Aritmetická odmocnina z čísla \(a\) je číslo, ktorého druhá mocnina je rovná \(a\), pričom aritmetickou odmocninou nazývame iba jeho nezápornú hodnotu: \(\sqrt{25} = 5\). Odmocniť môžeme iba nezáporné čísla, no vlastnosti odmocniny premieňajú zložité výrazy na krátke. Na tejto stránke nájdete definíciu a definičný obor, všetky vlastnosti odmocniny so vzorcami, tabuľku odmocnín od 1 do 20, techniky výpočtu odmocniny a vyňatia činiteľa, rozobraté príklady, časté chyby a interaktívny trenažér.
Čo je to odmocnina z čísla
Kvadratická odmocnina z čísla \(a\) je také číslo, ktorého druhá mocnina je rovná \(a\). Odmocňovanie a umocňovanie na druhú sú navzájom opačné operácie: zo \(7^2 = 49\) priamo vyplýva, že odmocnina zo 49 je 7.
Ale kladné číslo má odmocniny presne dve, líšia sa iba znamienkom: \(5^2 = 25\) a \((-5)^2 = 25\), teda odmocninami z 25 sú 5 aj \(-5\). Aby zápis \(\sqrt{25}\) označoval jedno jediné číslo, dohodli sme sa: znakom \(\sqrt{\phantom{a}}\) zapisujeme iba nezáporný koreň. Ten nazývame aritmetický.
Zápis má svoje názvy: znak \(\sqrt{\phantom{a}}\) je radikál, a číslo alebo výraz pod ním je výraz pod odmocninou.
Aritmetická odmocnina: definícia a definičný obor
Aritmetickou odmocninou z nezáporného čísla \(a\) nazývame nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je rovná \(a\). Značíme ju \(\sqrt{a}\) a čítame „odmocnina z a“.
V definícii sú skryté dve podmienky, obe rovnako dôležité:
- výraz pod odmocninou je nezáporný: \(a \ge 0\);
- hodnota odmocniny je nezáporná: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Odtiaľto hneď dostávame: \(\sqrt{25} = 5\), a nie \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); a zápis \(\sqrt{-9}\) v reálnych číslach nemá zmysel – neexistuje číslo, ktorého druhá mocnina by bola záporná.
Prvá podmienka určuje definičný obor výrazu s odmocninou. Napríklad \(\sqrt{x-7}\) má zmysel pri \(x - 7 \ge 0\), teda pri \(x \ge 7\): akékoľvek menšie \(x\) vnesie pod odmocninu záporné číslo.
Z definície vyplýva aj rovnosť \((\sqrt{a})^2 = a\) pri \(a \ge 0\): umocnenie odmocniny na druhú vráti číslo pod odmocninou. Funguje to aj vtedy, keď samotnú odmocninu nevieme presne vypočítať: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabuľka odmocnín: druhé mocniny čísel od 1 do 20
Odmocnina sa celočíselne vypočíta práve vtedy, keď je číslo pod odmocninou presný štvorec. Preto tabuľka druhých mocnín funguje aj ako tabuľka odmocnín: číta sa oboma smermi – \(14^2 = 196\), teda \(\sqrt{196} = 14\).
Tabuľka pomôže nielen s celými číslami:
- desatinné zlomky: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), pretože \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- obyčajné zlomky: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) – odmocnina sa počíta zvlášť z čitateľa a zvlášť zo menovateľa;
- okrúhle čísla: \(\sqrt{2500} = 50\), pretože \(2500 = 25 \cdot 100\), a odmocnina z každého činiteľa je známa.
Vlastnosti odmocniny
Vlastnosti odmocniny umožňujú počítať výrazy bez odmocňovania každej odmocniny zvlášť a zjednodušiť výsledok.
Odmocnina z súčinu je rovná súčinu odmocnín: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pri \(a \ge 0\) a \(b \ge 0\). Napríklad \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) – rovnaký výsledok ako \(\sqrt{144}\).
Odmocnina z podielu je rovná podielu odmocnín: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pri \(a \ge 0\) a \(b > 0\). Napríklad \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Podmienka \(b > 0\) je prísna: nulou sa nedelí.
