Квадратный корень из числа \(a\) — это число, квадрат которого равен \(a\), а арифметическим квадратным корнем называют только его неотрицательное значение: \(\sqrt{25} = 5\). Извлекать корень можно лишь из неотрицательных чисел, зато свойства корня превращают громоздкие выражения в короткие. На этой странице — определение и область определения, все свойства квадратного корня с формулами, таблица квадратных корней от 1 до 20, приёмы извлечения корня и вынесения множителя, разобранные примеры, частые ошибки и интерактивный тренажёр.
Что такое квадратный корень из числа
Квадратный корень из числа \(a\) — это такое число, квадрат которого равен \(a\). Извлечение корня и возведение в квадрат — взаимно обратные действия: из \(7^2 = 49\) сразу следует, что квадратный корень из 49 равен 7.
Но у положительного числа квадратных корней ровно два, и отличаются они только знаком: \(5^2 = 25\) и \((-5)^2 = 25\), то есть квадратными корнями из 25 являются и \(5\), и \(-5\). Чтобы запись \(\sqrt{25}\) обозначала одно-единственное число, договорились: знаком \(\sqrt{\phantom{a}}\) записывают только неотрицательный корень. Его и называют арифметическим.
У записи есть свои названия: знак \(\sqrt{\phantom{a}}\) — это радикал, а число или выражение под ним — подкоренное выражение.
Арифметический квадратный корень: определение и область определения
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Обозначают его \(\sqrt{a}\) и читают «корень из а».
В определении спрятаны два условия, и оба одинаково важны:
- подкоренное выражение неотрицательно: \(a \ge 0\);
- значение корня неотрицательно: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Отсюда сразу получаем: \(\sqrt{25} = 5\), а не \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); а запись \(\sqrt{-9}\) в действительных числах смысла не имеет — нет числа, квадрат которого отрицателен.
Первое условие задаёт область определения выражения с корнем. Например, \(\sqrt{x-7}\) имеет смысл при \(x - 7 \ge 0\), то есть при \(x \ge 7\): любое меньшее значение \(x\) загоняет под корень отрицательное число.
Из определения следует и равенство \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\): возведение корня в квадрат возвращает подкоренное число. Оно работает даже тогда, когда сам корень мы точно посчитать не можем: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Таблица квадратных корней: квадраты чисел от 1 до 20
Корень извлекается нацело ровно тогда, когда подкоренное число — точный квадрат. Поэтому таблица квадратов работает и как таблица квадратных корней: её читают в обе стороны — \(14^2 = 196\), значит \(\sqrt{196} = 14\).
Таблица выручает не только с целыми числами:
- десятичные дроби: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), потому что \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- обыкновенные дроби: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — корень извлекают отдельно из числителя и отдельно из знаменателя;
- круглые числа: \(\sqrt{2500} = 50\), ведь \(2500 = 25 \cdot 100\), а корень из каждого множителя известен.
Свойства квадратного корня
Свойства квадратного корня позволяют считать выражения, не извлекая каждый корень по отдельности, и упрощать ответ.
Корень из произведения равен произведению корней: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\). Например, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — тот же ответ, что и \(\sqrt{144}\).
Корень из частного равен частному корней: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \ge 0\) и \(b > 0\). Например, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Условие \(b > 0\) строгое: на ноль делить нельзя.
Корень из квадрата равен модулю: \(\sqrt{a^2} = |a|\), и это верно для любого числа \(a\). Здесь главная тонкость всей темы. Если \(a \ge 0\), ничего не меняется: \(\sqrt{7^2} = 7\). Но при отрицательном \(a\) знак «выпрямляется»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), а не \(-6\) — ведь арифметический корень не бывает отрицательным.
Квадрат корня возвращает подкоренное число: \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\).
А вот для суммы и разности похожих свойств не существует: корень из суммы не равен сумме корней. Это самая частая ошибка темы, разбор — ниже.
| Свойство и условие | Пример |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bпри a ≥ 0 и b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bпри a ≥ 0 и b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|при любом a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aпри a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bпри b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Как извлечь квадратный корень из числа
Калькулятор под рукой не всегда, а школьные задания почти всегда подобраны так, что корень извлекается. Порядок действий такой.
