Десятичная дробь — это число, у которого целая и дробная части разделены запятой: 3,25 или 0,7. Все действия с десятичными дробями — сложение, вычитание, умножение и деление — выполняются почти так же, как с натуральными числами; главное — следить за запятой. На этой странице собраны все правила с примерами столбиком, памятка переноса запятой, разбор частых ошибок и интерактивный тренажёр для самопроверки.
Разряды десятичной дроби
Каждая цифра после запятой имеет своё название и вес:
- первый разряд — десятые (0,1);
- второй — сотые (0,01);
- третий — тысячные (0,001) и так далее.
Важное свойство: если справа к дробной части дописать нули, число не изменится: 5,7 = 5,70 = 5,700. Этим свойством мы будем пользоваться постоянно — оно позволяет уравнивать количество знаков после запятой при сложении, вычитании и сравнении.
Все действия с десятичными дробями: краткая памятка
У каждого действия своё главное правило про запятую. Четыре карточки ниже — вся суть темы, а дальше каждое действие разобрано подробно, с примерами.
Сложение и вычитание десятичных дробей столбиком
Сложение и вычитание выполняются по одному правилу:
- Записываем числа столбиком так, чтобы запятая была строго под запятой — тогда одинаковые разряды окажутся друг под другом: десятые под десятыми, сотые под сотыми.
- Если знаков после запятой разное количество — уравниваем их нулями.
- Складываем или вычитаем, не обращая внимания на запятые, как натуральные числа.
- В ответе ставим запятую под запятыми исходных чисел.
Целое число тоже можно записать как десятичную дробь: 6 = 6,00 — это выручает в примерах вида 6 − 2,35.
Правило умножения десятичных дробей
Умножение — единственное действие, где запятые выравнивать не нужно. Правило умножения десятичных дробей состоит из двух шагов:
- Умножаем числа, не обращая внимания на запятые, — как обычные натуральные числа.
- В результате отделяем запятой справа столько цифр, сколько знаков стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Если цифр в произведении меньше, чем нужно отделить, — дописываем слева нули: 12 × 3 = 36, а для 0,12 × 0,3 надо отделить три знака, поэтому ответ 0,036.
Быстрая самопроверка: при умножении на число меньше единицы результат должен получиться меньше первого множителя. Вышло больше — значит, запятая стоит не там.
Деление десятичных дробей
Здесь два случая.
Деление на натуральное число. Делим уголком как обычно, а запятую в частном ставим в тот момент, когда закончилась целая часть делимого: 8,46 : 2 = 4,23.
Деление на десятичную дробь. Сначала избавляемся от запятой в делителе: переносим запятую и в делимом, и в делителе вправо на одинаковое число знаков — то есть умножаем оба числа на 10, 100 или 1000. Частное от этого не меняется, а деление сводится к первому случаю.
Умножение и деление на 10, 100, 1000
Самые быстрые действия с десятичными дробями — умножение и деление на разрядную единицу. Столбик не нужен: достаточно перенести запятую на столько знаков, сколько нулей в числе 10, 100 или 1000. Не хватает цифр — дописываем нули.
Сравнение десятичных дробей
Десятичные дроби сравнивают поразрядно:
- Сначала целые части: у какого числа целая часть больше, то и больше.
- Если целые части равны — сравниваем десятые, затем сотые, затем тысячные, пока не найдём различие.
- Чтобы не запутаться, уравняйте число знаков нулями: сравнить 5,7 и 5,68 проще в виде 5,70 и 5,68 — семьдесят сотых больше шестидесяти восьми, значит 5,7 > 5,68.
Длина записи ни о чём не говорит: 0,5 больше, чем 0,4999, хотя цифр в нём меньше.
Действия с десятичными дробями: примеры с решением
Пример 1. Сложение: 5,3 + 2,47
Шаг 1. Уравниваем знаки после запятой: 5,3 = 5,30.
Шаг 2. Записываем столбиком, запятая под запятой.
Шаг 3. Складываем как натуральные числа: 530 + 247 = 777.
Шаг 4. Ставим запятую под запятыми слагаемых: 7,77.
Пример 2. Вычитание из целого числа: 6 − 2,35
Шаг 1. Представляем 6 как десятичную дробь: 6 = 6,00.
Шаг 2. Записываем столбиком: 6,00 − 2,35.
