 8 = 1{,}875\) i \(45 : 24 = 1{,}875\) — odnosi su jednaki.
Odgovor: \(x = 8\).
Primer 2. Direktna proporcionalnost: cena i količina
Zadatak. Šest svezaka košta 210 ₽. Koliko košta 10 istih svezaka?
Korak 1. Svezaka je više — cena je veća, znači zavisnost je direktna.
Korak 2. Zapisujemo uslov tako da iste veličine budu jedna do druge i sastavljamo proporciju „kako jeste“:
Korak 3. Unakrsno množenje: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), znači \(x = 2100 : 6 = 350\).
Provera. Jedna sveska košta \(210 : 6 = 35\) ₽, a deset — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Poklapa se.
Odgovor: 350 ₽.
Primer 3. Obrnuta proporcionalnost: radnici i dani
Zadatak. Osam radnika obavlja narudžbinu za 15 dana. Za koliko dana će istu narudžbinu obaviti 12 radnika, ako rade istom brzinom?
Korak 1. Radnika je više — dana će biti potrebno manje. Zavisnost je obrnuta.
Korak 2. Sastavljamo proporciju, preokrećući drugi odnos:
Ovde je \(x\) — dani za 12 radnika, a 15 — dani za 8 radnika: zamenili su mesta jer je zavisnost obrnuta.
Korak 3. Unakrsno množenje: \(8 \cdot 15 = 12x\), to jest \(120 = 12x\) i \(x = 10\).
Provera. Proizvod je konstantan: \(8 \cdot 15 = 120\) i \(12 \cdot 10 = 120\). Poklapa se, i odgovor je razuman — dana je postalo manje.
Odgovor: 10 dana.
Primer 4. Razmera karte
Zadatak. Razmera karte je \(1 : 200\,000\). Rastojanje između naselja na karti je 7 cm. Koliko je to rastojanje na terenu?
Korak 1. Razmera \(1 : 200\,000\) znači: 1 cm na karti odgovara 200 000 cm na terenu. To je gotov odnos.
Korak 2. Sastavljamo proporciju:
Korak 3. Unakrsno množenje: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), to jest \(x = 1\,400\,000\) cm.
Korak 4. Prevodimo u pogodne jedinice: u jednom kilometru je 100 000 cm, stoga \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Odgovor: 14 km.
Primer 5. Procenti kroz proporciju
Zadatak. U odeljenju je 25 učenika, na izlet je otišlo 60% njih. Koliko je ljudi otišlo na izlet?
Korak 1. Celina — to je svih 25 učenika, njima odgovara 100%. Nepoznati deo — \(x\) ljudi, njima odgovara 60%.
Korak 2. Sastavljamo proporciju „deo : celina = procenat : 100“:
Korak 3. Unakrsno množenje: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), znači \(x = 15\).
Provera. 15 ljudi od 25 — to je \(15 : 25 = 0{,}6\), to jest tačno 60%.
Odgovor: 15 ljudi.
Česte greške pri rešavanju proporcija
-
Množe brojeve „duž“ linije, a ne unakrsno: u proporciji 5 : 2 = 20 : 8 računaju 5 · 2 i 20 · 8.
Osnovno svojstvo povezuje krajnje članove sa srednjim, to jest brojeve po dijagonali: 5 · 8 = 40 i 2 · 20 = 40. Proizvodi su se poklopili — proporcija je tačna. A 5 · 2 i 20 · 8 nisu jednaki i ništa ne govore.
-
U zadatku o obrnutoj zavisnosti sastavljaju „direktnu“ proporciju. Šest pumpi puni bazen za 10 sati; zapis 6 : 15 = 10 : x daje 25 sati za 15 pumpi.
Pumpi je više — vremena bi trebalo manje, a dobilo se više: znači, proporcija nije sastavljena kako treba. Drugi odnos treba preokrenuti: 6 : 15 = x : 10, tada 15x = 60 i x = 4 sata. Uvek proveravajte odgovor logički.
