Пропорция — это равенство двух отношений, например \(2:3 = 8:12\). Чтобы решать пропорции, нужен всего один инструмент — основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. В школе его называют правилом «крест-накрест». Ниже — что такое отношение и пропорция, как найти неизвестный член, чем прямая пропорциональность отличается от обратной, разбор задач про рецепт, масштаб и цену, выход на проценты и тренажёр из 10 задач.
Что такое отношение и пропорция
Отношение двух чисел — это их частное. Отношение \(2:3\) (читается «два к трём») показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого. Записать его можно двумя способами: \(2:3\) или дробью \(\frac{2}{3}\) — это одно и то же.
Пропорция — это равенство двух отношений:
В пропорции всего четыре числа, и у них есть имена. Числа по краям записи — крайние члены, числа в середине — средние члены. Пропорция верна, когда оба отношения равны одному и тому же числу.
Основное свойство пропорции: правило «крест-накрест»
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
Почему так получается? Умножим обе части равенства \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) на \(b \cdot d\). Слева сократится \(b\), справа — \(d\), и останется ровно \(a \cdot d = c \cdot b\). Никакой магии — обычное свойство равенств.
Именно это школьники и называют «решать пропорции крестом»: числа перемножают по диагонали, крест-накрест. Свойство работает и в обратную сторону: если для четырёх чисел (ни одно из них не ноль) выполняется \(a \cdot d = b \cdot c\), то из них можно составить верную пропорцию.
Отсюда сразу два умения: проверить, верна ли пропорция, и найти в ней неизвестное число.
Как найти неизвестный член пропорции
Из основного свойства получаются два коротких правила:
- неизвестный крайний член = произведение средних : известный крайний;
- неизвестный средний член = произведение крайних : известный средний.
Запоминать их наизусть необязательно. Достаточно одного универсального приёма: перемножить крест-накрест, получить равенство вида «число \(\cdot\, x\) = число» и разделить. Разберём это по шагам на пропорции \(x : 7 = 12 : 21\).
Последний шаг — проверка — занимает пять секунд и ловит почти любую арифметическую ошибку, поэтому пропускать его не стоит.
Прямая и обратная пропорциональность
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Купили вдвое больше тетрадей — заплатили вдвое больше. У таких величин постоянно их отношение.
Величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается. Вдвое больше рабочих — вдвое меньше дней на ту же работу. У таких величин постоянно их произведение.
Главная разница видна в момент, когда мы записываем пропорцию. Для прямой зависимости она составляется «как есть»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Для обратной второе отношение переворачивается: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Почему? Для обратной зависимости постоянно произведение: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Разделим обе части на \(a_2 \cdot b_1\) — и получим как раз \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Так что «переворот» — не заклинание, которое надо помнить, а следствие того, что постоянным остаётся произведение, а не отношение.
| Признак | Прямая | Обратная |
|---|---|---|
| Связь | больше → больше | больше → меньше |
| Постоянно | отношение a : b | произведение a × b |
| Запись | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Пример | 3 ручки — 90 ₽, 5 ручек — 150 ₽ | 4 маляра — 9 дней, 6 маляров — 6 дней |
Как составить пропорцию к задаче: рецепт, масштаб, цена
Текстовые задачи «на пропорцию» решаются по одному сценарию:
- Выписать условие в две колонки так, чтобы одинаковые величины стояли друг под другом (порции под порциями, граммы под граммами).
- Обозначить искомое за \(x\).
- Определить тип зависимости: мысленно увеличить первую величину и посмотреть, растёт вторая или убывает.
- Составить пропорцию — для обратной зависимости перевернуть второе отношение.
- Решить крест-накрест и проверить, разумный ли получился ответ.
Покажем на рецепте. На 4 порции блинов нужно 300 г муки — сколько муки на 6 порций? Порций больше, значит и муки больше: зависимость прямая, пропорция составляется «как есть»:
На 6 порций нужно 450 г муки. Ответ разумный: порций стало в полтора раза больше, и муки понадобилось в полтора раза больше.
Точно так же решаются задачи на масштаб (расстояние на карте относится к расстоянию на местности так же, как 1 к числу масштаба) и на цену (количество товара относится к количеству так же, как стоимость к стоимости). Полные разборы — в примерах ниже.
