Násobilka je súbor všetkých súčinov čísel od 1 do 10. Na tejto stránke je v dvoch formách: ako štvorec 10 × 10 (Pythagorova tabuľka) a po stĺpcoch na 2, 3, 4… 9 – obe sa dajú pohodlne vytlačiť. Navyše tu nájdete techniky, po ktorých sa musíte učiť menej ako polovicu tabuľky, pravidlo prstov pre deviatku, súvislosť s delením a plán, ako sa naučiť násobilku za týždeň. Môžete sa otestovať na karte „Trenažér“.
Otestuj sa: 10 variantov po 12 príkladov, nápoveda cez susedný príklad.
Otvoriť trénerČo je násobenie
Násobenie je skrátený zápis sčítania rovnakých sčítancov. Namiesto písania \(4 + 4 + 4\) píšeme \(4 \times 3\): „štyri trikrát“.
Čísla, ktoré sa násobia, sa nazývajú činitele, a výsledok sa nazýva súčin. V zápise \(4 \times 3 = 12\) sú činitele 4 a 3, súčin je 12.
Najpohodlnejšie je predstaviť si násobenie ako obdĺžnik z bodiek alebo buniek: koľko riadkov a koľko v každom. Takýto obdĺžnik okamžite ukazuje sčítanie aj násobenie a to, prečo sa pri výmene činiteľov výsledok nemení – stačí obrázok otočiť.
Násobilka: Pythagorova tabuľka od 1 do 10
Celá násobilka sa zmestí do jedného štvorca 10 × 10 – nazýva sa Pythagorova tabuľka. Ako ju používať: prvý činiteľ nájdeme v ľavom stĺpci, druhý v hornom riadku, výsledok je na ich priesečníku. Napríklad riadok 6 a stĺpec 7 sa stretnú v bunke 42.
Pozrite sa na tabuľku a nájdete v nej zákonitosti. Po diagonále sú štvorce – čísla vynásobené samy sebou. Tabuľka je symetrická: bunka nad diagonálou sa rovná bunke pod ňou. A každý riadok je postupnosť s rovnakými krokmi: riadok 3 ide 3, 6, 9, 12…
Tabuľku je pohodlné vytlačiť a zavesiť nad stôl: štvorce a opakujúce sa bunky sú farebne zvýraznené.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Násobilka na 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 po stĺpcoch
V škole sa tabuľka zvyčajne učí po stĺpcoch: najprv celé násobenie číslom 2, potom číslom 3 a tak ďalej. Sú to tie isté čísla ako v Pythagorovej tabuľke, len každý riadok je vypísaný ako príklad. Stĺpce na 1 a na 10 tu nie sú zobrazené: pri násobení číslom 1 sa číslo nemení, a pri násobení číslom 10 sa k nemu pripíše nula.
Stĺpce sú dobré na učenie tabuľky po častiach. Ale ak odpovedáte len v poradí, ľahko si zvyknete „dočítať“ od začiatku. Preto, keď je stĺpec naučený, je dobré ho precvičovať v náhodnom poradí.
Ako sa rýchlo naučiť násobilku: polovica je už známa
Tabuľka vyzerá ako sto príkladov, ale učiť sa naozaj treba oveľa menej.
- Zákon premenlivosti. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Ak ste sa naučili jedno, druhé už poznáte. Zo 100 buniek zostáva 55 rôznych – takmer polovica tabuľky zadarmo.
- Násobenie 0 a 1. Každé číslo vynásobené 0 dáva 0. Vynásobené 1 – zostáva samo sebou.
- Násobenie 10. K číslu pripíšeme nulu: \(10 \times 4 = 40\).
- Násobenie 2 – je zdvojnásobenie, číslo sa sčíta samo so sebou.
- Násobenie 5 – je polovica z násobenia 10. Všetky výsledky končia na 0 alebo 5.
Po týchto pravidlách v stĺpcoch od 3 do 9 zostáva už len veľmi málo príkladov. Každý z nich sa dá odvodiť z toho, čo už poznáte – techniky sú nižšie.
Násobilka na 9: na prstoch a podľa súčtu číslic
Stĺpec na 9 je najviac „trikový“. Má dve spoľahlivé pravidlá.
Pravidlo súčtu číslic. Vo výsledkoch od \(9 \times 2\) do \(9 \times 10\) je súčet číslic vždy 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. A číslica desiatok je o jednotku menšia ako druhý činiteľ. Teda, \(9 \times 4\): desiatok je 3, a jednotiek je toľko, aby spolu bolo 9, teda 6. Výsledok je 36.
Pravidlo prstov. Položte si ruky pred seba, prsty očíslujte zľava doprava od 1 do 10. Ak chcete vynásobiť 9 číslom, zohnite prst s týmto číslom. Prsty vľavo od ohnutého sú desiatky, vpravo sú jednotky. Pravidlo funguje pre činitele od 1 do 10.