- Проверить по таблице квадратов. Если число стоит в таблице, ответ готов: \(\sqrt{289} = 17\).
- Отделить круглый множитель. У чисел с нулями удобно выделить \(100\), \(10\,000\) и так далее: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Разложить на простые множители. Это универсальный приём: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), показатели степеней делим пополам и получаем \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Десятичную дробь превратить в обыкновенную. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Заодно это спасает от потери разряда.
- Если точного квадрата нет — корень иррационален. Тогда его либо оставляют в ответе символом (так и пишут: \(\sqrt{30}\)), либо оценивают между соседними квадратами.
Проверка занимает секунду: полученное число возводим в квадрат и смотрим, вернулось ли подкоренное. \(24^2 = 576\) — верно.
Вынесение множителя из-под знака корня
Корень редко оставляют «сырым» — из-под него выносят всё, что извлекается. Работает свойство \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) при \(b \ge 0\): ищем наибольший квадратный делитель подкоренного числа.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Обратное действие — внесение множителя под корень: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) при \(a \ge 0\). Например, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
С отрицательным множителем нужна осторожность: минус под корень не заходит и остаётся снаружи. Правильная запись — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), а не \(\sqrt{12}\).
Зачем это нужно: после вынесения множителя корни с одинаковым подкоренным выражением становятся подобными слагаемыми, и их можно складывать. А внесение множителя под корень — самый быстрый способ сравнить два выражения с корнями.
Чему равен квадратный корень, который не извлекается
Если подкоренное число не является точным квадратом, корень — иррациональное число: его десятичная запись бесконечна и непериодична. Например, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), и точное значение записывают только символом \(\sqrt{2}\). Округлённый ответ пишут лишь тогда, когда об этом просят в задании.
Оценить такой корень можно без калькулятора: найти два соседних точных квадрата, между которыми лежит подкоренное число. Работает правило сравнения: для \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\) из \(a < b\) следует \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — большему подкоренному числу отвечает больший корень.
Примеры вычислений с квадратными корнями
Пример 1. Значение выражения с корнями
Вычислить \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Шаг 1. \(\sqrt{121} = 11\), потому что \(11^2 = 121\).
Шаг 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), потому что \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Шаг 3. Корень из дроби извлекаем по числителю и знаменателю: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Шаг 4. Складываем: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Ответ: 11.
Пример 2. Корень из произведения
Вычислить \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Шаг 1. По отдельности эти корни не извлекаются, поэтому объединяем их в один: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Шаг 2. Считаем произведение под корнем: \(8 \cdot 18 = 144\).
Шаг 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Другой путь — вынести множители заранее: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), тогда \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Ответы совпали.
Ответ: 12.
Пример 3. Извлечение корня разложением на множители
Вычислить \(\sqrt{576}\) и \(\sqrt{6400}\).
Шаг 1. Числа 576 нет в таблице квадратов, поэтому раскладываем его на простые множители: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Шаг 2. Показатели степеней делим пополам: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Шаг 3. Проверка. \(24^2 = 576\) — верно.
Шаг 4. У числа 6400 удобнее отделить круглый множитель: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Проверка: \(80^2 = 6400\).
Ответ: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Пример 4. Вынесение множителя и приведение подобных
Упростить \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Шаг 1. Выносим множители из-под каждого корня: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), значит \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Шаг 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Шаг 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Шаг 4. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), а слагаемое с \(\sqrt{3}\) остаётся отдельно.
Ответ: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Пример 5. Корень из квадрата с переменной
Упростить \(\sqrt{(x-4)^2}\) при \(x < 4\).
Шаг 1. По свойству корня из квадрата \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — сразу пишем модуль, а не \(x - 4\).
Шаг 2. Раскрываем модуль по условию. Если \(x < 4\), то разность \(x - 4\) отрицательна, а модуль отрицательного числа — противоположное число: \(|x-4| = 4 - x\).
Шаг 3. Проверка. Возьмём \(x = 1\): слева \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), справа \(4 - 1 = 3\) — сходится.
Ответ: \(4 - x\). Для сравнения, при \(x \ge 4\) ответом было бы \(x - 4\).
Пример 6. Сравнение выражений с корнями
Сравнить \(3\sqrt{5}\) и \(5\sqrt{2}\).