Шаг 3. Вычитаем с занятием из старших разрядов: 3,65.
Проверка. 3,65 + 2,35 = 6 — сходится.
Пример 3. Умножение: 2,5 × 0,04
Шаг 1. Умножаем, не обращая внимания на запятые: 25 × 4 = 100.
Шаг 2. Считаем знаки после запятой: один в 2,5 и два в 0,04 — всего три.
Шаг 3. Отделяем три знака справа: 0,100.
Шаг 4. Отбрасываем нули в конце дробной части: 0,1.
Проверка порядка. 0,04 меньше единицы, значит, ответ должен быть меньше 2,5 — верно.
Пример 4. Деление на десятичную дробь: 1,44 : 1,2
Шаг 1. Делаем делитель целым: переносим запятую на один знак вправо в обоих числах — получаем 14,4 : 12.
Шаг 2. Делим уголком целую часть: 14 : 12 = 1, остаток 2.
Шаг 3. Целая часть закончилась — ставим в частном запятую и сносим 4: 24 : 12 = 2.
Ответ: 1,2. Проверка: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Частые ошибки в действиях с десятичными дробями
-
При сложении и вычитании выравнивают числа по правому краю, как целые: 3,25 + 4,8 записывают столбиком без учёта запятой и получают 3,73.
Выравнивайте по запятой, а не по последней цифре: 4,8 = 4,80, и тогда 3,25 + 4,80 = 8,05. Десятые должны стоять под десятыми, сотые — под сотыми.
-
При умножении пытаются выравнивать запятые или ставят запятую в произведении «под запятыми» множителей.
В умножении запятые не выравнивают вовсе. Умножьте как целые числа и отделите справа столько знаков, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.
-
Если в произведении цифр меньше, чем нужно отделить, теряют нули: 0,12 × 0,3 = 0,36 вместо 0,036.
12 × 3 = 36 — это всего две цифры, а отделить надо три. Допишите недостающие нули слева: 0,036.
-
При делении на десятичную дробь переносят запятую только в делителе: 4,2 : 0,7 превращают в 4,2 : 7 и получают 0,6.
Запятая переносится в обоих числах на одинаковое число знаков: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Иначе частное уменьшится в 10 раз.
-
Сравнивают дроби по количеству цифр: считают, что 5,68 больше 5,7, потому что запись длиннее.
Уравняйте знаки нулями и сравнивайте поразрядно: 5,70 и 5,68 — в десятых 7 > 6, значит 5,7 > 5,68.
-
При умножении и делении на 10, 100, 1000 переносят запятую не в ту сторону.
Умножение увеличивает число — запятая идёт вправо: 3,74 × 10 = 37,4. Деление уменьшает — влево: 3,74 : 10 = 0,374. Число знаков равно числу нулей.
Вопросы и ответы
Какие действия с десятичными дробями изучают в 5 классе?
В 5 классе проходят все четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей, а также их сравнение и округление. Обычно сначала изучают сложение и вычитание столбиком, потом умножение и деление на натуральное число и в конце — деление на десятичную дробь.
Изменится ли десятичная дробь, если справа дописать нули?
Нет: 5,7 = 5,70 = 5,700 — это одно и то же число. Дописывание нулей используют, чтобы уравнять количество знаков после запятой при сложении, вычитании и сравнении. А вот вставить ноль между цифрами или убрать ноль из середины числа нельзя — оно изменится.
Как округлить десятичную дробь?
Найдите разряд, до которого нужно округлить, и посмотрите на следующую за ним цифру: если она меньше 5 — округляемая цифра не меняется (3,748 ≈ 3,7), если 5 и больше — увеличивается на единицу (2,85 ≈ 2,9). Все цифры правее отбрасываются.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?
Разделите числитель на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Не каждая обыкновенная дробь даёт конечную десятичную запись: например, 1/3 = 0,333… — бесконечная периодическая дробь. Конечная десятичная дробь получается, когда знаменатель раскладывается только на двойки и пятёрки.
В каком порядке выполнять действия в выражениях с десятичными дробями?
Порядок тот же, что и для натуральных чисел: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание слева направо. Десятичная запись чисел на порядок действий не влияет.
Можно ли разделить меньшую десятичную дробь на большую?
Да. Если делимое меньше делителя, частное просто получится меньше единицы: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. В целой части частного в этом случае пишут 0 и продолжают деление после запятой.
