Racionálna nerovnica je nerovnica typu \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) sú polynómy a namiesto znaku \(>\) môže byť \(<\), \(\ge\) alebo \(\le\). Takéto nerovnice sa riešia metódou intervalov: všetko sa prenesie na ľavú stranu, rozloží sa na činitele, na číselnej osi sa vyznačia nulové body čitateľa a nulové body menovateľa a potom sa určia znamienka. Nižšie nájdete definíciu, úplný algoritmus, pravidlo vynechaných bodov, násobnosť koreňov, rozobraté príklady a trenažér s kontrolou.
Čo je racionálna nerovnica
Racionálna nerovnica je nerovnica, ktorej obe strany sú zapísané racionálnymi výrazmi, teda polynómami a zlomkami z polynómov. Po prenesení všetkého na jednu stranu sa vždy zredukuje na tvar
kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) sú polynómy a na mieste \(\vee\) je jeden zo znakov \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Vpravo musí byť nula – to je podmienka, bez ktorej metóda intervalov nefunguje.
Racionálne nerovnice sa delia na dva typy. Ak sa premenná vyskytuje len v čitateli, nerovnica sa nazýva celočíselná racionálna: nie je čím deliť a sú prípustné všetky hodnoty \(x\). Ak je premenná v menovateli, nerovnica je zlomkovo-racionálna (nazýva sa aj zlomková nerovnica alebo nerovnica so zlomkom) – a vtedy hneď vzniká obmedzenie \(Q(x) \neq 0\).
Prečo nemožno násobiť obe strany menovateľom
Najväčším pokušením pri riešení nerovnice so zlomkom je „zbaviť sa menovateľa“ vynásobením oboch strán ním. S rovnicami sa to dá, s nerovnicami – nie. Dôvod je prostý: pri násobení záporným číslom sa znamienko nerovnosti obráti, a znamienko výrazu \(Q(x)\) vopred nepoznáme – závisí od \(x\).
Pozrime sa na nerovnicu \(\frac{5}{x-3} < 1\). Vynásobíme obe strany \(x - 3\), akoby to bolo kladné číslo: dostaneme \(5 < x - 3\), teda \(x > 8\). Skontrolujeme odpoveď dosadením \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – nerovnica je platná, takže nula je tiež riešením, ale do odpovede \(x > 8\) sa nedostala. Odpoveď bola stratená.
Správny postup je preniesť všetko doľava a previesť na jeden zlomok:
V poslednom kroku sme obe strany vynásobili číslom \(-1\) a obrátili znamienko – to je zákonné, pretože \(-1\) je vždy záporné. Ďalej funguje metóda intervalov a odpoveď je \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – obsahuje aj stratenú nulu.
Najjednoduchšie si zapamätať: násobiť obe strany výrazom s premennou nemožno, prenášať sčítance – možno vždy. Prenos nemení znamienko nerovnosti.
Metóda intervalov: algoritmus riešenia krok za krokom
Metóda intervalov vychádza z jednej vlastnosti: medzi susednými nulovými bodmi racionálneho výrazu je jeho znamienko konštantné. Znamená to, že stačí nájsť všetky body, kde sa čitateľ alebo menovateľ rovná nule, rozdeliť nimi číselnú os a určiť znamienko na každom úseku – pomocou jedného skúšobného bodu alebo pomocou násobnosti koreňov.
Vynechané a plné body: definičný obor a znamienko nerovnice
Chyba v jednej zátvorke premení platné riešenie na nesprávnu odpoveď, preto sa pravidlo o bodoch oplatí naučiť osobitne. Fungujú presne dva princípy.
Prvý – definičný obor. Nulový bod menovateľa sa vynecháva vždy, pri akomkoľvek znamienku nerovnice. V tomto bode je zlomok jednoducho nedefinovaný: deliť nulou nemožno, preto číslo nemôže byť riešením, aj keď znamienko nie je ostré.
