Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число \(d\) (разность прогрессии). Любой её член находят по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\), а сумму первых \(n\) членов — по формуле \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). На этой странице разобраны определение и разность, обе формулы суммы, характеристическое свойство, проверка вхождения числа в прогрессию, отличие от геометрической прогрессии, типовые задачи ОГЭ и интерактивный тренажёр для самопроверки.
Что такое арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой \(d\).
Определение одной формулой: последовательность \(a_1, a_2, a_3, \dots\) называется арифметической прогрессией, если для любого номера \(n\) выполняется равенство
Возьмём последовательность 3, 7, 11, 15, 19, … Первый член здесь \(a_1 = 3\), а разность \(d = 4\): каждое следующее число больше предыдущего ровно на 4. Поэтому следующий член равен 23, а перед тройкой (если продолжить назад) стояла бы единица со знаком минус.
Вся прогрессия задаётся всего двумя числами — первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Зная эту пару, можно назвать любой член, посчитать сумму скольких угодно первых членов и проверить, встречается ли в последовательности заданное число. Обозначают прогрессию значком \((a_n)\), а её члены — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) и так далее, где нижний индекс всегда означает номер, а не значение.
Разность арифметической прогрессии: как найти d
Разность — это всегда следующий член минус предыдущий:
Порядок вычитания важен: если вычесть наоборот, знак разности получится противоположным. Для последовательности 20, 17, 14, 11, 8 разность равна \(17 - 20 = -3\), а не \(+3\).
Знак \(d\) полностью определяет поведение прогрессии:
- \(d > 0\) — прогрессия возрастающая, члены увеличиваются;
- \(d < 0\) — прогрессия убывающая, члены уменьшаются;
- \(d = 0\) — все члены одинаковы, например 6, 6, 6, 6, … Это тоже арифметическая прогрессия, просто постоянная.
Если известны два члена с разными номерами, разность находят по формуле
Пример. Пусть \(a_4 = 30\) и \(a_{10} = 6\). Тогда \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), а первый член равен \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Проверим начало прогрессии: 42, 38, 34, 30 — четвёртый член действительно 30.
Разность не обязана быть целой: у последовательности 1; 1,5; 2; 2,5 разность равна 0,5, и это полноценная арифметическая прогрессия.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Главная формула темы позволяет найти любой член, не выписывая все предыдущие:
Откуда берётся \(n - 1\)? Чтобы дойти от первого члена до \(n\)-го, разность прибавляют не \(n\) раз, а на один раз меньше: до второго члена — один шаг, до третьего — два, до двадцатого — девятнадцать.
Пример. Для прогрессии 3, 7, 11, 15, 19, … имеем \(a_1 = 3\) и \(d = 4\), значит
Такая свёрнутая запись очень удобна: сразу видно, что \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), а \(a_{100} = 399\). Заодно она подсказывает разность: у любой арифметической прогрессии формула \(n\)-го члена — линейная, вида \(a_n = dn + c\), и коэффициент перед \(n\) и есть разность.
Иногда первый член неизвестен, зато дан какой-то другой. Тогда работает та же идея в общем виде: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Любой член прогрессии, кроме первого, равен среднему арифметическому своих соседей:
Именно поэтому прогрессия и называется арифметической. Это равенство работает и в обратную сторону: если в последовательности каждый средний член равен полусумме соседей, то последовательность — арифметическая прогрессия. Такое утверждение называют признаком арифметической прогрессии, и в задачах его используют, чтобы доказать, что три числа образуют прогрессию.
Пример. Числа 7, \(x\), 23 — три последовательных члена прогрессии. Тогда \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Проверка: 7, 15, 23 — разности 8 и 8, всё сходится.
