Квадратная формула позволяет решить любое квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) (где \(a \neq 0\)). Его корни находятся по формуле \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). На этой странице вы узнаете, что означает каждая часть формулы, как применять её пошагово, как дискриминант помогает определить количество решений, а также увидите подробно разобранные примеры — и всё это с интерактивным тренажером для практики.
Что такое квадратная формула
Квадратное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — числа, а \(a \neq 0\). Числа \(a\), \(b\) и \(c\) называются коэффициентами: \(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), а \(c\) — свободный член.
Квадратная формула позволяет найти решения (корни) напрямую через эти три коэффициента — без необходимости разложения на множители. Она работает для любого квадратного уравнения, даже для тех, которые не раскладываются на простые множители.
Откуда она берется (вывод): формула получается путем выделения полного квадрата из общего уравнения. Разделите \(ax^2 + bx + c = 0\) на \(a\), перенесите свободный член вправо, добавьте \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) к обеим частям, чтобы получить полный квадрат, и извлеките корень. Результатом является приведенная ниже формула, справедливая для любых \(a\), \(b\), \(c\).
Дискриминант: сколько корней
Выражение под корнем, \(b^2 - 4ac\), называется дискриминантом (часто обозначается \(D\)). Вам не нужно доводить решение до конца, чтобы узнать количество решений уравнения — знак дискриминанта говорит об этом сразу.
Так как из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень в действительных числах, знак \(D\) делит все квадратные уравнения на три типа: два корня, один повторяющийся корень или отсутствие действительных корней. На графике это соответствует количеству точек пересечения параболы \(y = ax^2 + bx + c\) с осью x — две, одна (в вершине) или ни одной.
| Дискриминант D = b² − 4ac | Действительные корни | Результат |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня | Парабола пересекает ось x дважды. Используйте оба знака: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Один корень (повторяющийся) | Парабола касается оси x в вершине. Знак ± исчезает: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Нет действительных корней | Парабола не касается оси x. Извлечь корень из отрицательного числа нельзя. |
Как использовать квадратную формулу: шаги
Квадратная формула всегда работает одинаково. Выполните эти пять шагов по порядку, и вы не ошибетесь — самое сложное здесь просто правильно определить коэффициенты (вместе с их знаками).
Примеры квадратной формулы (пошагово)
Пример 1. Два действительных корня (D > 0)
Решите \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Шаг 1–2. Уравнение уже в стандартном виде, выписываем коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Шаг 4. \(D = 25 > 0\), значит, есть два различных действительных корня.
Шаг 5. Подставляем: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Используем плюс: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Используем минус: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Корни: \(x = 3\) и \(x = \tfrac{1}{2}\).
Пример 2. Один повторяющийся корень (D = 0)
Решите \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Шаг 1–2. Стандартный вид: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Шаг 4. \(D = 0\), значит, есть ровно один действительный корень (повторяющийся). Член \(\pm\) исчезает, так как \(\sqrt{0} = 0\).
Шаг 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Корень: \(x = 3\) (это квадратное уравнение является полным квадратом \((x-3)^2 = 0\)).
Пример 3. Нет действительных корней (D < 0)
Решите \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Шаг 1–2. Стандартный вид: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Шаг 4. \(D = -16 < 0\). Так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа, это уравнение не имеет действительных корней — парабола не пересекает ось x.
Шаг 5. Дальнейшие вычисления для действительных корней не требуются.
Типичные ошибки при использовании квадратной формулы
-
Неправильный знак b, особенно если b отрицательное.
Формула начинается с −b. Если b = −7, то −b = +7 — два минуса дают плюс. Записывайте подстановку полностью, например −(−7), перед упрощением.
-
Забывание ± и запись только одного корня.
Когда D > 0, знак ± дает два ответа: один с + и один с −. Всегда вычисляйте оба (−b + √D)/(2a) и (−b − √D)/(2a), если только D не равно 0.
-
Деление на 2a только части числителя.
Весь числитель, −b ± √D, делится на 2a — а не только часть с √D. Записывайте как одну дробь: (−b ± √D) / (2a).
-
Неверное вычисление дискриминанта, если a или c отрицательные.
В формуле D = b² − 4ac, вычитание 4ac при отрицательном произведении a·c дает сложение. Для 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, поэтому D = 4 + 12 = 16, а не 4 − 12.
-
Применение формулы до приведения уравнения к стандартному виду.
Сначала перенесите все члены в одну сторону, чтобы уравнение приняло вид ax² + bx + c = 0. Например, x² = 5x − 6 должно стать x² − 5x + 6 = 0, прежде чем выписывать a, b, c.
Часто задаваемые вопросы
Что такое квадратная формула?
Квадратная формула — это x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Она дает решения любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) напрямую через коэффициенты a, b и c.
Как использовать квадратную формулу пошагово?
Приведите уравнение к стандартному виду ax² + bx + c = 0, определите a, b и c с учетом знаков, вычислите дискриминант D = b² − 4ac, проверьте его знак, чтобы узнать количество корней, затем подставьте значения в x = (−b ± √D) / (2a) и упростите оба варианта.
Что такое дискриминант и зачем он нужен?
Дискриминант — это D = b² − 4ac, выражение под корнем. Его знак показывает количество действительных корней без завершения вычислений: D > 0 дает два корня, D = 0 дает один корень, D < 0 дает отсутствие действительных корней.
Когда использовать квадратную формулу вместо разложения на множители?
Разложение на множители удобно, когда коэффициенты — небольшие целые числа. Квадратная формула работает для любого уравнения, включая те, что не раскладываются на множители или имеют иррациональные корни, поэтому это надежный метод, когда разложение неочевидно.
Откуда берется квадратная формула?
Она выводится путем выделения полного квадрата из общего уравнения ax² + bx + c = 0: делим на a, дополняем до квадрата, добавляя (b/2a)², переписываем левую часть как полный квадрат и извлекаем корень из обеих частей.
Может ли квадратная формула не дать ответа?
Если дискриминант отрицательный (D < 0), действительных решений нет, так как нельзя извлечь корень из отрицательного числа. Уравнение имеет комплексные корни, но действительных корней нет — на графике парабола не касается оси x.
