Порядок действий — это набор правил, определяющих, какую часть математического выражения нужно вычислять первой. Самый популярный способ запомнить его — аббревиатура PEMDAS: Parentheses (скобки), Exponents (степени), Multiplication and Division (умножение и деление), Addition and Subtraction (сложение и вычитание). Следуя этому порядку, для каждого выражения можно получить только один верный ответ. На этой странице вы найдете пошаговое объяснение правила PEMDAS, примеры со скобками и степенями, разбор частых ошибок и интерактивный тест для закрепления знаний.
Что означает PEMDAS: порядок действий
PEMDAS — это мнемоническое правило для запоминания порядка выполнения операций. Многие ученики запоминают его с помощью фразы "Please Excuse My Dear Aunt Sally" (Пожалуйста, извините мою дорогую тетушку Салли). Двигайтесь по лестнице сверху вниз:
- P — Parentheses (Скобки). Сначала выполняйте всё внутри группирующих символов: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Степени). Затем возведение в степень и извлечение корня, например 3² или √9.
- M и D — Multiplication and Division (Умножение и деление). Они имеют одинаковый приоритет. Выполняйте их вместе, двигаясь слева направо.
- A и S — Addition and Subtraction (Сложение и вычитание). Они также имеют одинаковый приоритет. Выполняйте их в последнюю очередь, также слева направо.
Самая важная идея, которую часто упускают: PEMDAS — это не шесть отдельных шагов. Умножение не всегда выполняется перед делением, а сложение не всегда перед вычитанием. Каждая из этих пар находится на одном уровне, и внутри уровня вы просто движетесь слева направо.
Правило слева направо (M/D и A/S равнозначны)
Поскольку умножение и деление находятся на одном уровне, вы выполняете их в том порядке, в котором они встречаются, читая слева направо — а не «сначала всё умножение, потом всё деление». То же самое верно для сложения и вычитания.
Классическая ловушка — 20 ÷ 4 × 5. Если вы сначала выполните умножение (4 × 5 = 20), вы получите 20 ÷ 20 = 1, что неверно. Поскольку деление стоит левее, вы выполняете его первым: 20 ÷ 4 = 5, затем 5 × 5 = 25. Та же логика применяется к 10 − 6 + 2: двигаясь слева направо, получаем 4 + 2 = 6, а не 10 − 8 = 2.
PEMDAS против BODMAS: одно правило, разные названия
В Великобритании, Австралии и многих других странах это же правило преподается как BODMAS (иногда BIDMAS или BEDMAS). Буквы выглядят иначе, но порядок идентичен — меняется только терминология.
- B — Brackets (Скобки) — то же самое, что P — Parentheses.
- O — Orders (Порядки) (или I — Indices (Индексы), E — Exponents (Степени)) означает степени и корни.
- DM и MD — это та же пара с равным приоритетом, выполняемая слева направо.
- AS — это сложение и вычитание, выполняемые слева направо.
Таким образом, PEMDAS и BODMAS всегда дают одинаковый ответ. Сравнение ниже сопоставляет их буква за буквой.
| Шаг | PEMDAS | BODMAS | Что делать |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Сначала внутри скобок |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Степени и корни |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Равный приоритет, слева → направо |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Равный приоритет, слева → направо |
Примеры порядка действий (пошагово)
Пример 1. Умножение перед сложением
Выражение: 3 + 4 × 2
Шаг 1 — Скобки / Степени: здесь их нет, переходим дальше.
Шаг 2 — Умножение / Деление: 4 × 2 = 8. Выражение теперь выглядит как 3 + 8.
Шаг 3 — Сложение / Вычитание: 3 + 8 = 11.
Частая ошибка — ответ 14, который получается, если сначала сложить 3 + 4. Умножение должно выполняться перед сложением.
Пример 2. Скобки, степени, затем слева направо
Выражение: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Шаг 1 — Скобки: 6 + 2 = 8. Теперь: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Шаг 2 — Степени: 3² = 9. Теперь: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Шаг 3 — Умножение / Деление (слева направо): 8 × 9 = 72, затем 72 ÷ 4 = 18. Теперь: 18 − 5.
Шаг 4 — Сложение / Вычитание: 18 − 5 = 13.
