Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej každý nasledujúci člen je o jedno a to isté číslo \(d\) (diferencia postupnosti) väčší ako predchádzajúci. Každý jej člen sa nájde podľa vzorca \(a_n = a_1 + (n-1)d\) a súčet prvých \(n\) členov podľa vzorca \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Na tejto stránke sú rozobraté definícia a diferencia, oba vzorce súčtu, charakteristická vlastnosť, overenie príslušnosti čísla do postupnosti, rozdiel oproti geometrickej postupnosti, typické úlohy z OGE a interaktívny trenažér na samokontrolu.
Čo je aritmetická postupnosť
Aritmetická postupnosť je číselná postupnosť, v ktorej každý nasledujúci člen vznikne z predchádzajúceho pripočítaním jedného a toho istého čísla. Toto číslo nazývame diferencia postupnosti a označujeme ho písmenom \(d\).
Definícia jedným vzorcom: postupnosť \(a_1, a_2, a_3, \dots\) sa nazýva aritmetická postupnosť, ak pre ľubovoľné číslo \(n\) platí rovnosť
Vezmime postupnosť 3, 7, 11, 15, 19, … Prvý člen je tu \(a_1 = 3\) a diferencia \(d = 4\): každé nasledujúce číslo je o 4 väčšie ako predchádzajúce. Preto nasledujúci člen je 23 a pred trojkou (ak by sme pokračovali dozadu) by bola jednotka so znamienkom mínus.
Celá postupnosť je určená iba dvoma číslami — prvým členom \(a_1\) a diferenciou \(d\). Keď poznáme túto dvojicu, môžeme určiť ľubovoľný člen, spočítať súčet ľubovoľného počtu prvých členov a overiť, či sa v postupnosti nachádza zadané číslo. Postupnosť označujeme značkou \((a_n)\) a jej členy — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) a tak ďalej, kde dolný index vždy znamená poradové číslo, nie hodnotu.
Diferencia aritmetickej postupnosti: ako nájsť d
Diferencia je vždy nasledujúci člen mínus predchádzajúci:
Poradie odčítania je dôležité: ak odčítame naopak, znamienko diferencie bude opačné. Pre postupnosť 20, 17, 14, 11, 8 je diferencia \(17 - 20 = -3\), nie \(+3\).
Znamienko \(d\) úplne určuje správanie postupnosti:
- \(d > 0\) — postupnosť je rastúca, členy sa zväčšujú;
- \(d < 0\) — postupnosť je klesajúca, členy sa zmenšujú;
- \(d = 0\) — všetky členy sú rovnaké, napríklad 6, 6, 6, 6, … Toto je tiež aritmetická postupnosť, len konštantná.
Ak sú známe dva členy s rôznymi číslami, diferencia sa nájde podľa vzorca
Príklad. Nech \(a_4 = 30\) a \(a_{10} = 6\). Potom \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), a prvý člen je \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Skontrolujme začiatok postupnosti: 42, 38, 34, 30 — štvrtý člen je naozaj 30.
Diferencia nemusí byť celé číslo: postupnosť 1; 1,5; 2; 2,5 má diferenciu 0,5 a je to plnohodnotná aritmetická postupnosť.
Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti
Hlavný vzorec témy umožňuje nájsť ľubovoľný člen bez vypisovania všetkých predchádzajúcich:
Odkiaľ sa berie \(n - 1\)? Aby sme sa dostali od prvého člena k \(n\)-tému, pripočítame diferenciu nie \(n\)-krát, ale o jeden raz menej: k druhému členu — jeden krok, k tretiemu — dva, k dvadsiatemu — devätnásť.
Príklad. Pre postupnosť 3, 7, 11, 15, 19, … máme \(a_1 = 3\) a \(d = 4\), teda
Takýto zjednodušený zápis je veľmi pohodlný: hneď vidíme, že \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), a \(a_{100} = 399\). Zároveň nám napovedá diferenciu: každá aritmetická postupnosť má vzorec \(n\)-tého člena — lineárny, tvaru \(a_n = dn + c\), a koeficient pred \(n\) je práve diferencia.