Druhý – ostré alebo neostré znamienko. Nulové body čitateľa menia zlomok na nulu. Pri neostrom znamienku (\(\le\) alebo \(\ge\)) nám rovnosť nule vyhovuje, takže bod sa vyplní a vstúpi do odpovede hranatou zátvorkou. Pri ostrom znamienku (\(<\) alebo \(>\)) nula nevyhovuje a bod sa vynechá.
Napríklad, pri nerovnici \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) sa bod \(x = 6\) vyplní (nulový bod čitateľa, neostré znamienko), zatiaľ čo bod \(x = -1\) sa vynechá (nulový bod menovateľa). Odpoveď: \(x \in (-1; 6]\).
| Čo je za bod | Ako ho označiť |
|---|---|
| Nulový bod menovateľa, Q(x) = 0 | vynechaný vždy, pri akomkoľvek znamienku – bod nie je v DO |
| Nulový bod čitateľa, znamienko ostré < alebo > | vynechaný zlomok je nula, ale vyžaduje sa iné znamienko |
| Nulový bod čitateľa, znamienko neostré ≤ alebo ≥ | plný rovnosť nule vyhovuje, bod vstupuje do odpovede |
Násobnosť koreňov: kde sa znamienko mení a kde nie
Znamienka na intervaloch sa nemusia nutne len striedať – to je najčastejšia mylná predstava v tejto téme. Striedanie funguje len vtedy, keď všetky zátvorky sú v prvej mocnine. Pravidlo je presnejšie formulované pomocou násobnosti koreňa – exponentu zodpovedajúcej zátvorky.
Pri prechode cez koreň nepárnej násobnosti (exponent 1, 3, 5) sa znamienko výrazu mení. Pri prechode cez koreň párnej násobnosti (exponent 2, 4) sa znamienko nemení: zátvorka v párnej mocnine je nezáporná a znamienko výrazu nekazí. Násobnosť sa počíta rovnako pre čitateľa aj pre menovateľa.
Vezmime \((x-9)^2(x+3) > 0\). Korene: \(x = 9\) s násobnosťou 2 a \(x = -3\) s násobnosťou 1. Napravo od deviatky je výraz kladný. Prechádzame cez 9 – násobnosť je párna, znamienko sa zachová, na intervale \((-3; 9)\) je tiež plus. Prechádzame cez \(-3\) – násobnosť je nepárna, znamienko sa zmení na mínus. Odpoveď pre ostrú nerovnicu: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), bod 9 je vynechaný, pretože tam je výraz rovný nule. No pri neostrej \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) je odpoveď iná: \(x \in [-3; +\infty)\) – deviatka sa vyplní a „spojí“ dva intervaly do jedného.
| Násobnosť koreňa | Znamienko pri prechode |
|---|---|
| Nepárna: (x − a), (x − a)3 | mení sa |
| Párna: (x − a)2, (x − a)4 | nemení sa |
Číselná os na príklade: určovanie znamienok
Zhrnieme si všetko na nerovnici \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nulové body čitateľa: \(x = -7\). Nulové body menovateľa: \(x = 2\) a \(x = 5\), ktoré zároveň určujú DO. Všetky tri zátvorky sú v prvej mocnine, preto sa znamienka striedajú. Skúšobný bod \(x = 10\) v najpravšom intervale dáva \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – začíname s plusom a ideme doľava, meníme znamienko pri každom bode.
Príklady riešenia racionálnych nerovníc
Príklad 1. Jednoduchá zlomková nerovnica
Vyriešte \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Krok 1. Vpravo je už nula, zlomok je už jeden – nie je čo prenášať ani redukovať.
Krok 2. Definičný obor. \(x + 5 \neq 0\), teda \(x \neq -5\).
Krok 3. Nulové body. Čitateľ je rovný nule pri \(x = 3\), menovateľ – pri \(x = -5\).
Krok 4. Body na osi. \(x = 3\) vyplníme (nulový bod čitateľa, neostré znamienko), \(x = -5\) vynecháme (nulový bod menovateľa).