Проценты через пропорцию
Процент — это сотая доля числа, поэтому любая простая задача на проценты превращается в пропорцию:
Где-то одно из четырёх чисел неизвестно — его и находим крест-накрест.
Найти часть. Сколько будет 15% от 240? Составляем \(x : 240 = 15 : 100\), значит \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) и \(x = 36\).
Найти целое. Число 21 составляет 35% от какого-то числа. Составляем \(21 : x = 35 : 100\), значит \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) и \(x = 60\).
Найти процент. Сколько процентов составляет 18 от 45? Составляем \(18 : 45 = p : 100\), значит \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) и \(p = 40\), то есть 40%.
Один приём — три разных типа задач, ничего дополнительно запоминать не нужно. Отдельно стоит только вопрос «на сколько процентов величина выросла или уменьшилась»: там сначала находят изменение, а потом делят его на первоначальное значение — это уже формула процентного изменения, а не простая пропорция.
Примеры решения пропорций с разбором по шагам
Пример 1. Неизвестный средний член
Задача. Найдите неизвестный член пропорции \(15 : x = 45 : 24\).
Шаг 1. Определяем, где какой член. Крайние — 15 и 24, средние — \(x\) и 45.
Шаг 2. Применяем основное свойство: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), то есть \(360 = 45x\).
Шаг 3. Делим: \(x = 360 : 45 = 8\).
Проверка. \(15 : 8 = 1{,}875\) и \(45 : 24 = 1{,}875\) — отношения равны.
Ответ: \(x = 8\).
Пример 2. Прямая пропорциональность: цена и количество
Задача. Шесть тетрадей стоят 210 ₽. Сколько стоят 10 таких же тетрадей?
Шаг 1. Тетрадей больше — стоимость больше, значит зависимость прямая.
Шаг 2. Записываем условие так, чтобы одинаковые величины были рядом, и составляем пропорцию «как есть»:
Шаг 3. Крест-накрест: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), значит \(x = 2100 : 6 = 350\).
Проверка. Одна тетрадь стоит \(210 : 6 = 35\) ₽, а десять — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Сходится.
Ответ: 350 ₽.
Пример 3. Обратная пропорциональность: рабочие и дни
Задача. Восемь рабочих выполняют заказ за 15 дней. За сколько дней выполнят тот же заказ 12 рабочих, если работают они с той же скоростью?
Шаг 1. Рабочих стало больше — дней понадобится меньше. Зависимость обратная.
Шаг 2. Составляем пропорцию, перевернув второе отношение:
Здесь \(x\) — дни для 12 рабочих, а 15 — дни для 8 рабочих: они поменялись местами, потому что зависимость обратная.
Шаг 3. Крест-накрест: \(8 \cdot 15 = 12x\), то есть \(120 = 12x\) и \(x = 10\).
Проверка. Постоянно произведение: \(8 \cdot 15 = 120\) и \(12 \cdot 10 = 120\). Сходится, и ответ разумный — дней стало меньше.
Ответ: 10 дней.
Пример 4. Масштаб карты
Задача. Масштаб карты \(1 : 200\,000\). Расстояние между посёлками на карте равно 7 см. Каково расстояние между ними на местности?
Шаг 1. Масштаб \(1 : 200\,000\) означает: 1 см на карте соответствует 200 000 см на местности. Это готовое отношение.
Шаг 2. Составляем пропорцию:
Шаг 3. Крест-накрест: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), то есть \(x = 1\,400\,000\) см.
Шаг 4. Переводим в удобные единицы: в одном километре 100 000 см, поэтому \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) км.
Ответ: 14 км.
Пример 5. Проценты через пропорцию
Задача. В классе 25 учеников, в поход пошли 60% из них. Сколько человек пошло в поход?
Шаг 1. Целое — это все 25 учеников, им соответствует 100%. Искомая часть — \(x\) человек, ей соответствует 60%.
Шаг 2. Составляем пропорцию «часть : целое = процент : 100»:
Шаг 3. Крест-накрест: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), значит \(x = 15\).
Проверка. 15 человек из 25 — это \(15 : 25 = 0{,}6\), то есть ровно 60%.
Ответ: 15 человек.