Odmocnina z druhej mocniny je rovná absolútnej hodnote: \(\sqrt{a^2} = |a|\), a to platí pre akékoľvek číslo \(a\). Tu je hlavná záludnosť celej témy. Ak \(a \ge 0\), nič sa nemení: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ale pri zápornom \(a\) sa znamienko „vyrovná“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), a nie \(-6\) – veď aritmetická odmocnina nemôže byť záporná.
Druhá mocnina odmocniny vráti číslo pod odmocninou: \((\sqrt{a})^2 = a\) pri \(a \ge 0\).
Ale pre súčet a rozdiel podobné vlastnosti neexistujú: odmocnina zo súčtu sa nerovná súčtu odmocnín. Toto je najčastejšia chyba témy, rozbor – nižšie.
| Vlastnosť a podmienka | Príklad |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpri a ≥ 0 a b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpri a ≥ 0 a b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|pri ľubovoľnom a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apri a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpri b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Ako odmocniť číslo
Kalkulačka nie je vždy po ruke, no školské úlohy sú takmer vždy zostavené tak, aby sa odmocnina dala vypočítať. Postup je nasledovný.
- Skontrolujte v tabuľke druhých mocnín. Ak sa číslo v tabuľke nachádza, výsledok je hotový: \(\sqrt{289} = 17\).
- Oddelte okrúhly činiteľ. Pri číslach s nulami je vhodné oddeliť \(100\), \(10\,000\) a podobne: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Rozložte na prvočinitele. Toto je univerzálny postup: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), exponenty vydelíme dvomi a dostaneme \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Desatinný zlomok premeňte na obyčajný. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Zároveň to zabráni strate rádového miesta.
- Ak presný štvorec neexistuje – odmocnina je iracionálna. Vtedy ju buď necháme v odpovedi ako symbol (píšeme \(\sqrt{30}\)), alebo ju odhadneme medzi susedné druhé mocniny.
Kontrola zaberie sekundu: získané číslo umocníme na druhú a pozrieme sa, či sa vrátilo pôvodné číslo pod odmocninou. \(24^2 = 576\) – správne.
Vyňatie činiteľa spod odmocniny
Odmocnina sa zriedka necháva „surová“ – spod nej sa všetko, čo sa dá odmocniť, vyňme. Funguje vlastnosť \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) pri \(b \ge 0\): hľadáme najväčšieho štvorcového deliteľa čísla pod odmocninou.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Opačný úkon – vnesenie činiteľa pod odmocninu: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) pri \(a \ge 0\). Napríklad \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Pri zápornom činiteli treba byť opatrný: mínus pod odmocninu nevstupuje a zostáva vonku. Správny zápis je \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), a nie \(\sqrt{12}\).
Načo je to dobré: po vyňatí činiteľa sa odmocniny s rovnakým výrazom pod odmocninou stanú podobnými členmi a dajú sa sčítať. A vnesenie činiteľa pod odmocninu je najrýchlejší spôsob porovnania dvoch výrazov s odmocninami.
Čomu sa rovná odmocnina, ktorá sa nedá odmocniť
Ak číslo pod odmocninou nie je presným štvorcom, odmocnina je iracionálne číslo: jeho desatinný zápis je nekonečný a neperiodický. Napríklad \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), a presná hodnota sa zapisuje iba symbolom \(\sqrt{2}\). Zaokrúhlený výsledok sa uvádza iba vtedy, ak si to úloha vyžaduje.
Takúto odmocninu možno odhadnúť aj bez kalkulačky: nájdite dva susedné presné štvorce, medzi ktoré leží číslo pod odmocninou. Funguje pravidlo porovnávania: pre \(a \ge 0\) a \(b \ge 0\) z \(a < b\) vyplýva \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) – väčšiemu číslu pod odmocninou zodpovedá väčšia odmocnina.
Príklady výpočtov s odmocninami
Príklad 1. Hodnota výrazu s odmocninami
Vypočítajte \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Krok 1. \(\sqrt{121} = 11\), pretože \(11^2 = 121\).