Пример 3. Ловушка «слева направо»
Выражение: 20 ÷ 4 × 5
Здесь нет скобок или степеней, поэтому мы сразу переходим к умножению и делению. У них равный приоритет, поэтому мы читаем слева направо.
Шаг 1: 20 ÷ 4 = 5 (деление стоит левее). Теперь: 5 × 5.
Шаг 2: 5 × 5 = 25.
Если бы вы сначала умножили (4 × 5 = 20), вы бы получили 20 ÷ 20 = 1 — классическая ошибка. Порядок букв M-затем-D не означает, что умножение важнее; правило «слева направо» важнее.
Типичные ошибки в PEMDAS
-
Мнение, что умножение всегда выполняется перед делением (или сложение перед вычитанием) из-за порядка букв M-D и A-S.
Умножение и деление равнозначны, как и сложение с вычитанием. Внутри каждой пары работайте слева направо. В примере 20 ÷ 4 × 5 вы делите первым, потому что это действие стоит левее, получая 25, а не 1.
-
Игнорирование правила «слева направо» для вычитания, из-за чего 10 − 6 + 2 читается как 10 − 8 = 2.
Двигайтесь слева направо: 10 − 6 = 4, затем 4 + 2 = 6. Сложение не «прыгает» вперед вычитания, стоящего слева от него.
-
Пропуск скобок или выполнение их в последнюю очередь, если они стоят в середине выражения.
Группирующие символы всегда имеют приоритет, где бы они ни находились. В 2 × (3 + 4) вы сначала считаете 3 + 4 = 7, затем умножаете, получая 14, а не 2 × 3 + 4 = 10.
-
Неправильное понимание области действия степени, когда −3² и (−3)² воспринимаются как одно и то же.
Степень относится только к числу непосредственно под ней. −3² означает −(3²) = −9, в то время как (−3)² означает (−3)(−3) = 9. Используйте скобки, если хотите включить знак в возведение в степень.
-
Работа с вложенными скобками снаружи внутрь.
Начинайте с самых внутренних скобок и двигайтесь наружу. В 2 × [3 + (4 − 1)] сначала выполните 4 − 1 = 3, затем 3 + 3 = 6, затем 2 × 6 = 12.
Часто задаваемые вопросы
Что означает PEMDAS?
PEMDAS расшифровывается как Parentheses (Скобки), Exponents (Степени), Multiplication and Division (Умножение и деление), Addition and Subtraction (Сложение и вычитание). Это порядок, в котором вычисляется математическое выражение. Многие ученики запоминают его с помощью фразы «Please Excuse My Dear Aunt Sally».
В чем разница между PEMDAS и BODMAS?
В математике разницы нет — только в названиях. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) преподается в Великобритании и многих других странах, тогда как PEMDAS используется в США. Brackets — это то же самое, что скобки, а Orders (или Indices) — то же самое, что степени. Оба метода дают идентичный ответ для любого выражения.
Всегда ли умножение выполняется перед делением в PEMDAS?
Нет. Умножение и деление имеют равный приоритет. Вы выполняете то, что встречается первым при чтении слева направо. Например, в 20 ÷ 4 × 5 вы сначала делите, потому что это действие стоит левее, а затем умножаете, получая 25.
Зачем вообще нужен порядок действий?
Без согласованного порядка одно и то же выражение могло бы давать разные ответы у разных людей. Например, 3 + 4 × 2 было бы 11, если умножать первым, или 14, если складывать первым. PEMDAS гарантирует, что у каждого выражения есть только один правильный результат.
Как работать со степенями и отрицательными знаками вместе?
Степень относится только к значению непосредственно под ней. Поэтому −3² равно −(3 × 3) = −9, так как степень связывается с 3 до того, как применяется отрицательный знак. Если вы хотите включить минус, запишите (−3)², что равно 9. Скобки управляют тем, на что распространяется степень.
Что делать с вложенными скобками?
Работайте от самой внутренней группы к внешней. В 2 × [3 + (4 − 1)] сначала выполните 4 − 1 = 3, затем 3 + 3 = 6, затем 2 × 6 = 12. Каждый слой скобок разрешается перед тем, как перейти к внешнему.
