Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами: для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Это позволяет находить корни устно — подбором, без дискриминанта. На этой странице — точные формулы для приведённого уравнения и для общего вида, обратная теорема Виета, алгоритм подбора корней, разобранные примеры и интерактивный тренажёр.
Что такое теорема Виета
Теорема Виета — это правило, которое связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Формулируется она так: если \(x_1\) и \(x_2\) — корни приведённого квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\), то
Словами: сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Знак минус в сумме — самое важное место всей темы: пишут именно \(-p\), а не \(p\).
Для уравнения общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\) (где \(a \neq 0\)) формулы получаются делением на \(a\):
Теорема работает только тогда, когда действительные корни есть, то есть при \(D \ge 0\). Если дискриминант отрицательный, подбирать нечего: действительных чисел с такой суммой и таким произведением не существует.
Приведённое уравнение и общий вид: где нужно делить на a
Приведённым называют квадратное уравнение, у которого коэффициент при \(x^2\) равен единице: \(x^2 + px + q = 0\). Именно для него теорема Виета звучит короче всего, поэтому подбор корней всегда начинают с приведения.
Если \(a \neq 1\), уравнение сначала делят на \(a\) почленно. Например, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) после деления на \(3\) превращается в \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), то есть \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Отсюда \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) и \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ту же мысль можно записать сразу для общего вида, не приводя уравнение: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Ошибка, которую делают чаще всего, — применить «короткие» формулы \(-p\) и \(q\) к неприведённому уравнению и получить сумму \(10\) вместо \(\frac{10}{3}\).
Обратная теорема Виета
У теоремы Виета есть обратная, и именно она разрешает решать уравнения подбором. Звучит она так: если числа \(m\) и \(n\) таковы, что
то \(m\) и \(n\) — корни уравнения \(x^2 + px + q = 0\).
Разница принципиальная. Прямая теорема идёт от корней к коэффициентам: корни уже известны, мы получаем связи между ними. Обратная идёт от коэффициентов к корням: мы угадали пару чисел с нужной суммой и нужным произведением — и имеем полное право назвать их корнями, ничего больше доказывать не нужно.
Отсюда же следует полезное правило: если \(x_1\) и \(x_2\) — корни, то многочлен раскладывается на множители \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Например, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Подбор корней по теореме Виета: алгоритм
Подбор корней — главное практическое применение теоремы. Работает он быстрее дискриминанта, когда корни целые, и занимает пять шагов.
Знаки корней по коэффициентам p и q
Ещё до подбора можно понять, какие знаки будут у корней, — достаточно посмотреть на знаки \(p\) и \(q\). Это сильно сокращает перебор: сразу видно, искать ли пару из двух положительных чисел, двух отрицательных или чисел разных знаков.
| p и q | Корни | Пример |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | оба > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | оба < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | разных знаков | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 и −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Теорема Виета или дискриминант: что выбрать
Формула корней через дискриминант \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) работает всегда, но требует вычислений. Теорема Виета работает мгновенно, но только если корни угадываются — обычно это небольшие целые числа.
Практическое правило такое:
- уравнение приведённое, а \(q\) раскладывается на пару небольших множителей → пробуй подбор по Виета, ответ получается устно;
- коэффициенты большие или дробные, корни не угадываются за 10–15 секунд → считай дискриминант;
- нужно только число корней или знаки корней, а сами корни не нужны → хватит \(D\) и таблицы знаков выше.
Полезно и сочетание: посчитал дискриминант и нашёл корни — проверь ответ по Виета. Сумма должна дать \(-p\), произведение \(q\). Такая проверка занимает пару секунд и ловит почти любую арифметическую ошибку.
Примеры решения по теореме Виета
Пример 1. Подбор корней: оба корня положительные
Решить \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Шаг 1. Уравнение приведённое: \(p = -9\), \(q = 20\).
Шаг 2. Проверяем дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — два корня есть.
Шаг 3. Записываем связи: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Шаг 4. Перебираем разложения числа 20: \(1\cdot 20\) (сумма 21), \(2\cdot 10\) (сумма 12), \(4\cdot 5\) (сумма 9) — подходит последняя пара. Оба множителя положительные, потому что \(q > 0\), а \(p < 0\).
Шаг 5. Проверка подстановкой. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Пример 2. Корни разных знаков
Решить \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Шаг 1. Уравнение приведённое: \(p = 3\), \(q = -28\).
Шаг 2. \(q < 0\), значит корни разных знаков и дискриминант заведомо положительный: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Шаг 3. Связи: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Шаг 4. Разложения 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Нужна разность 3 — подходит пара 4 и 7. Так как сумма отрицательная, больший по модулю корень берём со знаком минус: \(4\) и \(-7\).
Шаг 5. Проверка. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Пример 3. Уравнение общего вида (a ≠ 1)
Решить \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Шаг 1. Коэффициент \(a = 3\), поэтому «короткие» формулы \(-p\) и \(q\) применять нельзя. Используем общий вид: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Шаг 2. Произведение равно 1 — значит корни взаимно обратны: если один равен \(t\), второй равен \(\tfrac{1}{t}\). Сумма \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) подсказывает \(t = 3\), ведь \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Шаг 3. Проверка подстановкой. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Пример 4. Составить уравнение по его корням
Задание. Составить приведённое квадратное уравнение, корни которого равны \(-4\) и \(6\).