Niekedy prvý člen nie je známy, ale je daný nejaký iný. Vtedy funguje tá istá myšlienka v obecnom tvare: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Charakteristická vlastnosť aritmetickej postupnosti
Každý člen postupnosti, okrem prvého, je rovný aritmetickému priemeru svojich susedov:
Práve preto sa postupnosť nazýva aritmetická. Táto rovnosť platí aj naopak: ak je v postupnosti každý stredný člen rovný polovici súčtu susedov, potom je postupnosť aritmetická. Takéto tvrdenie sa nazýva znak aritmetickej postupnosti a v úlohách sa používa na dokázanie, že tri čísla tvoria postupnosť.
Príklad. Čísla 7, \(x\), 23 sú tri po sebe idúce členy postupnosti. Potom \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kontrola: 7, 15, 23 — diferencie 8 a 8, všetko sedí.
Pohodlná forma zápisu tej istej vlastnosti: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), teda dvojnásobok stredného člena je rovný súčtu krajných. V takomto tvare sa vlastnosť ľahšie používa, keď sú členy zadané algebraickými výrazmi.
Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti
Súčet \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) sa počíta podľa jedného z dvoch vzorcov:
Myšlienka prvého vzorca je tá istá, ktorú podľa legendy našiel žiak Gauss pri sčítaní čísel od 1 do 100. Ak sčítame prvý člen s posledným, druhý s predposledným a tak ďalej, všetky páry dajú rovnaký súčet. Odtiaľ \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Druhý vzorec vznikne z prvého dosadením \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — je potrebný, keď posledný člen nie je daný a nechce sa nám ho zvlášť počítať.
Príklad. Nájdime súčet prvých dvadsiatich členov postupnosti 3, 7, 11, 15, 19, …
Podľa prvého vzorca: \(a_{20} = 79\), preto \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Podľa druhého: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Odpovede sa zhodujú — to je najlepšia kontrola výpočtov.
Ako zistiť, či číslo patrí do aritmetickej postupnosti
Otázka „je číslo členom postupnosti“ sa rieši rovnicou. Číslo patrí do postupnosti vtedy a len vtedy, keď jeho číslo \(n\) vyjde ako prirodzené: 1, 2, 3 a tak ďalej. Zlomkové alebo nekladné \(n\) znamená, že taký člen neexistuje.
Príklad 1. Patrí číslo 99 do postupnosti 3, 7, 11, 15, 19, …? Vzorec \(n\)-tého člena je \(a_n = 4n - 1\), preto riešime \(4n - 1 = 99\), z čoho \(4n = 100\) a \(n = 25\). Číslo je prirodzené — znamená to, že 99 v postupnosti je, je to jej dvadsiaty piaty člen.
Príklad 2. A číslo 2026? Z \(4n - 1 = 2026\) dostaneme \(4n = 2027\) a \(n = 506{,}75\). Číslo je zlomkové, preto 2026 nie je členom tejto postupnosti.
Užitočná pomôcka na ústny odhad: postupnosť so vzorcom \(a_n = 4n - 1\) má všetky členy, ktoré pri delení 4 dávajú zvyšok 3. Číslo 2026 dáva zvyšok 2, preto „minie“ postupnosť.
Typické úlohy z OGE na aritmetickú postupnosť
V OGE z matematiky sa postupnosti vyskytujú každý rok a takmer všetky úlohy sa zredukujú na štyri typy.
Nájsť člen podľa čísla. Dané je \(a_1\) a \(d\) (alebo niekoľko prvých členov) — dosadíme do \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Nájsť číslo podľa hodnoty. Dané je číslo — prirovnáme k nemu vzorec \(n\)-tého člena a riešime rovnicu vzhľadom na \(n\).
