Nerovnosť je dvojica výrazov spojených znamienkom \(<\), \(>\), \(\le\) alebo \(\ge\). Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky hodnoty premennej, pre ktoré sa zmení na pravdivé číselné tvrdenie. Odpoveďou nebude jedno číslo, ale celá množina: interval na číselnej osi alebo zjednotenie intervalov. Na tejto stránke je zozbieraná základná báza pre všetky typy nerovností: ako čítať znamienka, aké úpravy sú povolené, prečo sa znamienko otáča pri delení záporným číslom a ako správne zapísať odpoveď. A ďalej – prehľad všetkých typov nerovností s odkazmi na podrobné rozbory a precvičovanie na overenie si vedomostí.
Čo znamená vyriešiť nerovnosť
Riešenie nerovnosti je ľubovoľná hodnota premennej, ktorá zmení nerovnosť na pravdivé číselné tvrdenie. A vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky také hodnoty a zapísať ich ako množinu.
Porovnaj s rovnicou. Rovnica \(2x = 8\) má odpoveď jedno číslo \(x = 4\). Nerovnosť \(2x < 8\) má odpoveď nekonečne veľa čísel: hodia sa aj \(3\), aj \(0\), aj \(-100\), aj \(3{,}999\). Zapísať ich po jednom nie je možné, preto sa odpoveď zapisuje intervalom: \(x < 4\), teda \((-\infty;\ 4)\).
Overiť, či je konkrétne číslo riešením, je ľahké: dosaď ho namiesto premennej a pozri, či vyšlo pravdivé tvrdenie.
- \(x = 1\) v nerovnosti \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) – pravda, teda \(1\) je riešením.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) – nepravda, teda \(5\) riešením nie je.
Dve nerovnosti nazývame ekvivalentné, ak majú rovnaké množiny riešení. Celé riešenie nerovnosti je reťazec prechodov k jednoduchšej ekvivalentnej nerovnosti, až kým naľavo nezostane osamelé \(x\).
Znamienka nerovností: ostré a neostré
Znamienka sú štyri a od toho, ktoré z nich je použité, závisí aj odpoveď, aj zápis. Ostré znamienka \(<\) a \(>\) samotný hraničný bod do odpovede nezahŕňajú, neostré \(\le\) a \(\ge\) – zahŕňajú.
Toto rozlíšenie pretrváva počas celého riešenia: ostré znamienko dáva vynechaný (prázdny) bod na osi a okrúhlu zátvorku v odpovedi, neostré – vyplnený bod a hranatú zátvorku.
| Znamienko | Ako sa číta a čo znamená v odpovedi |
|---|---|
| < | menšieostrébod vynechaný, zátvorka okrúhla |
| > | väčšieostrébod vynechaný, zátvorka okrúhla |
| ≤ | menšie alebo rovnéneostrébod vyplnený, zátvorka hranatá |
| ≥ | väčšie alebo rovnéneostrébod vyplnený, zátvorka hranatá |
Ekvivalentné úpravy: čo sa dá robiť s nerovnosťou
S nerovnosťou sa dá robiť takmer to isté ako s rovnicou, ale s jednou dôležitou úpravou. Sčítavať a odčítavať sa dá voľne: ak k obom stranám pripočítame alebo od oboch strán odpočítame to isté, množina riešení sa nezmení. Práve takto sa členy „prenášajú“ cez znamienko, mení sa im znamienko na opačné.
A násobenie a delenie závisí od znamienka činiteľa. Pri násobení alebo delení oboch strán záporným číslom sa znamienko nerovnosti zmení na opačné: \(<\) sa zmení na \(>\), \(\le\) sa zmení na \(\ge\) a naopak. Dôvod je viditeľný na číslach: z pravdivého \(3 < 5\) po vynásobení číslom \(-1\) vznikne \(-3\) a \(-5\), pričom \(-3 > -5\) – poradie čísel sa otočilo.
