Vzorce pre skrátené násobenie (VSN) sú hotové algebraické identity, ktoré umožňujú rýchlo upravovať výrazy a rozkladať ich na súčin bez zdĺhavého násobenia. Na tejto stránke nájdeš tabuľku všetkých siedmich vzorcov: štvorec súčtu a rozdielu, rozdiel štvorcov, kocka súčtu a rozdielu, súčet a rozdiel kociek. Každý vzorec rozoberáme s odvodením a príkladmi a na konci nájdeš interaktívny trenažér, kde si môžeš precvičiť ich používanie.
Čo sú vzorce pre skrátené násobenie
Vzorce pre skrátené násobenie sú identity, ktoré vzniknú, ak raz správne vynásobíme mnohočleny a zapamätáme si výsledok. Potom už nemusíme zakaždým zdĺhavo upravovať výrazy: stačí spoznať „vzor“ a dosadiť svoje čísla alebo premenné.
V školskom učive algebry 7. ročníka sa VSN používajú dvoma smermi:
- zľava doprava — na rýchlu úpravu výrazov (umocňovanie na druhú alebo tretiu);
- sprava doľava — na rozklad mnohočlena na súčin (potrebné pri krátení zlomkov a riešení rovníc).
Spolu sa učíme sedem vzorcov. Nižšie je prehľadná tabuľka a následne rozbor každého vzorca.
Tabuľka vzorcov pre skrátené násobenie
Všetkých sedem vzorcov pre skrátené násobenie je dobré mať stále na očiach v jednej tabuľke. Písmená \(a\) a \(b\) tu predstavujú ľubovoľné výrazy: číslo, premennú alebo celý jednočlen ako napríklad \(2x\).
| Vzorec | Zápis |
|---|---|
| Štvorec súčtu | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Štvorec rozdielu | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Rozdiel štvorcov | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kocka súčtu | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kocka rozdielu | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Súčet kociek | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Rozdiel kociek | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Štvorec súčtu a štvorec rozdielu
Štvorec súčtu vznikne, ak vynásobíme \((a+b)\) samým sebou:
Slovne: štvorec súčtu sa rovná štvorcu prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu plus štvorec druhého výrazu. Rovnako sa odvodí štvorec rozdielu — znamienko pri strednom člene sa zmení na mínus:
Hlavné je nezabudnúť na stredný člen \(2ab\): práve kvôli nemu \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Štvorec súčtu a štvorec rozdielu sa líšia iba znamienkom pred \(2ab\), zatiaľ čo krajné členy \(a^2\) a \(b^2\) sú vždy kladné.
Príklad. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Štvorec súčtu má aj názorný geometrický význam: je to obsah veľkého štvorca so stranou \((a+b)\).
Rozdiel štvorcov
Ak vynásobíme súčet a rozdiel tých istých výrazov, stredné členy sa navzájom vyrušia:
Výsledkom je vzorec pre rozdiel štvorcov: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Toto je najužitočnejší vzorec pre rozklad na súčin: akonáhle uvidíš rozdiel dvoch štvorcov, ihneď ho rozlož na súčin.
Príklad (úprava výrazu). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Príklad (rozklad na súčin). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Dôležité: súčet štvorcov \(a^2 + b^2\) sa podľa tohto vzorca na súčin rozložiť nedá — funguje to len pri rozdiele.
Kocka súčtu, kocka rozdielu, súčet a rozdiel kociek
Kocka súčtu a kocka rozdielu obsahujú už štyri členy:
Pri kocke rozdielu sa znamienka striedajú: \(+\,-\,+\,-\). A opäť častá pasca: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — nemôžeš len tak „rozdeliť“ mocninu, stredné členy \(3a^2b\) a \(3ab^2\) nesmieš vynechať.
Príklad. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Samostatne stoja súčet a rozdiel kociek — tie, naopak, rozkladajú výraz na súčin:
Druhý činiteľ sa nazýva neúplný štvorec súčtu alebo rozdielu. Znamienko v jeho strednom člene je vždy opačné ako znamienko v prvej zátvorke: pri súčte kociek je tam \(-ab\), pri rozdiele kociek \(+ab\).
Príklad. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Príklady použitia vzorcov pre skrátené násobenie
Príklad 1. Úprava výrazu: štvorec súčtu
Zadanie. Umocni na druhú \((2x+5)^2\).
