Свойства степеней — это восемь правил, по которым степени умножают, делят, возводят в степень и упрощают. На этой странице собраны все формулы в одной таблице: произведение и частное степеней с одинаковым основанием, степень степени, степень произведения и частного, нулевой, отрицательный и дробный показатель. Каждое свойство разобрано с объяснением, почему оно работает, дальше — пошаговые примеры, разбор частых ошибок со знаками и интерактивный тренажёр, где можно сразу проверить себя.
Что такое степень: основание и показатель
Степень — это короткая запись умножения одинаковых множителей. Запись \(a^n\) означает, что число \(a\) умножается само на себя \(n\) раз:
Здесь \(a\) — основание степени (то, что умножаем), а \(n\) — показатель степени (сколько раз умножаем). Например, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): основание равно 3, показатель равен 4.
Две записи, которые стоит запомнить сразу: \(a^1 = a\) (одна «копия» числа) и \(a^2\) — «квадрат», \(a^3\) — «куб». Все правила ниже работают именно с основаниями и показателями: одни свойства требуют одинаковых оснований, другие — одинаковых показателей. Различать эти два случая важнее, чем помнить формулы наизусть.
Все свойства степеней: таблица формул
Восемь основных свойств степеней удобно держать перед глазами одной таблицей. Первые пять работают для любого показателя, а последние три расширяют понятие степени на нулевой, отрицательный и дробный показатель.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Произведение одинаковые основания — показатели складываем | am · an = am+n |
| Частное одинаковые основания — показатели вычитаем | am : an = am−n |
| Степень степени показатели перемножаем | (am)n = amn |
| Степень произведения каждый множитель — в степень | (ab)n = anbn |
| Степень частного числитель и знаменатель — в степень | (a/b)n = an/bn |
| Нулевой показатель любое число, кроме нуля, даёт единицу | a0 = 1 |
| Отрицательный показатель переворачиваем в дробь | a−n = 1/an |
| Дробный показатель это корень степени n | am/n = ⁿ√(am) |
Умножение и деление степеней с одинаковым основанием
Это два самых частых действия со степенями.
При умножении показатели складываются, основание не меняется:
Почему так: в первом множителе \(m\) одинаковых чисел, во втором — \(n\), всего их \(m+n\). Например, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
При делении показатели вычитаются (из показателя делимого вычитаем показатель делителя):
Например, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Важно: при сложении и вычитании степеней показатели не складываются. Запись \(2^3 + 2^4\) никак не свернуть в одну степень: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), тогда как \(2^7 = 128\). Свойства работают только для умножения и деления.
Основание при умножении тоже не меняется. \(2^3 \cdot 2^4\) — это \(2^7\), а не \(4^7\): складываем показатели, а основание переписываем как есть.
Степень степени, степень произведения и степень частного
Степень степени — показатели перемножаются:
Например, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Степень произведения — в степень возводится каждый множитель:
Например, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Степень частного — в степень возводятся и числитель, и знаменатель:
Например, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Последние две формулы часто используют справа налево — тогда они позволяют перемножать степени с разными основаниями, но одинаковым показателем: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
А если основания разные и показатели тоже разные, выражение обычно приводят к одному основанию: замечают, что числа — степени одного и того же числа. Например, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), а произведение \(4^3 \cdot 8^2\) превращается в \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Нулевой и отрицательный показатель степени
Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице:
Это не выдумка, а следствие правила деления: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), но то же частное равно \(216 : 216 = 1\). Значит, \(6^0 = 1\). Выражение \(0^0\) не определено.
Отрицательный показатель означает единицу, делённую на степень:
Например, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), а \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Удобное следствие: дробь в отрицательной степени переворачивается, а показатель становится положительным:
Минус в показателе не делает число отрицательным. Запись \(2^{-3}\) — это положительная дробь \(\frac{1}{8}\), а не \(-8\). Знак показателя отвечает за «переворот», а не за знак результата.
Главное: все восемь свойств из таблицы продолжают работать и для нулевого, и для отрицательного показателя — например, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Дробный показатель степени и корни
Дробный показатель — это другой способ записать корень:
Знаменатель дроби показывает степень корня, числитель — степень подкоренного выражения. Примеры: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Ограничение: для чётного знаменателя \(n\) основание должно быть неотрицательным (\(a \geqslant 0\)) — корень чётной степени из отрицательного числа в школьном курсе не извлекается.
Зачем это нужно: с дробными показателями работают те же самые свойства, поэтому корни удобно перемножать и делить, переведя их в степени. Например, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Степень отрицательного числа: где теряется знак
Если основание отрицательное, знак результата зависит от чётности показателя:
- чётный показатель — результат положительный: \((-3)^2 = 9\);
- нечётный показатель — результат отрицательный: \((-3)^3 = -27\).
Особенно важно различать записи со скобками и без скобок: \((-3)^2 = 9\), но \(-3^2 = -9\). Во втором случае в квадрат возводится только тройка, а минус остаётся впереди. Это самая частая потеря знака в контрольных.
Отдельно полезно помнить степени минус единицы: \((-1)^{100} = 1\), а \((-1)^{101} = -1\) — чётный показатель даёт \(+1\), нечётный даёт \(-1\).
Порядок действий в выражениях со степенями
Когда в выражении есть и степени, и обычные действия, порядок такой: сначала скобки, затем степени и корни, потом умножение и деление, и только в конце сложение и вычитание.
Например, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): сначала возводим в квадрат, и только потом умножаем и складываем.
Примеры: как применять свойства степеней
Пример 1. Умножение и деление в одном выражении
Задание. Упростить \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Шаг 1. Умножение: основания одинаковые, показатели складываем — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Шаг 2. Деление: показатели вычитаем — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Ответ. \(x^2\) (при \(x \neq 0\)).