To isté sa stane, ak zameníme ľavú a pravú stranu: zo \(7 < y\) vznikne \(y > 7\).
| Čo robíme s oboma stranami | Čo so znamienkom |
|---|---|
| Pripočítame alebo odpočítame rovnaké číslo alebo výraz | znamienko sa zachová |
| Násobíme alebo delíme kladným číslom | znamienko sa zachová |
| Násobíme alebo delíme záporným číslom | znamienko sa zmení |
| Zameníme ľavú a pravú stranu | znamienko sa zmení |
| Násobíme alebo delíme výrazom s premennou (x − 2) | takto sa nedá |
Ako zapísať odpoveď: číselná os a intervaly
Keď premenná zostala sama, riešenie je takmer hotové – zostáva ho len zapísať. Najpohodlnejšie je najprv zaznačiť odpoveď na číselnej osi a až z nej vypočítať interval.
Pravidlá zápisu sú len tri a nemenia sa podľa typu nerovnosti:
- okrúhla zátvorka – bod nie je súčasťou odpovede (ostré znamienko, vynechaný bod);
- hratá zátvorka – bod je súčasťou odpovede (neostré znamienko, vyplnený bod);
- pri nekonečne je zátvorka vždy okrúhla: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) – zápis typu \([-\infty;\ 4]\) neexistuje, nekonečno nie je číslo a nedá sa dosiahnuť.
Ak sa riešením ukázali dva kusy osi, spoja sa znamienkom zjednotenia \(\cup\): napríklad \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Typy nerovností a spôsoby ich riešenia
Nerovnosti sa rozlišujú podľa toho, ako sa v nich premenná vyskytuje – či je v prvej mocnine, pod odmocninou, v menovateli alebo pod absolútnou hodnotou. Práve to určuje spôsob riešenia, preto prvým krokom každého riešenia je určiť typ nerovnosti. Všeobecná logika je potom rovnaká: previesť nerovnosť na tvar „výraz sa porovnáva s nulou“ a potom použiť metódu vhodnú pre daný typ. Prehľad typov a metód – v tabuľke nižšie.
Osobitne si treba zapamätať, ako sa odstraňuje absolútna hodnota – tabuľka to neobsahuje. Pri \(a > 0\) je nerovnosť \(|f(x)| < a\) ekvivalentná dvojitej nerovnosti \(-a < f(x) < a\) (vznikne systém), a \(|f(x)| > a\) – zjednoteniu \(f(x) < -a\) alebo \(f(x) > a\) (vznikne zjednotenie intervalov). Ak je \(a < 0\), netreba sa vôbec zamýšľať: absolútna hodnota je nezáporná, preto \(|f(x)| < a\) nemá riešenie, a \(|f(x)| > a\) platí pre všetky prípustné \(x\).
Iracionálne (s odmocninou) a exponenciálne nerovnosti sa rozoberajú na strednej škole: k bežným úpravám sa tam pridáva práca s oblasťou prípustných hodnôt.
Podrobné rozbory jednotlivých typov: lineárne nerovnosti, racionálne nerovnosti a metóda intervalov, a korene kvadratického trojčlena sa dajú šikovne nájsť pomocou Vietovej vety.
| Typ | Ako vyzerá a čím sa rieši |
|---|---|
| Lineárny | ax + b > 0prenesieme členy a delíme koeficientom pri x |
| Kvadratický | ax2 + bx + c > 0nájdeme korene trojčlena a pozrieme na parabolu |
| Zlomkovo-racionálny | P(x) / Q(x) ≥ 0metóda intervalov, nuly menovateľa vynechávame |
| S absolútnou hodnotou | | f(x) | < aodstránime absolútnu hodnotu podľa definície |
| Systém | dve nerovnosti v zátvorkeriešime každú, berieme prienik |
Systémy a zjednotenia nerovností
Často sa jedna nerovnosť rozpadne na dve a vtedy je dôležité nezamieňať, čo robiť s výslednými množinami.
Systém (zátvorka {}) znamená „aj jedno, aj druhé súčasne“. Riešime každú nerovnosť zvlášť, zaznačíme obe odpovede na jednej osi a berieme prienik – spoločnú časť. Ak spoločná časť neexistuje, systém nemá riešenie.
Zjednotenie (zátvorka []) znamená „alebo jedno, alebo druhé“. Tu sa berie zjednotenie – všetko, čo je vyfarbené aspoň jednou z odpovedí. Zjednotenie vzniká napríklad pri odstraňovaní absolútnej hodnoty so znamienkom „väčšie“.
