Таблица умножения: таблица Пифагора и как быстро её выучить

Умножение — это короткая запись сложения одинаковых слагаемых. Вместо того чтобы писать \(4 + 4 + 4\), пишут \(4 \times 3\): «по четыре взять три раза».

Числа, которые умножают, называются множителями, а результат — произведением. В записи \(4 \times 3 = 12\) множители — 4 и 3, произведение — 12.

Удобнее всего представить умножение как прямоугольник из точек или клеток: сколько рядов и по сколько в каждом. Такой прямоугольник сразу показывает и сложение, и умножение, и то, почему от перестановки множителей ответ не меняется — достаточно повернуть картинку.

Полная таблица умножения помещается в один квадрат 10 × 10 — его называют таблицей Пифагора. Как ею пользоваться: находим первый множитель в левом столбце, второй — в верхней строке, ответ стоит на пересечении. Например, строка 6 и столбец 7 встречаются в клетке 42.

Присмотритесь к таблице, и в ней найдутся закономерности. По диагонали стоят квадраты — числа, умноженные сами на себя. Таблица симметрична: клетка над диагональю равна клетке под ней. А каждая строка — это счёт через одинаковые шаги: строка 3 идёт 3, 6, 9, 12…

Таблицу удобно распечатать и повесить над столом: квадраты и повторяющиеся клетки выделены цветом.

В школе таблицу обычно учат столбиками: сначала всё умножение на 2, потом на 3 и так далее. Это те же числа, что и в таблице Пифагора, только каждая строка выписана примерами. Столбики на 1 и на 10 здесь не показаны: при умножении на 1 число не меняется, а при умножении на 10 к нему приписывается ноль.

Столбики хороши, чтобы выучить таблицу по частям. Но если отвечать только по порядку, легко привыкнуть «досчитывать» от начала. Поэтому, когда столбик выучен, его стоит проверять вразброс.

Таблица выглядит как сто примеров, но учить по-настоящему нужно гораздо меньше.

1. Переместительный закон. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Если выучил одно, второе уже знаешь. Из 100 клеток остаётся 55 разных — почти половина таблицы бесплатно.
2. Умножение на 0 и на 1. Любое число, умноженное на 0, даёт 0. Умноженное на 1 — остаётся собой.
3. Умножение на 10. К числу приписываем ноль: \(10 \times 4 = 40\).
4. Умножение на 2 — это удвоение, число складывают с самим собой.
5. Умножение на 5 — половина от умножения на 10. Все ответы оканчиваются на 0 или 5.

После этих правил в столбиках от 3 до 9 остаётся совсем немного примеров. Каждый из них можно вывести из того, что уже знаешь, — приёмы ниже.

Столбик на 9 самый «фокусный». В нём два надёжных правила.

Правило суммы цифр. В ответах от \(9 \times 2\) до \(9 \times 10\) сумма цифр всегда равна 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. А цифра десятков на единицу меньше второго множителя. Значит, \(9 \times 4\): десятков 3, а единиц столько, чтобы вместе было 9, то есть 6. Ответ — 36.

Правило пальцев. Положите руки перед собой, пальцы пронумеруйте слева направо от 1 до 10. Чтобы умножить 9 на число, загните палец с этим номером. Пальцы слева от загнутого — десятки, справа — единицы. Правило работает для множителей от 1 до 10.

Есть и третий способ, без пальцев: умножить на 10 и отнять само число.

Эти столбики считаются самыми трудными, но после всех приёмов в них остаётся лишь несколько новых примеров: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 и 8 × 8.

Квадраты запоминаются легче остальных, потому что их мало и они стоят на диагонали таблицы: 36, 49, 64. Выучив квадраты, можно получить соседние ответы за один шаг: \(7 \times 8\) — это \(7 \times 7\) и ещё одна семёрка: \(49 + 7 = 56\). Так же \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).

Второй путь — через пять: \(6 \times 8\) — это \(5 \times 8\) и ещё одна восьмёрка: \(40 + 8 = 48\).

Для 7 × 8 есть и цифровая подсказка: \(56 = 7 \times 8\) — цифры 5, 6, 7, 8 идут подряд.

Деление — действие, обратное умножению. Поэтому отдельную «таблицу деления» учить не нужно: она уже спрятана в таблице умножения.

Из трёх чисел одного примера получается четыре верных равенства: два на умножение и два на деление. Если знаешь, что \(7 \times 8 = 56\), то знаешь и \(56 \div 8 = 7\), и \(56 \div 7 = 8\).

Как пользоваться таблицей Пифагора для деления: найдите в строке делителя делимое — номер столбца и будет ответом.

Порядок изучения важен: сначала самые простые столбики и правила, которые дают много ответов сразу, а трудные примеры — в конце, когда их осталось мало. Лучше заниматься понемногу каждый день, 10–15 минут, чем один раз долго.

Каждое занятие начинайте с короткого повтора вчерашнего. Отвечайте вслух и вразброс, а не по порядку. Ошибки выписывайте отдельно: это ваш личный список на завтра.

Проверять себя удобно на вкладке «Тренажёр» этой страницы: там можно выбрать отдельные столбики — например, только 6, 7 и 8 — и тренировать именно их.