Nájsť súčet. Počítame \(S_n\) podľa jedného z dvoch vzorcov; ak chýba \(a_n\) — najprv ho nájdeme.
Nájsť počet členov. Zo vzorca \(n\)-tého člena vyplýva užitočné zjednodušenie: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Osobitne stojí textová úloha, kde je postupnosť skrytá v deji. Napríklad: v prvý deň pracovník vyrobil 12 dielov, a každý nasledujúci deň — o 3 diely viac ako v predchádzajúci; koľko dielov vyrobí za 15 dní? Tu \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Počítame posledný člen: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Potom \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) dielov.
Hlavná rada k takýmto úlohám: najprv si vypíšte na samostatný riadok, čo je dané (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) a čo treba nájsť. Polovica chýb na skúške sa stáva nie kvôli vzorcom, ale kvôli tomu, že číslo člena si pomýlia s jeho hodnotou.
Aritmetická a geometrická postupnosť: aký je rozdiel
Obe postupnosti — sú to pravidlá, podľa ktorých sa z jedného člena získa nasledujúci. Rozdiel je v akcii: v aritmetickej k členu pripočítame jedno a to isté číslo \(d\), v geometrickej — vynásobíme jedným a tým istým číslom \(q\), ktoré nazývame kvocient postupnosti.
Odtiaľ aj rozdielne správanie. Aritmetická postupnosť rastie rovnomerne, „po schodíkoch“: 3, 7, 11, 15 — každý krok pridá 4. Geometrická rastie lavínovito: 3, 6, 12, 24 — každý krok zdvojnásobí číslo, a už po desiatich krokoch bude člen väčší ako tisícpäťsto.
Overiť typ postupnosti je jednoduché: spočítajte rozdiely susedných členov a ich podiely. Rovnaké rozdiely — aritmetická postupnosť, rovnaké podiely — geometrická postupnosť. Ak sa nezhoduje ani jedno, máte pred sebou obyčajnú postupnosť: napríklad 1, 4, 9, 16 — to sú druhé mocniny prirodzených čísel a nie je to postupnosť (rozdielne 3, 5, 7, aj podiely sú rôzne).
V školskom programe sa obe témy preberajú za sebou v 9. ročníku, preto sa vzorce dajú ľahko pomýliť. Majte na pamäti oporu: v aritmetickej sa diferencia \(d\) odčíta (alebo pripočíta), v geometrickej sa kvocient \(q\) delí (alebo násobí). Všetko ostatné sú dôsledky.
Príklady riešenia úloh na aritmetickú postupnosť
Príklad 1. Nájsť prvý člen a diferenciu podľa dvoch členov
Dané. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Nájsť \(a_1\), \(d\) a \(a_{20}\).
Krok 1. Od tretieho člena k siedmemu je presne \(7 - 3 = 4\) krokov, na každom sa pripočíta \(d\). Preto \(a_7 = a_3 + 4d\), teda \(30 = 14 + 4d\), z čoho \(4d = 16\) a \(d = 4\).
Krok 2. Vrátime sa späť k prvému členu: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Krok 3. Zapíšeme vzorec \(n\)-tého člena: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Krok 4. Spočítame požadovaný člen: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Kontrola. Vypíšme začiatok postupnosti: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Tretí člen 14, siedmy 30 — zhoduje sa.
Odpoveď: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Príklad 2. Súčet prvých 30 členov (oba vzorce)
Dané. Postupnosť \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Nájsť \(S_{30}\).
Krok 1. Určíme parametre: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Krok 2. Nájdeme tridsiaty člen: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Krok 3. Počítame podľa prvého vzorca: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Krok 4. Kontrola podľa druhého vzorca. Najprv čitateľ: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Potom ako v treťom kroku: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Oba spôsoby dali 1155 — znamená to, že aritmetika je správna.
Odpoveď: \(S_{30} = 1155\).
Príklad 3. Súčet všetkých dvojciferných čísel deliteľných 7
Zadanie. Nájsť súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré sú deliteľné 7.