Osobitne stojí dvojitá nerovnosť typu \(-3 < 2x + 1 \le 7\): je to skrátený zápis systému. Úpravy sa vykonávajú naraz nad všetkými tromi časťami – odčítava sa, delí sa, a pri delení záporným číslom sa otočia obe znamienka spolu.
Príklady riešenia nerovností
Príklad 1. Overenie, či je číslo riešením
Úloha. Je \(x = -1\) riešením nerovnosti \(3x + 5 \ge 1\)?
Krok 1. Dosadíme \(-1\) namiesto \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Krok 2. Porovnáme s pravou stranou: \(2 \ge 1\) – pravdivé číselné tvrdenie.
Odpoveď. Áno, \(-1\) je jedno z riešení. Ale vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky také čísla, nie jedno: tu je odpoveď \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Príklad 2. Lineárna nerovnosť so zmenou znamienka
Úloha. Vyriešte \(7 - 3x < 1\).
Krok 1. Prenesieme \(7\) doprava (teda od oboch strán odpočítame \(7\) – znamienko nerovnosti sa nemení): \(-3x < 1 - 7\), teda \(-3x < -6\).
Krok 2. Obe strany vydelíme číslom \(-3\). Deliteľ je záporný, preto znamienko sa otočí: \(x > 2\).
Krok 3. Zaznačíme na osi: vynechaný bod pri \(2\), vyfarbíme všetko doprava.
Odpoveď. \(x > 2\), teda \(x \in (2;\ +\infty)\).
Príklad 3. Kvadratická nerovnosť
Úloha. Vyriešte \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Krok 1. Nájdeme korene trojčlena: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), odkiaľ \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Krok 2. Koeficient pri \(x^2\) je kladný, preto ramená paraboly smerujú nahor: medzi koreňmi je trojčlen záporný, mimo koreňov – kladný.
Krok 3. Potrebujeme znamienko \(\le 0\), teda záporné hodnoty a samotné korene (znamienko je neostré) – vezmeme úsek medzi koreňmi vrátane koncov.
Odpoveď. \(x \in [-1;\ 5]\).
Príklad 4. Nerovnosť s absolútnou hodnotou
Úloha. Vyriešte \(|x + 1| > 4\).
Krok 1. Absolútna hodnota je väčšia ako kladné číslo – znamená to, že výraz pod absolútnou hodnotou je buď väčší ako \(4\), alebo menší ako \(-4\). Dostaneme zjednotenie: \(x + 1 > 4\) alebo \(x + 1 < -4\).
Krok 2. Riešime každú zvlášť: z prvej \(x > 3\), z druhej \(x < -5\).
Krok 3. Toto je zjednotenie, preto berieme zjednotenie intervalov, nie prienik.
Odpoveď. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Príklad 5. Systém nerovností
Úloha. Vyriešte systém \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Krok 1. Prvá nerovnosť: \(2x > -4\), delíme kladným číslom \(2\) – znamienko sa zachová, \(x > -2\).
Krok 2. Druhá nerovnosť: \(x \le 4\).
Krok 3. Zaznačíme obe odpovede na jednej osi a berieme prienik – úsek vyfarbený dvakrát. Ľavá hranica nie je zahrnutá (ostré znamienko), pravá je zahrnutá (neostré).
Odpoveď. \(x \in (-2;\ 4]\).
Časté chyby pri riešení nerovností
-
Delenie záporným číslom a ponechanie pôvodného znamienka.
Pri násobení a delení oboch strán záporným číslom sa znamienko nevyhnutne mení na opačné. Z \(-5x \ge 10\) vznikne \(x \le -2\), nie \(x \ge -2\). Môžete si to overiť dosadením: \(x = -3\) dáva \(15 \ge 10\) – pravda, preto správna odpoveď je naozaj „menšie alebo rovné“.
-
Písanie hranatej zátvorky pri nekonečne: $[-\infty;\ 7]$.
Nekonečno nie je číslo, nedá sa „dosiahnuť“, preto zátvorka pri \(\infty\) je vždy okrúhla: \((-\infty;\ 7]\). Hranatá zátvorka sa používa len pri konečnej hranici, ktorá je súčasťou odpovede.
-
Zámena typu zátvorky a typu bodu: ostré znamienko sa zapisuje hranatou zátvorkou.
