Признаки делимости чисел: таблица и примеры

Признак делимости — это правило, по которому можно узнать, делится ли число нацело на другое число, не выполняя само деление. Достаточно посмотреть на последние цифры или сложить все цифры числа.

Признаки делимости выручают везде, где нужно быстро понять «устройство» числа:

• при сокращении дробей — сразу видно, на что сократить числитель и знаменатель;
• при разложении числа на простые множители;
• при поиске общего делителя и общего кратного;
• при быстрой проверке ответа в примерах и задачах.

Важно не путать два разных вопроса. «Делится ли 3726 на 9?» — на это отвечает признак делимости: сумма цифр 3 + 7 + 2 + 6 = 18 делится на 9, значит да. А «сколько получится?» — это уже само деление: 3726 : 9 = 414. Признак даёт только ответ «да» или «нет», но зато мгновенно и в уме.

Все школьные признаки делимости удобно держать перед глазами одной таблицей. Цвет подсказывает, куда смотреть: на последнюю цифру, на сумму цифр, на «хвост» из двух-трёх последних цифр или сразу на два признака.

Самая простая группа: смотрим только на последнюю цифру, остальные не важны.

• на 2 делятся все чётные числа — те, что оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8;
• на 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5;
• на 10 — числа, оканчивающиеся на 0.

Длина числа роли не играет: 987 654 320 делится и на 2, и на 5, и на 10, потому что оканчивается нулём. А 1435 делится на 5 (последняя цифра 5), но не делится ни на 2, ни на 10 — число нечётное.

Отсюда полезный вывод: на 10 делятся ровно те числа, которые делятся и на 2, и на 5 одновременно.

Здесь последняя цифра ничего не решает — работает сумма всех цифр числа:

• число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3;
• число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Если сумма получилась большой, признак можно применить к ней ещё раз: у числа 899 991 сумма цифр 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, а у 45 сумма 4 + 5 = 9 — значит, исходное число делится и на 9, и на 3.

Признаки похожи, но не заменяют друг друга. Всякое число, которое делится на 9, делится и на 3 — ведь сама девятка делится на тройку. Обратное же неверно: сумма цифр может делиться на 3 и при этом не делиться на 9, и тогда число проходит только один признак из двух. Оба случая разобраны ниже.

Одной последней цифры тут мало — нужен «хвост» из нескольких последних цифр:

• на 4 делится число, у которого две последние цифры образуют число, делящееся на 4;
• на 8 — если три последние цифры образуют число, делящееся на 8;
• на 25 — если две последние цифры образуют 00, 25, 50 или 75.

Почему хватает хвоста: 100 делится и на 4, и на 25, а 1000 делится на 8. Поэтому всё, что стоит левее, уже само делится на нужное число и на ответ не влияет.

Отсюда важное следствие: чётности для четвёрки и восьмёрки недостаточно. Число может быть чётным, но если его хвост из двух или трёх цифр не делится нацело, то не делится и всё число. Разбор хвостов — во вставке ниже.

Своего отдельного правила у шестёрки нет: 6 = 2 · 3, и множители взаимно простые. Поэтому признак составной — число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Проверим 5124: последняя цифра 4 — число чётное, значит делится на 2; сумма цифр 5 + 1 + 2 + 4 = 12 делится на 3. Оба условия выполнены → 5124 : 6 = 854.

Одной чётности мало: 1000 — чётное, но сумма его цифр равна 1 и на 3 не делится, поэтому на 6 число не делится. Не работает и обратная половинка: у 4521 сумма цифр 12 делится на 3, но само число нечётное — на 6 оно тоже не делится.

Точно так же собираются другие составные признаки: на 12 — делится на 3 и на 4, на 15 — на 3 и на 5, на 18 — на 2 и на 9, на 45 — на 5 и на 9.

Признак делимости на 11 использует знакочередующуюся сумму цифр. Цифры складывают, начиная с последней, попеременно меняя знак: плюс, минус, плюс, минус. Если результат делится на 11 (в том числе равен нулю), то и всё число делится на 11.

Тот же признак часто формулируют иначе: разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр на чётных местах должна делиться на 11. Это одно и то же правило.