Krok 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), pretože \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Krok 3. Odmocninu zo zlomku počítame zvlášť z čitateľa a zvlášť zo menovateľa: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Krok 4. Sčítame: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Odpoveď: 11.
Príklad 2. Odmocnina zo súčinu
Vypočítajte \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Krok 1. Jednotlivé odmocniny sa nedajú odmocniť, preto ich spojíme do jednej: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Krok 2. Vypočítame súčin pod odmocninou: \(8 \cdot 18 = 144\).
Krok 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Iný postup – vopred vyjmeme činitele: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) a \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), potom \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Výsledky sa zhodujú.
Odpoveď: 12.
Príklad 3. Výpočet odmocniny rozkladom na činitele
Vypočítajte \(\sqrt{576}\) a \(\sqrt{6400}\).
Krok 1. Číslo 576 nie je v tabuľke druhých mocnín, preto ho rozložíme na prvočinitele: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Krok 2. Exponenty vydelíme dvomi: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Krok 3. Kontrola. \(24^2 = 576\) – správne.
Krok 4. Pri čísle 6400 je vhodnejšie oddeliť okrúhly činiteľ: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontrola: \(80^2 = 6400\).
Odpoveď: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Príklad 4. Vyňatie činiteľa a úprava podobných členov
Zjednodušte \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Krok 1. Vyjmeme činitele spod každej odmocniny: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), teda \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Krok 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Krok 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Krok 4. Sčítavať môžeme iba odmocniny s rovnakým výrazom pod odmocninou: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), a člen s \(\sqrt{3}\) zostáva samostatne.
Odpoveď: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Príklad 5. Odmocnina z druhej mocniny s premennou
Zjednodušte \(\sqrt{(x-4)^2}\) pri \(x < 4\).
Krok 1. Podľa vlastnosti odmocniny z druhej mocniny \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) – hneď píšeme absolútnu hodnotu, nie \(x - 4\).
Krok 2. Odstránime absolútnu hodnotu podľa podmienky. Ak \(x < 4\), potom rozdiel \(x - 4\) je záporný, a absolútna hodnota záporného čísla je opačné číslo: \(|x-4| = 4 - x\).
Krok 3. Kontrola. Zoberme \(x = 1\): naľavo \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), napravo \(4 - 1 = 3\) – sedí.
Odpoveď: \(4 - x\). Pre porovnanie, pri \(x \ge 4\) by bola odpoveď \(x - 4\).
Príklad 6. Porovnanie výrazov s odmocninami
Porovnajte \(3\sqrt{5}\) a \(5\sqrt{2}\).
Krok 1. Obe čísla sú kladné, preto vnesieme činitele pod odmocninu: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Krok 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Krok 3. Porovnáme čísla pod odmocninou: \(45 < 50\), a väčšiemu číslu pod odmocninou zodpovedá väčšia odmocnina.
Odpoveď: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Časté chyby pri práci s odmocninou
-
Píšu $\sqrt{a^2} = a$, zabúdajúc na absolútnu hodnotu.
Správna rovnosť je \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pre záporné číslo je to zásadné: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), a nie \(-13\). Aritmetická odmocnina nemôže byť záporná, preto sa znamienko pod odmocninou „vyrovná“.
-
Myslia si, že odmocnina zo súčtu je rovná súčtu odmocnín: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Takáto vlastnosť neexistuje. Najprv vykonáme operáciu pod odmocninou: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), a nie 7. Vlastnosti má iba súčin a podiel: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) a \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Odpovedajú, že $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) – aritmetická odmocnina je vždy jedna a je nezáporná. Dve hodnoty sa objavujú v inej úlohe: rovnica \(x^2 = 49\) má korene \(x = 7\) a \(x = -7\). Zamieňať zápis odmocniny s riešením rovnice nemožno.
-
Píšu $\sqrt{-16} = -4$, uvažujúc „mínus krát mínus“.