Пример 2. Степень произведения с коэффициентом
Задание. Возвести в степень \((3a^4)^3\).
Шаг 1. В степень возводится каждый множитель: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Шаг 2. Считаем по отдельности: \(3^3 = 27\), а у степени степени показатели перемножаются — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Ответ. \(27a^{12}\). Частая ошибка здесь — забыть возвести в куб тройку и написать \(3a^{12}\).
Пример 3. Отрицательный показатель в произведении
Задание. Вычислить \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Шаг 1. Основания одинаковые — складываем показатели по обычному правилу, минус просто участвует в сложении: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Шаг 2. \(8^3 = 512\).
Ответ. \(512\). Заметь: раскрывать \(8^{-2}\) в дробь было не нужно — свойства степеней работают с отрицательными показателями напрямую.
Пример 4. Дробь в отрицательной степени
Задание. Вычислить \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Шаг 1. Отрицательный показатель переворачивает дробь: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Шаг 2. Возводим в квадрат числитель и знаменатель: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Ответ. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Пример 5. Дробный показатель
Задание. Вычислить \(81^{\frac{3}{4}}\).
Шаг 1. Знаменатель показателя — степень корня: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Шаг 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), потому что \(3^4 = 81\).
Шаг 3. Осталось возвести в куб: \(3^3 = 27\).
Ответ. \(27\). Корень удобнее извлекать первым — числа получаются меньше, чем если сначала считать \(81^3\).
Пример 6. Комбинированное выражение
Задание. Вычислить \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Шаг 1. Степень степени в числителе: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Шаг 2. Деление степеней с одинаковым основанием: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Шаг 3. \(3^2 = 9\).
Ответ. \(9\). Общее правило: сначала сворачиваем скобки и степени степеней, потом работаем с умножением и делением.
Частые ошибки при действиях со степенями
-
Складывают показатели при **сложении** степеней: пишут $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Показатели складываются только при умножении. Здесь же \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), а \(2^4 = 16\) — равенство неверное. Сумму степеней вообще нельзя свернуть в одну степень, её можно только вынести за скобку: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Умножают ещё и основания: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Основание при умножении степеней остаётся прежним, меняется только показатель: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
Считают, что $(a+b)^n = a^n + b^n$, путая сумму с произведением.
«Раздавать» степень можно только произведению: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — верно. А вот \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), тогда как \(2^2 + 3^2 = 13\). Для суммы нужны формулы сокращённого умножения, а не свойства степеней.
-
Считают, что $a^0 = 0$.
Наоборот: любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице — \(9^0 = 1\). Ноль в результате даёт только само основание, равное нулю (\(0^n = 0\) при \(n > 0\)), а выражение \(0^0\) не определено.
-
Вычитают показатели в обратном порядке: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Из показателя делимого вычитают показатель делителя, а не наоборот: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Порядок здесь важен так же, как в обычном вычитании.
-
Думают, что отрицательный показатель делает число отрицательным: $2^{-2} = -4$.
Отрицательный показатель означает дробь, а не минус: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Результат остаётся положительным.
-
Теряют знак у отрицательного основания: пишут $(-4)^2 = -16$.
При чётном показателе минус «уходит»: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). А запись без скобок означает другое: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Скобки решают всё.
Вопросы и ответы про свойства степеней
Складываются или умножаются степени при умножении?
При умножении степеней с одинаковым основанием складываются показатели, а само основание не меняется: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Например, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Перемножаются показатели в другом случае — когда возводят степень в степень: \((a^m)^n = a^{mn}\).
При делении степени складываются или вычитаются?
Вычитаются: из показателя делимого вычитают показатель делителя, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \neq 0\). Например, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Чему равно число в нулевой степени?
Единице, если основание не ноль: \(a^0 = 1\). Это следует из правила деления — частное \(a^n : a^n\) равно и \(a^0\), и единице одновременно. Выражение \(0^0\) в школьном курсе не определено.
Как избавиться от отрицательного показателя степени?
Перевернуть выражение в дробь: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Например, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Если основание само дробь, она просто переворачивается, а показатель становится положительным.
Что такое основание и показатель степени?
В записи \(a^n\) число \(a\) — основание степени, то есть множитель, который повторяется; \(n\) — показатель степени, он говорит, сколько таких множителей. В записи \(5^4\) основание равно 5, показатель равен 4, а само значение равно 625.
Можно ли перемножать степени с разными основаниями?
Свернуть в одну степень можно, если совпадают показатели: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Например, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Если разные и основания, и показатели, выражение сначала приводят к общему основанию (когда это возможно), иначе оставляют как есть.
Сколько всего свойств степеней?
Основных — восемь: произведение и частное степеней с одинаковым основанием, степень степени, степень произведения, степень частного, нулевой показатель, отрицательный показатель и дробный показатель. В разных учебниках их группируют по-разному, поэтому встречаются формулировки «пять свойств» или «десять свойств», но содержание одно и то же — вся сводка есть в таблице выше.
Что означает дробный показатель степени?
Корень. Знаменатель дроби — степень корня, числитель — степень подкоренного выражения: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Например, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Для чётного знаменателя основание должно быть неотрицательным.
В каком классе изучают свойства степеней?
Степень с натуральным показателем и её основные свойства проходят в 7 классе алгебры, степень с целым отрицательным показателем — в 8 классе, а степень с рациональным (дробным) показателем и корни — в 9–11 классах. Эти же свойства нужны на ОГЭ и ЕГЭ при преобразовании выражений.