Existuje aj tretí spôsob, bez prstov: vynásobiť 10 a odpočítať samotné číslo.
Násobilka na 6, 7 a 8: štvorce a susedia
Tieto stĺpce sa považujú za najťažšie, ale po všetkých technikách v nich zostáva len niekoľko nových príkladov: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 a 8 × 8.
Štvorce sa učia ľahšie ako ostatné, pretože ich je málo a sú na diagonále tabuľky: 36, 49, 64. Keď sa naučíte štvorce, môžete získať susedné výsledky v jednom kroku: \(7 \times 8\) je \(7 \times 7\) a ešte jedna sedmička: \(49 + 7 = 56\). Podobne \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).
Druhá cesta je cez päťku: \(6 \times 8\) je \(5 \times 8\) a ešte jedna osmička: \(40 + 8 = 48\).
Pre 7 × 8 existuje aj číselná pomôcka: \(56 = 7 \times 8\) – číslice 5, 6, 7, 8 idú po sebe.
Násobilka a delenie
Delenie je opačná operácia k násobeniu. Preto sa nemusí učiť samostatná „tabuľka delenia“: je už skrytá v násobilke.
Z troch čísel jedného príkladu vznikajú štyri správne rovnosti: dve na násobenie a dve na delenie. Ak viete, že \(7 \times 8 = 56\), potom viete aj \(56 \div 8 = 7\) a \(56 \div 7 = 8\).
Ako používať Pythagorovu tabuľku na delenie: nájdite v riadku deliteľa delenca – číslo stĺpca bude odpoveď.
Ako sa naučiť násobilku za týždeň: plán po dňoch
Poradie učenia je dôležité: najprv najjednoduchšie stĺpce a pravidlá, ktoré dávajú veľa odpovedí naraz, a zložité príklady – na koniec, keď ich zostane málo. Lepšie je učiť sa po troche každý deň, 10–15 minút, ako raz dlho.
Každé učenie začnite krátkym opákovaním včerajšieho. Odpovedajte nahlas a v náhodnom poradí, nie postupne. Chyby si vypisujte zvlášť: to je váš osobný zoznam na zajtra.
Overiť sa dá na karte „Trenažér“ tejto stránky: tam si môžete vybrať jednotlivé stĺpce – napríklad len 6, 7 a 8 – a precvičovať práve tie.
Príklady s rozborom: ako nájsť odpoveď, ak zabudneš
Príklad 1. Zabudol som 6 × 9 – ako to obnoviť
Spôsob 1 – cez desať. \(10 \times 6 = 60\), odpočítame jednu šestku: \(60 - 6 = 54\).
Spôsob 2 – cez päť. \(5 \times 9 = 45\), pripočítame ešte jednu deviatku: \(45 + 9 = 54\).
Kontrola súčtom číslic: \(5 + 4 = 9\) – výsledok zo stĺpca na 9 vyzerá správne.
Odpoveď: \(6 \times 9 = 54\).
Príklad 2. 4 × 8 zdvojnásobením
Krok 1. Násobiť 4 – znamená zdvojnásobiť dvakrát.
Krok 2. \(8 + 8 = 16\).
Krok 3. \(16 + 16 = 32\).
Odpoveď: \(4 \times 8 = 32\). Rovnaké číslo je aj v bunke \(8 \times 4\).
Príklad 3. Delenie cez tabuľku: 72 ÷ 9
Krok 1. Položíme si otázku na násobenie: akým číslom musíme vynásobiť 9, aby sme dostali 72?
Krok 2. Spomenieme si na stĺpec na 9: v čísle 72 je číslica desiatok 7, teda druhý činiteľ je o jednotku väčší – 8.
Krok 3. Skontrolujeme: \(9 \times 8 = 72\).
Odpoveď: \(72 \div 9 = 8\).
Príklad 4. Úloha: krabice s ceruzkami
Úloha. V jednej krabici je 6 ceruziek. Koľko ceruziek je v 4 krabiciach?
Krok 1. Rovnaký počet berieme viackrát – to je násobenie: \(6 \times 4\).
Krok 2. Zdvojnásobíme dvakrát: \(6 \to 12 \to 24\).
Odpoveď: 24 ceruziek.
Časté chyby v násobilke
-
Plietú si 7 × 8 a 6 × 8: hovoria „7 × 8 = 48“.
48 je 6 × 8. Výsledok 7 × 8 je o jednu osmičku väčší: 48 + 8 = 56. Pomôcka: v zápise 56 = 7 × 8 idú číslice 5, 6, 7, 8 po sebe.