Удобная форма записи того же свойства: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), то есть удвоенный средний член равен сумме крайних. В таком виде свойство проще применять, когда члены заданы буквенными выражениями.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Сумму \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) считают по одной из двух формул:
Идея первой формулы — та самая, которую, по легенде, нашёл школьник Гаусс, складывая числа от 1 до 100. Если сложить первый член с последним, второй с предпоследним и так далее, все пары дадут одну и ту же сумму. Отсюда \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Вторая формула получается из первой подстановкой \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — она нужна, когда последний член не дан и считать его отдельно не хочется.
Пример. Найдём сумму первых двадцати членов прогрессии 3, 7, 11, 15, 19, …
По первой формуле: \(a_{20} = 79\), поэтому \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
По второй: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Ответы совпали — это и есть лучшая проверка вычислений.
Как узнать, входит ли число в арифметическую прогрессию
Вопрос «является ли число членом прогрессии» решается уравнением. Число входит в прогрессию тогда и только тогда, когда его номер \(n\) получается натуральным: 1, 2, 3 и так далее. Дробное или неположительное \(n\) означает, что такого члена нет.
Пример 1. Входит ли число 99 в прогрессию 3, 7, 11, 15, 19, …? Формула \(n\)-го члена здесь \(a_n = 4n - 1\), поэтому решаем \(4n - 1 = 99\), откуда \(4n = 100\) и \(n = 25\). Номер натуральный — значит, 99 в прогрессии есть, это её двадцать пятый член.
Пример 2. А число 2026? Из \(4n - 1 = 2026\) получаем \(4n = 2027\) и \(n = 506{,}75\). Номер дробный, поэтому 2026 членом этой прогрессии не является.
Полезная подсказка для устной прикидки: у прогрессии с формулой \(a_n = 4n - 1\) все члены при делении на 4 дают остаток 3. Число 2026 даёт остаток 2, поэтому «промахивается» мимо прогрессии.
Типовые задачи ОГЭ по арифметической прогрессии
В ОГЭ по математике прогрессии встречаются каждый год, и почти все задания сводятся к четырём сюжетам.
Найти член по номеру. Дано \(a_1\) и \(d\) (или несколько первых членов) — подставляем в \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Найти номер по значению. Дано число — приравниваем к нему формулу \(n\)-го члена и решаем уравнение относительно \(n\).
Найти сумму. Считаем \(S_n\) по любой из двух формул; если не хватает \(a_n\) — сначала находим его.
Найти количество членов. Из формулы \(n\)-го члена получается удобное следствие: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Отдельно стоит текстовая задача, где прогрессия спрятана в сюжете. Например: в первый день рабочий изготовил 12 деталей, а каждый следующий день — на 3 детали больше, чем в предыдущий; сколько деталей он сделает за 15 дней? Здесь \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Считаем последний член: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Тогда \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) деталей.
Главный совет по таким заданиям: сначала выпишите отдельной строкой, что дано (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) и что нужно найти. Половина ошибок на экзамене случается не из-за формул, а из-за того, что номер перепутали со значением члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессия: в чём разница
Обе прогрессии — правила, по которым из одного члена получают следующий. Разница в действии: в арифметической к члену прибавляют одно и то же число \(d\), в геометрической — умножают на одно и то же число \(q\), которое называют знаменателем прогрессии.
Отсюда и разное поведение. Арифметическая прогрессия растёт равномерно, «по ступенькам»: 3, 7, 11, 15 — каждый шаг добавляет 4. Геометрическая растёт лавиной: 3, 6, 12, 24 — каждый шаг удваивает число, и уже через десять шагов член будет больше полутора тысяч.
Проверить тип последовательности просто: посчитайте разности соседних членов и их отношения. Одинаковые разности — прогрессия арифметическая, одинаковые отношения — геометрическая. Если не совпало ни то ни другое, перед вами просто последовательность: например, 1, 4, 9, 16 — это квадраты натуральных чисел, и прогрессией она не является (разности 3, 5, 7 разные, отношения тоже).
В школьной программе обе темы идут подряд в 9 классе, поэтому формулы легко перепутать. Держите в голове опору: в арифметической разность \(d\) вычитают, в геометрической знаменатель \(q\) делят. Всё остальное — следствия.