Шаг 1. Оба числа положительны, поэтому вносим множитель под корень: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Шаг 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Шаг 3. Сравниваем подкоренные числа: \(45 < 50\), а большему подкоренному числу отвечает больший корень.
Ответ: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Частые ошибки при работе с квадратным корнем
-
Пишут $\sqrt{a^2} = a$, забывая про модуль.
Верное равенство — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Для отрицательного числа это принципиально: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), а не \(-13\). Арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому знак под корнем «выпрямляется».
-
Считают, что корень из суммы равен сумме корней: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Такого свойства нет. Сначала выполняем действие под корнем: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), а не 7. Свойства есть только у произведения и частного: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) и \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Отвечают, что $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — арифметический корень всегда один и он неотрицателен. Два значения появляются в другом задании: у уравнения \(x^2 = 49\) корни \(x = 7\) и \(x = -7\). Путать запись корня с решением уравнения нельзя.
-
Пишут $\sqrt{-16} = -4$, рассуждая «минус на минус».
Под корнем не может стоять отрицательное число: \((-4)^2 = 16\), а не \(-16\), так что \(\sqrt{-16}\) в действительных числах не существует. А вот выражение \(-\sqrt{16} = -4\) вполне корректно — минус стоит перед корнем, а не под ним.
-
Вносят под корень отрицательный множитель: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Правило \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) работает только при \(a \ge 0\). Минус остаётся снаружи: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Проверка знаком: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), а \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — числа противоположные.
-
Теряют разряд у десятичной дроби: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Проверяйте обратным возведением в квадрат: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), не сходится. Правильно \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), ведь \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Надёжный способ — перейти к обыкновенной дроби: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Уверены, что корень всегда меньше самого числа.
Это верно только для чисел больше единицы. На отрезке от 0 до 1 всё наоборот: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), и \(0{,}5\) больше, чем \(0{,}25\). А для 0 и 1 корень равен самому числу.
Вопросы и ответы
Что такое арифметический квадратный корень простыми словами?
Это неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт подкоренное число. Записывают \(\sqrt{a}\), причём подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(a \ge 0\). Например, \(\sqrt{64} = 8\), потому что \(8 \ge 0\) и \(8^2 = 64\).
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратных корней у положительного числа два — противоположные по знаку. Арифметическим называют только неотрицательный из них, и именно его обозначает знак \(\sqrt{\phantom{a}}\). Поэтому \(\sqrt{25} = 5\), хотя уравнение \(x^2 = 25\) имеет два корня: 5 и \(-5\).
Как извлечь квадратный корень из числа без калькулятора?
Сначала проверьте число по таблице квадратов. Если его там нет — разложите на множители и выделите точные квадраты: \(784 = 16 \cdot 49\), поэтому \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Ответ всегда проверяйте обратным действием: \(28^2 = 784\).
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах — нет: квадрат любого числа неотрицателен, поэтому выражение \(\sqrt{-9}\) смысла не имеет. Именно из этого условия ищут область определения: например, \(\sqrt{x-7}\) существует только при \(x \ge 7\).
Чему равен корень из квадрата числа?
Модулю этого числа: \(\sqrt{a^2} = |a|\). При неотрицательном \(a\) получится само число, при отрицательном — противоположное ему: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Как вынести множитель из-под знака корня?
Найдите наибольший квадратный делитель подкоренного числа и примените свойство \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Например, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Обратное действие — внесение множителя под корень: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Чему равен квадратный корень из 2?
Число \(\sqrt{2}\) иррационально: его десятичная запись бесконечна и непериодична, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Точного значения в виде дроби не существует, поэтому в ответах его так и оставляют символом \(\sqrt{2}\), а округляют только если этого требует условие.
Как сравнить два числа с корнями, не вычисляя их?
Внесите множители под корень и сравните подкоренные числа: большему подкоренному числу отвечает больший корень. Например, \(\sqrt{17}\) и 4: так как \(4 = \sqrt{16}\) и \(17 > 16\), то \(\sqrt{17} > 4\).
В каком классе изучают квадратные корни?
В 8 классе на уроках алгебры: сначала определение арифметического квадратного корня и его свойства, затем преобразования выражений с корнями и решение уравнений вида \(x^2 = a\). Дальше корни встречаются в формуле дискриминанта и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.