Частые ошибки при решении пропорций
-
Перемножают числа «вдоль», а не крест-накрест: в пропорции 5 : 2 = 20 : 8 считают 5 · 2 и 20 · 8.
Основное свойство связывает крайние члены со средними, то есть числа по диагонали: 5 · 8 = 40 и 2 · 20 = 40. Произведения совпали — пропорция верна. А 5 · 2 и 20 · 8 не равны и ни о чём не говорят.
-
В задаче на обратную зависимость составляют «прямую» пропорцию. Шесть насосов наполняют бассейн за 10 часов; запись 6 : 15 = 10 : x даёт 25 часов для 15 насосов.
Насосов стало больше — времени должно стать меньше, а вышло больше: значит, пропорция составлена не в ту сторону. Второе отношение надо перевернуть: 6 : 15 = x : 10, тогда 15x = 60 и x = 4 часа. Всегда проверяйте ответ на здравый смысл.
-
После «крест-накрест» делят наоборот: из равенства 8x = 96 получают x = 8 : 96.
Чтобы найти x, произведение делят на множитель, который стоит рядом с x: x = 96 : 8 = 12. Полезная привычка — подставить найденное число обратно: 8 · 12 = 96, всё верно.
-
Не согласуют единицы измерения. В задаче с масштабом 1 : 50 000 при 3 см на карте пишут ответ «1,5» без единиц или называют его метрами.
Сначала считаем в тех единицах, в которых дан масштаб: 3 · 50 000 = 150 000 см. И только потом переводим: 150 000 см = 1500 м = 1,5 км. Единицы в ответе так же важны, как само число.
-
Путают отношение и пропорцию: на просьбу составить пропорцию пишут одно отношение «12 : 4».
Отношение — это одно частное: 12 : 4 = 3. Пропорция — это равенство двух отношений, в ней обязательно четыре числа и знак равенства: 12 : 4 = 30 : 10 (проверяем: 12 · 10 = 120 и 4 · 30 = 120).
Вопросы и ответы
Чем отношение отличается от пропорции?
Отношение — это частное двух чисел, например 12 : 4. Пропорция — это равенство двух отношений, в ней четыре числа: 12 : 4 = 30 : 10. Отношение отвечает на вопрос «во сколько раз», а пропорция утверждает, что два таких сравнения дают одинаковый результат.
Что такое крайние и средние члены пропорции?
В записи a : b = c : d крайние члены — те, что стоят по краям, то есть a и d. Средние — те, что стоят в середине, то есть b и c. Если пропорция записана дробями, крайние члены — это числитель первой дроби и знаменатель второй, а средние — знаменатель первой и числитель второй.
Как проверить, верна ли пропорция?
Перемножить крест-накрест и сравнить произведения. Например, для 9 : 12 = 15 : 20 считаем 9 · 20 = 180 и 12 · 15 = 180 — числа совпали, значит пропорция верна. Если произведения разные, пропорция неверна.
Можно ли менять местами члены пропорции?
Да, если делать это по правилам. В верной пропорции можно поменять местами крайние члены, можно поменять местами средние, а можно перевернуть обе части сразу — пропорция останется верной. Из 4 : 6 = 10 : 15 получаем 4 : 10 = 6 : 15 или 6 : 4 = 15 : 10 — произведение по диагонали везде равно 60. А вот переставить только одно число нельзя.
Что значит «решать пропорцию крестом»?
Это разговорное название основного свойства пропорции. Числа перемножают по диагонали, крест-накрест: крайний на крайний и средний на средний. Получается уравнение с одним неизвестным, которое решается одним делением. Никакого отдельного «метода креста» помимо основного свойства не существует.
Как понять, прямая зависимость в задаче или обратная?
Мысленно увеличьте первую величину в 2 раза и посмотрите на вторую. Если она тоже выросла вдвое — зависимость прямая, пропорция составляется «как есть». Если уменьшилась вдвое — зависимость обратная, второе отношение нужно перевернуть. Ещё один признак: у прямой зависимости постоянно отношение величин, у обратной — их произведение.
Как решать задачи на проценты через пропорцию?
Составьте пропорцию «часть : целое = процент : 100» и найдите неизвестное крест-накрест. Например, 12% от 350: получаем x : 350 = 12 : 100, значит 100x = 4200 и x = 42. Тем же способом ищут и целое по известной части, и сам процент.