Примеры решения задач на арифметическую прогрессию
Пример 1. Найти первый член и разность по двум членам
Дано. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Найти \(a_1\), \(d\) и \(a_{20}\).
Шаг 1. От третьего члена до седьмого ровно \(7 - 3 = 4\) шага, на каждом прибавляется \(d\). Значит \(a_7 = a_3 + 4d\), то есть \(30 = 14 + 4d\), откуда \(4d = 16\) и \(d = 4\).
Шаг 2. Возвращаемся назад к первому члену: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Шаг 3. Записываем формулу \(n\)-го члена: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Шаг 4. Считаем нужный член: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Проверка. Выпишем начало прогрессии: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Третий член 14, седьмой 30 — совпало.
Ответ: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Пример 2. Сумма первых 30 членов (обе формулы)
Дано. Прогрессия \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Найти \(S_{30}\).
Шаг 1. Определяем параметры: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Шаг 2. Находим тридцатый член: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Шаг 3. Считаем по первой формуле: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Шаг 4. Проверка по второй формуле. Сначала числитель: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Дальше как в третьем шаге: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Оба пути дали 1155 — значит, арифметика верна.
Ответ: \(S_{30} = 1155\).
Пример 3. Сумма всех двузначных чисел, кратных 7
Задание. Найти сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 7.
Шаг 1. Такие числа сами образуют арифметическую прогрессию с разностью 7. Наименьшее двузначное кратное семи — это 14, наибольшее — 98 (следующее, 105, уже трёхзначное). Получаем \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Шаг 2. Считаем количество членов: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Шаг 3. Считаем сумму: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Шаг 4. Проверка второй формулой. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Ответ: 728.
Пример 4. Проверить, входит ли число в прогрессию
Задание. Является ли число 145 членом прогрессии \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? А число 142?
Шаг 1. Параметры прогрессии: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), значит \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Шаг 2. Проверяем 145: уравнение \(5n + 2 = 145\) даёт \(5n = 143\) и \(n = 28{,}6\). Номер дробный, поэтому 145 членом прогрессии не является.
Шаг 3. Проверяем 142: \(5n + 2 = 142\), откуда \(5n = 140\) и \(n = 28\). Номер натуральный — число входит.
Шаг 4. Проверка подстановкой. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Верно.
Ответ: 145 в прогрессию не входит; 142 входит и является её 28-м членом.
Пример 5. Характеристическое свойство с буквенными членами
Задание. При каком значении \(x\) числа \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
Шаг 1. По характеристическому свойству удвоенный средний член равен сумме крайних:
Шаг 2. Раскрываем скобки: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Шаг 3. Решаем: \(2 + 4 = 5x - 4x\), то есть \(x = 6\).
Шаг 4. Проверка. Подставляем \(x = 6\): первый член \(6 - 3 = 3\), второй \(2\cdot 6 + 1 = 13\), третий \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Разности: \(13 - 3 = 10\) и \(23 - 13 = 10\) — одинаковые.
Ответ: \(x = 6\), прогрессия 3, 13, 23 с разностью 10.
Пример 6. Сколько отрицательных членов в прогрессии
Задание. Сколько отрицательных членов у прогрессии \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Шаг 1. Параметры: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Формула \(n\)-го члена: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Шаг 2. Записываем условие «член отрицателен»: \(3n - 24 < 0\), откуда \(3n < 24\) и \(n < 8\).
Шаг 3. Номера натуральные, поэтому подходят \(n = 1, 2, \dots, 7\) — всего семь членов.
Шаг 4. Проверка границы. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — отрицательный. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — нуль не является отрицательным числом, поэтому восьмой член уже не считаем. \(a_9 = 3\) — положительный.
Ответ: семь отрицательных членов.
Частые ошибки в задачах на арифметическую прогрессию
-
В формуле $n$-го члена пишут $a_n = a_1 + nd$ вместо $a_n = a_1 + (n-1)d$.