Krok 5. Znamienka. Skúšobný bod \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – vpravo je plus. Obe zátvorky sú v prvej mocnine, teda znamienka sa striedajú: na \((-5; 3)\) je mínus, na \((-\infty; -5)\) je plus. Skontrolujeme: pri \(x = -6\) dostaneme \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – sedí.
Krok 6. Odpoveď. Potrebujeme znamienko „plus alebo nula“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Príklad 2. Vpravo nie je nula – prenášame
Vyriešte \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Krok 1. Prenesieme jednotku doľava. Násobiť číslom \(x - 4\) nemožno, znamienko tohto výrazu nie je známe:
Krok 2. Prevedieme na jeden zlomok.
Krok 3. Definičný obor. \(x \neq 4\).
Krok 4. Body. \(x = -5\) – nulový bod čitateľa, neostré znamienko, vyplníme. \(x = 4\) – nulový bod menovateľa, vynecháme.
Krok 5. Znamienka. Pri \(x = 5\) je zlomok \(\frac{10}{1} > 0\). Teda na \((4; +\infty)\) je plus, na \((-5; 4)\) je mínus, na \((-\infty; -5)\) je plus.
Krok 6. Odpoveď. \(x \in [-5; 4)\). Kontrola hraničných bodov: pri \(x = -5\) je zlomok rovný nule – vyhovuje pre \(\le\); pri \(x = 4\) zlomok neexistuje – nevyhovuje.
Príklad 3. Koreň párnej násobnosti a izolovaný bod
Vyriešte \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Krok 1. Definičný obor. \(x \neq 9\).
Krok 2. Nulové body a násobnosti. \(x = 2\) – násobnosť 2 (párna), \(x = -6\) – násobnosť 1, \(x = 9\) – násobnosť 1 v menovateli.
Krok 3. Body. \(x = 2\) a \(x = -6\) vyplníme (nulové body čitateľa pri neostrom znamienku), \(x = 9\) vynecháme.
Krok 4. Znamienka. Skúšobný bod \(x = 10\): čitateľ je kladný, menovateľ je rovný 1 – plus. Ideme doľava. Cez 9 (nepárna násobnosť) sa znamienko mení: na \((2; 9)\) je mínus. Cez 2 (násobnosť párna) sa znamienko nemení: na \((-6; 2)\) je tiež mínus. Cez \(-6\) (nepárna násobnosť) sa znamienko mení: na \((-\infty; -6)\) je plus.
Krok 5. Odpoveď. Berieme intervaly so znamienkom „plus“ a všetky body, kde je výraz rovný nule. Bod \(x = 2\) leží vnútri intervalu s mínusom, ale samotný výraz je tam rovný nule, takže vstupuje do odpovede samostatne:
Takýto „osamelý“ bod v odpovedi je spoľahlivým znakom koreňa párnej násobnosti pri neostrom znamienku.
Príklad 4. Krátenie zlomku: pasca s definičným oborom
Vyriešte \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Krok 1. Rozložíme na činitele. Čitateľ je úplný štvorec: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Pre menovateľa spočítame diskriminant: \(D = 81 + 40 = 121\), korene \(x_1 = \frac{1}{5}\) a \(x_2 = -2\), preto \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Krok 2. Definičný obor – pred akýmkoľvek krátením. \(5x - 1 \neq 0\) a \(x + 2 \neq 0\), teda \(x \neq \frac{1}{5}\) a \(x \neq -2\).
Krok 3. Krátime. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ale len pri \(x \neq \frac{1}{5}\) – krátenie nevracia vynechaný bod späť.
Krok 4. Riešime \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nulové body: \(\frac{1}{5}\) a \(-2\). Pri \(x = 1\) je zlomok \(\frac{4}{3} > 0\). Teda na \((\frac{1}{5}; +\infty)\) je plus, na \((-2; \frac{1}{5})\) je mínus, na \((-\infty; -2)\) je plus.
Krok 5. Vrátime definičný obor. Interval \((-2; \frac{1}{5}]\) by vyhovoval znamienku, ale bod \(\frac{1}{5}\) je vynechaný: v pôvodnej nerovnici sa menovateľ \(5x^2+9x-2\) pri \(x = \frac{1}{5}\) rovná nule, zlomok tam neexistuje.