-
Posle „unakrsnog množenja“ dele obrnuto: iz jednakosti 8x = 96 dobijaju x = 8 : 96.
Da bi se pronašlo x, proizvod se deli brojem koji stoji uz x: x = 96 : 8 = 12. Korisna navika — vratiti pronađeni broj: 8 · 12 = 96, sve je tačno.
-
Ne usklađuju jedinice mere. U zadatku sa razmerom 1 : 50 000 pri 3 cm na karti pišu odgovor „1,5“ bez jedinica ili ga nazivaju metrima.
Prvo računamo u jedinicama u kojima je data razmera: 3 · 50 000 = 150 000 cm. I tek onda prevodimo: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Jedinice u odgovoru su važne kao i sam broj.
-
Mešaju odnos i proporciju: na zahtev da se sastavi proporcija pišu jedan odnos „12 : 4“.
Odnos je jedan količnik: 12 : 4 = 3. Proporcija je jednakost dva odnosa, u njoj obavezno ima četiri broja i znak jednakosti: 12 : 4 = 30 : 10 (proveravamo: 12 · 10 = 120 i 4 · 30 = 120).
Pitanja i odgovori
Čime se odnos razlikuje od proporcije?
Odnos je količnik dva broja, na primer 12 : 4. Proporcija je jednakost dva odnosa, u njoj su četiri broja: 12 : 4 = 30 : 10. Odnos odgovara na pitanje „koliko puta“, a proporcija tvrdi da dva takva poređenja daju isti rezultat.
Šta su krajnji i srednji članovi proporcije?
U zapisu a : b = c : d krajnji članovi su oni koji stoje na krajevima, to jest a i d. Srednji su oni koji stoje u sredini, to jest b i c. Ako je proporcija zapisana kao razlomci, krajnji članovi su brojilac prvog razlomka i imenilac drugog, a srednji — imenilac prvog i brojilac drugog.
Kako proveriti da li je proporcija tačna?
Unakrsno pomnožiti i uporediti proizvode. Na primer, za 9 : 12 = 15 : 20 računamo 9 · 20 = 180 i 12 · 15 = 180 — brojevi su se poklopili, znači proporcija je tačna. Ako su proizvodi različiti, proporcija nije tačna.
Da li se članovi proporcije mogu menjati mesta?
Da, ako se to radi po pravilima. U tačnoj proporciji mogu se zameniti mesta krajnjim članovima, mogu se zameniti mesta srednjim, a mogu se i obe strane preokrenuti odjednom — proporcija će ostati tačna. Iz 4 : 6 = 10 : 15 dobijamo 4 : 10 = 6 : 15 ili 6 : 4 = 15 : 10 — proizvod po dijagonali je svuda jednak 60. Ali zameniti mesta samo jednom broju ne može.
Šta znači „rešavati proporciju unakrsno“?
To je kolokvijalni naziv za osnovno svojstvo proporcije. Brojevi se množe po dijagonali, unakrsno: krajnji sa krajnjim i srednji sa srednjim. Dobija se jednačina sa jednim nepoznatim, koja se rešava jednim deljenjem. Nikakav poseban „metod unakrsnog množenja“ osim osnovnog svojstva ne postoji.
Kako shvatiti da li je zavisnost u zadatku direktna ili obrnuta?
Mentalno povećajte prvu veličinu 2 puta i pogledajte drugu. Ako se i ona povećala dvostruko — zavisnost je direktna, proporcija se sastavlja „kako jeste“. Ako se smanjila dvostruko — zavisnost je obrnuta, drugi odnos treba preokrenuti. Još jedan znak: kod direktne zavisnosti je konstantan odnos veličina, kod obrnute — njihov proizvod.
Kako rešavati zadatke o procentima kroz proporciju?
Sastavite proporciju „deo : celina = procenat : 100“ i pronađite nepoznato unakrsnim množenjem. Na primer, 12% od 350: dobijamo x : 350 = 12 : 100, znači 100x = 4200 i x = 42. Na isti način se traži i celina po poznatom delu, i sam procenat.