От первого члена до \(n\)-го делается на один шаг меньше, чем номер. Для прогрессии \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) десятый член равен \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), а не 45. Быстрая проверка формулы: подставь \(n = 1\) — должно получиться ровно \(a_1\).
-
Разность считают наоборот: $d = a_1 - a_2$, и знак получается противоположным.
Разность — это следующий член минус предыдущий: \(d = a_2 - a_1\). Для прогрессии \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) верно \(d = 34 - 40 = -6\). Знак минус здесь не ошибка, а признак убывающей прогрессии.
-
В формуле суммы забывают разделить на 2 или умножить на $n$: пишут $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Суммируются пары «первый с последним», их ровно \(\dfrac{n}{2}\), поэтому делить на 2 обязательно. Для прогрессии \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) имеем \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) и \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), а не 670.
-
При проверке вхождения числа получают $n = 0$ или отрицательное $n$ и всё равно отвечают «входит».
Номер члена — натуральное число, счёт начинается с единицы. Например, для прогрессии \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) уравнение \(10 + 4(n-1) = 6\) даёт \(n = 0\), а значит 6 в прогрессию не входит: это число стояло бы перед первым членом.
-
Путают, что найдено: подставляют значение члена туда, где нужен его номер, и наоборот.
\(a_n\) — это значение, \(n\) — порядковый номер. Если в задаче спрашивают «какой по счёту член равен 142», ответом будет 28, а не 142. Полезная привычка: выписывать перед решением строку «дано: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), найти: \(n\)».
-
Считают, что прогрессия обязана возрастать и состоять из целых чисел.
Разность может быть отрицательной (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), дробной (1; 1,5; 2; 2,5) и даже нулевой (8, 8, 8, …). Все три случая — законные арифметические прогрессии, и все формулы для них работают без изменений.
Вопросы и ответы
Что такое арифметическая прогрессия простыми словами?
Это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\) — разности прогрессии. Например, 3, 7, 11, 15, 19, … — прогрессия с первым членом 3 и разностью 4.
Какая формула n-го члена арифметической прогрессии?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность, \(n\) — номер. Если известен не первый, а какой-то другой член, работает общая форма \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Как найти разность арифметической прогрессии?
Вычесть из любого члена предыдущий: \(d = a_n - a_{n-1}\). Если даны два члена с разными номерами, используйте \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Например, при \(a_5 = 23\) и \(a_9 = 43\) получаем \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), а первый член равен \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Как найти первый член арифметической прогрессии?
Из формулы \(n\)-го члена: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Например, если \(a_{12} = 60\) и \(d = 4\), то \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Проверка: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии?
По формуле \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), если известен последний член, или по формуле \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), если известны только первый член и разность. Обе дают одинаковый результат, поэтому вторую удобно использовать как проверку первой.
Как найти число членов арифметической прогрессии?
Из формулы \(n\)-го члена: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Например, в прогрессии \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) разность равна 5, поэтому \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) членов.
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической к каждому члену прибавляют разность \(d\), а в геометрической каждый член умножают на знаменатель \(q\). Формулы \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) против \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Чтобы определить тип, посчитайте разности соседних членов и их отношения: одинаковые разности — арифметическая, одинаковые отношения — геометрическая.
Может ли разность быть отрицательной или равной нулю?
Да. При \(d < 0\) прогрессия убывает (например, 20, 17, 14, 11), при \(d = 0\) все члены одинаковы (6, 6, 6, …) — это постоянная прогрессия. Разность может быть и дробной: 1; 1,5; 2; 2,5 — тоже арифметическая прогрессия.
В каком классе изучают арифметическую прогрессию?
В 9 классе на уроках алгебры, вместе с геометрической прогрессией и числовыми последовательностями. Задания на прогрессии входят в ОГЭ: обычно требуется найти член по номеру, номер по значению, количество членов или сумму первых \(n\) членов.