Odpoveď: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – obe zátvorky sú okrúhle.
Príklad 5. Kvadratický trojčlen v čitateli
Vyriešte \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Krok 1. Rozložíme čitateľ. Podľa Vietových vzťahov je súčet koreňov 7, súčin 10, teda \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nerovnica nadobúda tvar \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Krok 2. Definičný obor. \(x \neq -4\).
Krok 3. Body. Všetky tri body sú vynechané: \(-4\) – nulový bod menovateľa, 2 a 5 – nulové body čitateľa pri ostrom znamienku.
Krok 4. Znamienka. Skúšobný bod \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Všetky zátvorky sú v prvej mocnine, preto sa znamienka striedajú: na \((5; +\infty)\) je plus, na \((2; 5)\) je mínus, na \((-4; 2)\) je plus, na \((-\infty; -4)\) je mínus.
Krok 5. Odpoveď. Potrebujeme ostrý mínus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrola dosadením: pri \(x = -5\) dostaneme \(\frac{70}{-1} < 0\), pri \(x = 3\) dostaneme \(\frac{-2}{7} < 0\) – oba intervaly vyhovujú.
Časté chyby pri riešení racionálnych nerovníc
-
Násobia obe strany menovateľom: z $\frac{3}{x-8} > 1$ urobia $3 > x - 8$ a napíšu $x < 11$.
Znamienko výrazu \(x - 8\) nie je vopred známe, a pri násobení záporným číslom sa nerovnosť obráti. Kontrola: \(x = 0\) dáva \(\frac{3}{-8} < 1\) – nula nie je riešením, hoci sa dostala do odpovede \(x < 11\). Správne: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), teda \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), z čoho vyplýva \(x \in (8; 11)\).
-
Vyplnia nulový bod menovateľa, pretože znamienko je neostré: pri $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ napíšu odpoveď s hranatou zátvorkou pri sedmičke.
Nulový bod menovateľa sa vynecháva vždy, pri akomkoľvek znamienku: v tomto bode zlomok jednoducho neexistuje. Správna odpoveď: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – pri jednotke je zátvorka hranatá, pri sedmičke okrúhla.
-
Krátia zlomok a stratia definičný obor: z $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ dostanú $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ a do odpovede zahrnú bod $x = -3$.
Definičný obor sa zapisuje pred krátením, podľa pôvodného menovateľa: \(x \neq -3\) a \(x \neq 5\). Skrátený zlomok \(\frac{x+3}{x-5}\) je nekladný na \([-3; 5)\) – pri \(x = 0\) je rovný \(-0{,}6\), čo sa pre znamienko \(\le\) vyžaduje. Ale bod \(-3\) je vynechaný podľa DO, preto odpoveď je \((-3; 5)\), nie \([-3; 5)\).
-
Myslia si, že znamienka na intervaloch sa vždy striedajú, a pre $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ dajú mínus napravo od jednotky.
Striedanie je správne len pri zátvorkách v prvej mocnine. Koreň \(x = 1\) má násobnosť 2, preto sa znamienko cez neho nemení. Výraz je kladný na celom \((-\infty; -4)\) okrem samotnej jednotky, kde je rovný nule. Odpoveď: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Menia znamienko nerovnosti pri prenose sčítanca: z $\frac{x}{x-2} \le 3$ urobia $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Prenos sčítanca z jednej strany na druhú nemení znamienko nerovnosti – mení sa len znamienko samotného sčítanca. Znamienko sa obráti len pri násobení alebo delení oboch strán záporným číslom. Správne: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), ďalej \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), teda \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Oznáčia na osi len nulové body čitateľa, a menovateľa kontrolujú „neskôr“: pre $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ dajú jeden bod $-11$.
Na osi sa označujú všetky nulové body naraz – aj čitateľa, aj menovateľa, inak intervaly nebudú správne. Tu \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), preto sú body tri: \(-11\), \(-4\) a \(4\), nie jeden. Všetky sú vynechané (ostré znamienko), odpoveď: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Otázky a odpovede
Čo je racionálna nerovnica?