Krok 1. Spoznáme vzorec pre štvorec súčtu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kde \(a = 2x\), \(b = 5\).
Krok 2. Vypočítame každý člen:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Výsledok. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Príklad 2. Použitie vzorca pre rozdiel štvorcov
Zadanie. Vypočítaj súčin \((3x-4)(3x+4)\).
Krok 1. Máme pred sebou súčin rozdielu a súčtu tých istých výrazov — to je rozdiel štvorcov \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kde \(a = 3x\), \(b = 4\).
Krok 2. Umocníme na druhú každý výraz: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Výsledok. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Príklad 3. Rozklad na súčin
Zadanie. Rozlož na súčin \(x^2 - 36\) a \(x^3 + 27\).
Rozdiel štvorcov. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Súčet kociek. Všimneme si, že \(27 = 3^3\), takže \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Použijeme vzorec \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) pre \(a = x\), \(b = 3\):
Všimni si znamienko \(-3x\) v neúplnom štvorci — pri súčte kociek je stredný člen so záporným znamienkom.
Príklad 4. Kocka súčtu
Zadanie. Uprav výraz \((x+2)^3\).
Krok 1. Vzorec pre kocku súčtu: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kde \(a = x\), \(b = 2\).
Krok 2. Vypočítame členy postupne:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Výsledok. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Časté chyby pri práci s VSN
-
Zabúdajú na dvojnásobok súčinu: píšu $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
V štvorci súčtu a rozdielu je vždy stredný člen \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ľahko si to overíš — vynásob \((a+b)(a+b)\) pod seba a stredný člen sa objaví sám.
-
Pletú si znamienka v štvorci rozdielu a v rozdiele štvorcov.
V štvorci rozdielu je mínus len pri strednom člene: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (krajné sú s plusom). A v rozdiele štvorcov je mínus medzi samotnými štvorcami: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Sú to rôzne vzorce.
-
„Rozdeľujú“ mocninu pri kocke: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Takto sa to robiť nesmie. Kocka súčtu obsahuje štyri členy: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Vzorec \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) je niečo úplne iné (súčet kociek), ten slúži na rozklad na súčin.
-
V neúplnom štvorci pri súčte/rozdiele kociek píšu dvojnásobok súčinu $2ab$.
Neúplný štvorec je \(a^2 \pm ab + b^2\), bez dvojky pred \(ab\). Znamienko je opačné ako znamienko v prvej zátvorke: súčet kociek \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), rozdiel kociek \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Pokúšajú sa rozložiť súčet štvorcov $a^2 + b^2$ na súčin.
Na súčin sa dá rozložiť len rozdiel štvorcov \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Súčet štvorcov \(a^2 + b^2\) sa v školskom učive na súčin nerozkladá.
Otázky a odpovede
Koľko je spolu vzorcov pre skrátené násobenie?
Sedem: štvorec súčtu, štvorec rozdielu, rozdiel štvorcov, kocka súčtu, kocka rozdielu, súčet kociek a rozdiel kociek. Všetky sú zhrnuté v tabuľke vyššie.
Čomu sa rovná štvorec súčtu?
Štvorcu prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu plus štvorec druhého výrazu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Pri štvorci rozdielu je stredný člen so záporným znamienkom: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Ako rozložiť rozdiel štvorcov na súčin?
Podľa vzorca \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Napríklad \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Stačí vidieť, že oba členy sú úplné štvorce a medzi nimi je mínus.
Prečo $(a+b)^2$ nie je rovné $a^2 + b^2$?
Pretože pri násobení \((a+b)(a+b)\) vzniknú ešte dva zhodné členy \(ab\), ktoré dajú stredný člen \(2ab\). Ten nesmieš vynechať: správne je \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
V čom je rozdiel medzi kockou súčtu a súčtom kociek?
Kocka súčtu \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) je úprava výrazu. Súčet kociek \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) je, naopak, rozklad výrazu na súčin. Sú to rôzne vzorce, nepleť si ich.
V ktorom ročníku sa preberajú vzorce pre skrátené násobenie?
Zvyčajne v 7. ročníku na hodinách algebry: najprv štvorec súčtu a rozdielu, rozdiel štvorcov, potom vzorce pre kocky. Aktívne sa používajú ďalej pri zjednodušovaní výrazov, krátení zlomkov a riešení rovníc.