-
Miešajú výsledky 6 × 7, 6 × 8 a 7 × 8 – čísla 42, 48 a 56 „plávajú“.
Opierajte sa o štvorce: 6 × 6 = 36, teda 6 × 7 = 36 + 6 = 42. 7 × 7 = 49, teda 7 × 8 = 49 + 7 = 56. A 6 × 8 = 40 + 8 = 48 cez päťku. Každé z troch čísel sa dá získať krátkou cestou.
-
Pri násobení 0 píšu samotné číslo: 5 × 0 = 5.
Ak päťkrát vezmeme nulu, dostaneme nulu. Každé číslo vynásobené 0 je rovné 0. Samotné číslo zostáva len pri násobení 1.
-
Pri násobení 1 pripočítajú jednotku: 8 × 1 = 9.
Násobiť 1 – znamená vziať číslo raz, preto 8 × 1 = 8. Pripočítanie jednotky je sčítanie, nie násobenie.
-
Sčítajú namiesto násobenia: 4 × 4 = 8.
4 + 4 = 8, a 4 × 4 – to sú štyri štvorky: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Zmätenosť pochádza z 2 × 2 = 2 + 2 = 4 – to je jediný prípad, kde sa sčítanie a násobenie zhodujú.
-
Poznajú stĺpec len v poradí a zakaždým prepočítavajú od začiatku: „7, 14, 21, 28…“.
To je počítanie, nie znalosť tabuľky. Keď je stĺpec naučený, precvičujte ho v náhodnom poradí, kým sa odpoveď neobjaví hneď. Na karte „Trenažér“ sú príklady práve takéto.
Otázky a odpovede
Ako sa rýchlo naučiť násobilku?
Neučiť sto príkladov postupne. Najprv zákon premenlivosti a jednoduché pravidlá (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) – po nich zostáva menej ako polovica tabuľky. Potom techniky pre ×4 a ×9, potom štvorce a susedia pre ×6, ×7, ×8. Učte sa 10–15 minút denne a kontrolujte sa v náhodnom poradí – tak sa tabuľka naučí približne za týždeň.
Koľko príkladov v násobilke sa treba naučiť v skutočnosti?
V Pythagorovej tabuľke je 100 buniek, ale kvôli zákonu premenlivosti je rôznych príkladov len 55. Ak odstránime násobenie 0, 1, 2, 5 a 10, ktoré sa riešia pravidlami, a stĺpec na 9 s pravidlom prstov, zostáva 15 príkladov. A najťažších, na ktoré treba techniku, je asi desať, hlavne v stĺpcoch na 6, 7 a 8.
Čím sa Pythagorova tabuľka líši od násobilky po stĺpcoch?
Čísla v nich sú rovnaké. Pythagorova tabuľka je štvorec 10 × 10, kde výsledok je na priesečníku riadku a stĺpca; v nej sú dobre viditeľné zákonitosti a symetria. Stĺpce sú tie isté riadky, vypísané ako príklady „7 × 3 = 21“; dajú sa učiť po častiach.
Ako vytlačiť násobilku?
Otvorte túto stránku a vyberte tlač v prehliadači (na počítači – Ctrl+P alebo ⌘+P). Do tlače sa dostanú aj Pythagorova tabuľka aj tabuľka po stĺpcoch; nepotrebné strany nemusíte tlačiť, stačí ich čísla uviesť v okne tlače.
V ktorom ročníku sa učí násobilka?
Zvyčajne v 2.–3. ročníku: najprv sa zoznámia s násobením ako sčítaním rovnakých čísel, potom sa učia tabuľku po stĺpcoch a hneď ju spájajú s delením. Presné poradie závisí od školského programu.
Prečo sa učiť tabuľku naspamäť, keď existuje kalkulačka?
Na násobilke je založená takmer celá ďalšia matematika: delenie, zlomky, skracovanie, násobenie pod sebou, rovnice. Ak sa zakaždým dočíta, pozornosť sa presunie na aritmetiku, nie na samotnú úlohu.
Ako sa naučiť násobilku s dieťaťom bez sĺz?
Krátke učenie každý deň, nie jedno dlhé. Začínať s tým, čo ide, a ukázať, že veľa výsledkov dieťa už pozná. Chváliť za rýchlosť a správne odpovede, a zložité príklady opakovať častejšie. Dobre fungujú hry na rýchlosť a kartičky v náhodnom poradí.
Ako skontrolovať, či je násobilka naučená?
Tabuľka je naučená, ak odpoveď na akýkoľvek príklad v náhodnom poradí sa objaví hneď, bez prepočítavania, a rovnako rýchlo odpovedáte na opačné príklady na delenie. Môžete sa otestovať na karte „Trenažér“ – tam vidíte, v ktorých stĺpcoch sú chyby.