Ostré znamienko (\(<\), \(>\)) – hranica nie je súčasťou odpovede: vynechaný bod a okrúhla zátvorka. Neostré (\(\le\), \(\ge\)) – hranica je súčasťou odpovede: vyplnený bod a hranatá zátvorka. Kontrola je jednoduchá: dosaďte samotnú hraničnú hodnotu do pôvodnej nerovnosti a pozrite sa, či vyšlo správne tvrdenie.
-
Násobenie oboch strán výrazom s premennou, aby sa „zbavili zlomku“.
Znamienko takéhoto výrazu nie je známe, preto nie je jasné, či treba znamienko nerovnosti otočiť, alebo nie – úprava nie je ekvivalentná. Namiesto toho sa všetko prenesie na jednu stranu, prevedie sa na jeden zlomok a použije sa metóda intervalov.
-
Do odpovede sa zapíše jedno číslo: „$x = 3$“ namiesto množiny.
Riešenie nerovnosti je množina hodnôt. Zapíšte ju intervalom: \(x > 3\), teda \((3;\ +\infty)\). Jedno číslo môže byť len prvkom odpovede, nie samotnou odpoveďou.
-
Pri systéme sa berie zjednotenie, pri zjednotení – prienik.
Pri systéme (zátvorka {}, „a“) – prienik, spoločná časť intervalov. Pri zjednotení (zátvorka [], „alebo“) – zjednotenie cez znamienko \(\cup\). A ešte: zápis typu „\(-2 < x > 5\)“ nemá zmysel – takáto odpoveď sa zapisuje ako zjednotenie dvoch intervalov.
Otázky a odpovede
Čo znamená vyriešiť nerovnosť?
Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky hodnoty premennej, pre ktoré sa zmení na pravdivé číselné tvrdenie, a zapísať ich ako množinu. Odpoveďou bude interval alebo zjednotenie intervalov, nie samostatné číslo.
Aké sú typy nerovností?
Podľa vzhľadu výrazu s premennou rozlišujeme lineárne (\(ax + b > 0\)), kvadratické (\(ax^2 + bx + c > 0\)), zlomkovo-racionálne (premenná v menovateli), s absolútnou hodnotou, iracionálne a exponenciálne. Osobitne sa vydeľujú systémy a zjednotenia nerovností. Podľa znamienka nerovnosti sa delia na ostré (\(<\), \(>\)) a neostré (\(\le\), \(\ge\)).
Kedy sa znamienko nerovnosti zmení na opačné?
V dvoch prípadoch: keď sa obe strany vynásobia alebo vydelia záporným číslom a keď sa ľavá a pravá strana zamenia. Pri pripočítaní, odpočítaní a delení kladným číslom znamienko zostáva rovnaké.
Kedy je zátvorka okrúhla a kedy hranatá?
Okrúhla – ak hraničný bod nie je súčasťou odpovede (ostré znamienko, vynechaný bod na osi). Hranatá – ak je súčasťou (neostré znamienko, vyplnený bod). Pri \(+\infty\) a \(-\infty\) je zátvorka vždy okrúhla.
Čím sa riešenie nerovnosti líši od riešenia rovnice?
Úpravy sú takmer rovnaké, ale rovnica má zvyčajne odpoveď tvorenú samostatnými číslami, zatiaľ čo nerovnosť má odpoveď tvorenú celými intervalmi. Okrem toho nerovnosť má pravidlo zmeny znamienka pri násobení a delení záporným číslom, ktoré rovnica nemá.
Aká nerovnosť sa považuje za zlomkovú a kde sa rozoberá?
Zlomková (zlomkovo-racionálna) sa nazýva nerovnosť, v ktorej je premenná v menovateli – napríklad \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); kvôli menovateľu má oblasť prípustných hodnôt a bežným delením sa nedá vyriešiť. Podrobný algoritmus s príkladmi – v osobitnom materiáli racionálne nerovnosti a metóda intervalov.
V ktorom ročníku sa učia riešiť nerovnosti?
Lineárne nerovnosti a číselné intervaly sa preberajú v 8. ročníku (u Merzljaka – v 9.), kvadratické a zlomkovo-racionálne nerovnosti s metódou intervalov – v 8.–9. ročníku, a iracionálne a exponenciálne – na strednej škole.