Шаг 1. Считаем сумму и произведение: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Шаг 2. По обратной теореме Виета коэффициенты равны \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) и \(q = x_1 x_2 = -24\). Здесь и прячется главная ловушка: \(p\) — это сумма с противоположным знаком.
Шаг 3. Записываем уравнение: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Шаг 4. Проверка подстановкой. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Ответ: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Тот же результат даёт разложение \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Пример 5. Проверка чужого ответа по теореме Виета
Задание. Ученик решил уравнение \(x^2 + 5x + 6 = 0\) и записал ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Проверить, не ошибся ли он.
Шаг 1. По Виета должно быть \(x_1 + x_2 = -p = -5\) и \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Шаг 2. У предложенного ответа произведение сходится (\(2\cdot 3 = 6\)), а сумма — нет: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Значит, ответ неверный: потерян знак.
Шаг 3. Ищем правильную пару: нужны числа с произведением \(6\) и суммой \(-5\) — это \(-2\) и \(-3\) (оба отрицательные, потому что \(q > 0\) и \(p > 0\)).
Шаг 4. Проверка подстановкой. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Ответ: правильные корни — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Частые ошибки при работе с теоремой Виета
-
Теряют минус в сумме: пишут $x_1 + x_2 = p$ вместо $x_1 + x_2 = -p$.
Минус стоит только у суммы, произведение берётся с тем же знаком: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Проверь на простом уравнении \(x^2 - 5x + 6 = 0\): здесь \(p = -5\), сумма корней равна \(5\), и корни действительно 2 и 3.
-
Применяют формулы $-p$ и $q$ к неприведённому уравнению: для $2x^2 - 9x + 4 = 0$ говорят «сумма 9, произведение 4».
Пока \(a \neq 1\), работают формулы общего вида: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Корни здесь 4 и \(\tfrac{1}{2}\), а не 4 и 1. Либо сначала разделите всё уравнение на \(a\).
-
Подбирают корни, не проверив дискриминант: у $x^2 + x + 1 = 0$ пытаются найти пару чисел с суммой $-1$ и произведением $1$.
Сначала убедитесь, что корни есть: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), действительных корней нет, подбор невозможен. Теорема Виета работает только при \(D \ge 0\).
-
Подбирают пару только по произведению, не проверяя сумму: для $x^2 - 8x + 12 = 0$ берут 3 и 4, потому что их произведение равно 12.
Проверять надо обе связи сразу. Для \(x^2 - 8x + 12 = 0\) произведение 12 дают пары (1; 12), (2; 6), (3; 4), а сумму 8 — только пара 2 и 6. Проверка: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) и \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Составляя уравнение по корням, берут $p$ равным сумме: для корней 2 и 5 пишут $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Коэффициент \(p\) равен сумме с противоположным знаком: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), то есть \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Подстановка подтверждает: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Считают, что теорема Виета верна только для целых корней, и не применяют её для проверки ответа.
Связи \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\) выполняются при любых действительных корнях — целых, дробных и иррациональных. Просто устный подбор удобен для целых, а для остальных теорема остаётся быстрым способом проверить найденный дискриминантом ответ.
Вопросы и ответы
Как звучит теорема Виета простыми словами?
Если у приведённого квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) есть корни, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену: \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\).
Чему равны сумма и произведение корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?
Для уравнения общего вида сумма корней равна \(-\dfrac{b}{a}\), а произведение \(\dfrac{c}{a}\). Эти формулы получаются из приведённого случая делением всего уравнения на \(a\).
Чем обратная теорема Виета отличается от прямой?
Прямая теорема идёт от корней к коэффициентам: зная корни, мы получаем сумму \(-p\) и произведение \(q\). Обратная идёт наоборот: если пара чисел даёт нужную сумму и нужное произведение, то эти числа и есть корни уравнения. Именно обратная теорема позволяет решать уравнения подбором.
Как подобрать корни по теореме Виета?
Приведите уравнение к виду \(x^2 + px + q = 0\), убедитесь, что \(D \ge 0\), выпишите \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\), переберите разложения числа \(q\) на пары множителей и выберите ту пару, у которой сумма равна \(-p\). Например, для \(x^2 + 6x + 8 = 0\) нужны числа с произведением 8 и суммой \(-6\) — это \(-2\) и \(-4\).
Работает ли теорема Виета, если коэффициент при $x^2$ не равен единице?
Да, но в форме общего вида: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Короткие формулы \(-p\) и \(q\) верны только для приведённого уравнения, поэтому при \(a \neq 1\) уравнение сначала делят на \(a\).
Что делать, если корни по теореме Виета не подбираются?
Значит, корни не целые или их вовсе нет. Посчитайте дискриминант: при \(D < 0\) действительных корней нет, а при \(D \ge 0\) найдите корни по формуле \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) и уже потом проверьте ответ по теореме Виета.
Как определить знаки корней, не решая уравнение?
По знакам \(p\) и \(q\) при \(D \ge 0\): если \(q > 0\) и \(p < 0\) — оба корня положительные; если \(q > 0\) и \(p > 0\) — оба отрицательные; если \(q < 0\) — корни разных знаков; если \(q = 0\) — один из корней равен нулю.
В каком классе проходят теорему Виета?
В 8 классе на уроках алгебры, сразу после квадратных уравнений и дискриминанта. Дальше её используют при разложении квадратного трёхчлена на множители \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), при исследовании корней с параметром и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.