Je to nerovnica, ktorej obe strany sú racionálne výrazy (polynómy a zlomky z polynómov). Po prenesení všetkého na ľavú stranu sa zredukuje na tvar \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) sú polynómy a namiesto \(>\) môže byť \(<\), \(\le\) alebo \(\ge\).
Ako riešiť racionálne nerovnice?
Metódou intervalov v šiestich krokoch: preniesť všetko doľava, aby vpravo zostala nula; zredukovať na jeden zlomok a rozložiť čitateľ a menovateľ na činitele; zapísať definičný obor (\(Q(x) \neq 0\)); označiť na číselnej osi nulové body čitateľa a menovateľa; určiť znamienka na intervaloch pomocou skúšobného bodu a násobnosti koreňov; zapísať do odpovede intervaly so správnym znamienkom.
Čím sa zlomkovo-racionálna nerovnica líši od celočíselnej racionálnej?
Pri celočíselnej racionálnej nerovnici sa premenná nachádza len v čitateli, napríklad \((x-1)(x+4) > 0\), a definičný obor sú všetky reálne čísla. Pri zlomkovo-racionálnej nerovnici je premenná v menovateli, napríklad \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), a objavuje sa obmedzenie \(x \neq -4\). Algoritmus je pritom rovnaký – menia sa len vynechané body.
Ako riešiť nerovnice so zlomkom?
Rovnako ako akúkoľvek racionálnu nerovnicu: najprv preniesť všetko na ľavú stranu a zredukovať na jeden zlomok, nie zbavovať sa menovateľa. Napríklad \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) sa zmení na \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), teda \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Čitateľ je konštantný a záporný, preto je zlomok nezáporný len pri zápornom menovateli: \(x + 2 < 0\). Odpoveď: \(x \in (-\infty; -2)\).
Prečo nemožno násobiť obe strany nerovnice menovateľom?
Pretože znamienko menovateľa závisí od \(x\): pri násobení kladným výrazom sa znamienko nerovnosti zachová, a pri násobení záporným – obráti sa. Vopred nie je známe, ktorý prípad nastáva, preto sa časť riešení stratí a časť sa pridá nesprávne. Prenášať sčítance možno vždy – prenos nemení znamienko nerovnosti.
Ako nájsť definičný obor v nerovnici?
Pre racionálnu nerovnicu je definičný obor tvorený všetkými hodnotami \(x\), pri ktorých sa menovateľ nerovná nule. Položte menovateľa rovného nule, vyriešte rovnicu a vylúčte nájdené čísla. Definičný obor zapisujte podľa pôvodného menovateľa, pred krátením zlomku – inak sa vynechané body stratia.
Ktoré body sú vynechané a ktoré sú plné?
Nulové body menovateľa sa vynechávajú vždy, pri akomkoľvek znamienku nerovnice. Nulové body čitateľa sa vypĺňajú pri neostrom znamienku (\(\le\) alebo \(\ge\)) a vynechávajú sa pri ostrom (\(<\) alebo \(>\)). V zápise odpovede vynechanému bodu zodpovedá okrúhla zátvorka, plnému bodu – hranatá zátvorka.
Čo je násobnosť koreňa a na čo slúži v metóde intervalov?
Násobnosť je exponent, v ktorom zátvorka vstupuje do rozkladu. Pri prechode cez koreň nepárnej násobnosti sa znamienko výrazu mení, pri prechode cez koreň párnej násobnosti – zachováva. Práve preto sa znamienka nestriedajú vždy jednoducho: pri \((x-9)^2(x+3)\) v bode 9 sa znamienko nezmení.
V ktorom ročníku sa preberajú racionálne nerovnice?
V 9. ročníku na hodinách algebry, po kvadratických nerovniciach a rozklade polynómov na činitele. Metóda intervalov sa ďalej používa pre exponenciálne, logaritmické a iracionálne nerovnice, ako aj v úlohách OGE a profilovej skúšky ЕГЭ.