Krok 1. Takéto čísla samy tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou 7. Najmenšie dvojciferné číslo deliteľné siedmimi je 14, najväčšie — 98 (nasledujúce, 105, je už trojciferné). Dostávame \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Krok 2. Počítame počet členov: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Krok 3. Počítame súčet: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Krok 4. Kontrola druhým vzorcom. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Odpoveď: 728.
Príklad 4. Overiť, či číslo patrí do postupnosti
Zadanie. Je číslo 145 členom postupnosti \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? A číslo 142?
Krok 1. Parametre postupnosti: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), preto \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Krok 2. Overujeme 145: rovnica \(5n + 2 = 145\) dáva \(5n = 143\) a \(n = 28{,}6\). Číslo je zlomkové, preto 145 členom postupnosti nie je.
Krok 3. Overujeme 142: \(5n + 2 = 142\), z čoho \(5n = 140\) a \(n = 28\). Číslo je prirodzené — číslo patrí.
Krok 4. Kontrola dosadením. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Správne.
Odpoveď: 145 do postupnosti nepatrí; 142 patrí a je jej 28. členom.
Príklad 5. Charakteristická vlastnosť s algebraickými členmi
Zadanie. Pri akej hodnote \(x\) sú čísla \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) tromi po sebe idúcimi členmi aritmetickej postupnosti?
Krok 1. Podľa charakteristickej vlastnosti je dvojnásobok stredného člena rovný súčtu krajných:
Krok 2. Roznásobíme zátvorky: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Krok 3. Riešime: \(2 + 4 = 5x - 4x\), teda \(x = 6\).
Krok 4. Kontrola. Dosadíme \(x = 6\): prvý člen \(6 - 3 = 3\), druhý \(2\cdot 6 + 1 = 13\), tretí \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Rozdiely: \(13 - 3 = 10\) a \(23 - 13 = 10\) — rovnaké.
Odpoveď: \(x = 6\), postupnosť 3, 13, 23 s diferenciou 10.
Príklad 6. Koľko záporných členov má postupnosť
Zadanie. Koľko záporných členov má postupnosť \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Krok 1. Parametre: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Vzorec \(n\)-tého člena: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Krok 2. Zapíšeme podmienku „člen je záporný“: \(3n - 24 < 0\), z čoho \(3n < 24\) a \(n < 8\).
Krok 3. Čísla sú prirodzené, preto vyhovujú \(n = 1, 2, \dots, 7\) — celkovo sedem členov.
Krok 4. Kontrola hranice. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — záporný. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nula nie je záporné číslo, preto ôsmy člen už nepočítame. \(a_9 = 3\) — kladný.
Odpoveď: sedem záporných členov.
Časté chyby v úlohách na aritmetickú postupnosť
-
Vo vzorci $n$-tého člena píšu $a_n = a_1 + nd$ namiesto $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Od prvého člena k \(n\)-tému je o jeden krok menej ako číslo člena. Pre postupnosť \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) desiaty člen je \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), a nie 45. Rýchla kontrola vzorca: dosadíme \(n = 1\) — malo by vyjsť presne \(a_1\).
-
Diferenciu počítajú naopak: $d = a_1 - a_2$, a znamienko vyjde opačné.
Diferencia je nasledujúci člen mínus predchádzajúci: \(d = a_2 - a_1\). Pre postupnosť \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) platí \(d = 34 - 40 = -6\). Znamienko mínus tu nie je chyba, ale znak klesajúcej postupnosti.
-
Vo vzorci súčtu zabudnú vydeliť dvomi alebo vynásobiť $n$: píšu $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Sčítavajú sa páry „prvý s posledným“, ktorých je presne \(\dfrac{n}{2}\), preto delenie dvomi je nevyhnutné. Pre postupnosť \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) máme \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) a \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), a nie 670.