Pod odmocninou nemôže byť záporné číslo: \((-4)^2 = 16\), a nie \(-16\), takže \(\sqrt{-16}\) v reálnych číslach neexistuje. Ale výraz \(-\sqrt{16} = -4\) je celkom korektný – mínus je pred odmocninou, nie pod ňou.
-
Vnášajú pod odmocninu záporný činiteľ: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Pravidlo \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) platí iba pri \(a \ge 0\). Mínus zostáva vonku: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Kontrola znamienka: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), a \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) – čísla sú opačné.
-
Zabúdajú na rádový medzník pri desatinnom zlomku: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Skontrolujte spätným umocnením na druhú: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), nesedí. Správne je \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), pretože \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Spoľahlivý spôsob je prejsť na obyčajný zlomok: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Sú presvedčení, že odmocnina je vždy menšia ako samotné číslo.
Toto platí iba pre čísla väčšie ako jedna. Na úsečke od 0 do 1 je to naopak: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), a \(0{,}5\) je väčšie ako \(0{,}25\). A pre 0 a 1 je odmocnina rovná samotnému číslu.
Otázky a odpovede
Čo je to aritmetická odmocnina jednoduchými slovami?
Je to nezáporné číslo, ktoré po umocnení na druhú dáva číslo pod odmocninou. Zapisuje sa \(\sqrt{a}\), pričom výraz pod odmocninou musí byť nezáporný: \(a \ge 0\). Napríklad \(\sqrt{64} = 8\), pretože \(8 \ge 0\) a \(8^2 = 64\).
Čím sa líši odmocnina od aritmetickej odmocniny?
Kvadratické odmocniny kladného čísla sú dve – opačné v znamienku. Aritmetickou nazývame iba tú nezápornú, a práve tú označuje znak \(\sqrt{\phantom{a}}\). Preto \(\sqrt{25} = 5\), hoci rovnica \(x^2 = 25\) má dva korene: 5 a \(-5\).
Ako odmocniť číslo bez kalkulačky?
Najprv skontrolujte číslo v tabuľke druhých mocnín. Ak tam nie je – rozložte na činitele a vydeľte presné štvorce: \(784 = 16 \cdot 49\), preto \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Výsledok vždy skontrolujte spätnou operáciou: \(28^2 = 784\).
Dá sa odmocniť záporné číslo?
V reálnych číslach – nie: druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, preto výraz \(\sqrt{-9}\) nemá zmysel. Práve z tohto podmienky sa hľadá definičný obor: napríklad \(\sqrt{x-7}\) existuje iba pri \(x \ge 7\).
Čomu sa rovná odmocnina z druhej mocniny čísla?
Absolútnej hodnote tohto čísla: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pri nezápornom \(a\) dostaneme samotné číslo, pri zápornom – jemu opačné: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Ako vyňať činiteľa spod odmocniny?
Nájdite najväčšieho štvorcového deliteľa čísla pod odmocninou a použite vlastnosť \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Napríklad \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Opačný úkon – vnesenie činiteľa pod odmocninu: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Čomu sa rovná odmocnina z 2?
Číslo \(\sqrt{2}\) je iracionálne: jeho desatinný zápis je nekonečný a neperiodický, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Presná hodnota v tvare zlomku neexistuje, preto sa v odpovediach necháva ako symbol \(\sqrt{2}\), a zaokrúhľuje sa iba vtedy, ak to vyžaduje zadanie.
Ako porovnať dve čísla s odmocninami bez ich výpočtu?
Vneste činitele pod odmocninu a porovnajte čísla pod odmocninou: väčšiemu číslu pod odmocninou zodpovedá väčšia odmocnina. Napríklad \(\sqrt{17}\) a 4: keďže \(4 = \sqrt{16}\) a \(17 > 16\), platí \(\sqrt{17} > 4\).
V ktorom ročníku sa učia odmocniny?
V 8. ročníku na hodinách algebry: najprv definícia aritmetickej odmocniny a jej vlastnosti, potom úpravy výrazov s odmocninami a riešenie rovníc typu \(x^2 = a\). Ďalej sa odmocniny objavujú vo vzorci na diskriminant a v úlohách OGE a ЕГЭ.