-
Pri overovaní príslušnosti čísla dostanú $n = 0$ alebo záporné $n$ a aj tak odpovedia „patrí“.
Číslo člena je prirodzené číslo, počítanie začína od jednotky. Napríklad pre postupnosť \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) rovnica \(10 + 4(n-1) = 6\) dáva \(n = 0\), a teda 6 do postupnosti nepatrí: toto číslo by sa nachádzalo pred prvým členom.
-
P બદlția si, čo bolo nájdené: dosadzajú hodnotu člena tam, kde treba jeho číslo, a naopak.
\(a_n\) — je hodnota, \(n\) — poradové číslo. Ak sa v úlohe pýtajú „ktorý v poradí je člen rovný 142“, odpoveďou bude 28, nie 142. Užitočný zvyk: pred riešením si vypísať riadok „dané: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), nájsť: \(n\)“.
-
Počítajú, že postupnosť musí rásť a skladať sa z celých čísel.
Diferencia môže byť záporná (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), zlomková (1; 1,5; 2; 2,5) a dokonca nulová (8, 8, 8, …). Všetky tri prípady sú platné aritmetické postupnosti a všetky vzorce pre ne fungujú bez zmien.
Otázky a odpovede
Čo je aritmetická postupnosť jednoduchými slovami?
Je to postupnosť čísel, v ktorej každé nasledujúce číslo vznikne z predchádzajúceho pripočítaním jedného a toho istého čísla \(d\) — diferencie postupnosti. Napríklad 3, 7, 11, 15, 19, … — postupnosť s prvým členom 3 a diferenciou 4.
Aký je vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kde \(a_1\) — prvý člen, \(d\) — diferencia, \(n\) — poradové číslo. Ak nie je známy prvý, ale nejaký iný člen, platí obecný tvar \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Ako nájsť diferenciu aritmetickej postupnosti?
Odčítať od ľubovoľného člena predchádzajúci: \(d = a_n - a_{n-1}\). Ak sú dané dva členy s rôznymi číslami, použite \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Napríklad pri \(a_5 = 23\) a \(a_9 = 43\) dostaneme \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), a prvý člen je \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Ako nájsť prvý člen aritmetickej postupnosti?
Z vzorca \(n\)-tého člena: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Napríklad, ak \(a_{12} = 60\) a \(d = 4\), potom \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Kontrola: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Ako nájsť súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti?
Podľa vzorca \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), ak je známy posledný člen, alebo podľa vzorca \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), ak sú známe iba prvý člen a diferencia. Oba dávajú rovnaký výsledok, preto druhý je vhodný ako kontrola prvého.
Ako nájsť počet členov aritmetickej postupnosti?
Z vzorca \(n\)-tého člena: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Napríklad, v postupnosti \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) je diferencia 5, preto \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) členov.
Čím sa aritmetická postupnosť líši od geometrickej?
V aritmetickej sa ku každému členu pripočítava diferencia \(d\), a v geometrickej sa každý člen násobí kvocientom \(q\). Vzorce \(n\)-tého člena: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) oproti \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Na určenie typu spočítajte rozdiely susedných členov a ich podiely: rovnaké rozdiely — aritmetická, rovnaké podiely — geometrická.
Môže byť diferencia záporná alebo rovná nule?
Áno. Pri \(d < 0\) postupnosť klesá (napríklad 20, 17, 14, 11), pri \(d = 0\) sú všetky členy rovnaké (6, 6, 6, …) — je to konštantná postupnosť. Diferencia môže byť aj zlomková: 1; 1,5; 2; 2,5 — tiež aritmetická postupnosť.
V ktorom ročníku sa preberá aritmetická postupnosť?
V 9. ročníku na hodinách algebry, spolu s geometrickou postupnosťou a číselnými postupnosťami. Úlohy na postupnosti sú súčasťou OGE: zvyčajne sa vyžaduje nájsť člen podľa čísla, číslo podľa hodnoty, počet členov alebo súčet prvých \(n\) členov.
