O ecuație de gradul al doilea este o ecuație de forma \(ax^2 + bx + c = 0\), unde \(a \neq 0\). Numărul rădăcinilor sale este determinat de discriminantul \(D = b^2 - 4ac\), iar rădăcinile propriu-zise se află folosind formula \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Această pagină conține tot ce trebuie să știi despre acest subiect: forma standard și coeficienții, cele trei tipuri de ecuații incomplete, discriminantul și cele trei cazuri, formula rădăcinilor și varianta ei „pară”, ecuația redusă și teorema lui Viète, descompunerea în factori și ecuațiile bipătrate — toate cu exemple pas cu pas, analiza greșelilor frecvente și un simulator interactiv.
Ce este o ecuație de gradul al doilea
Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma
unde \(x\) este necunoscuta, iar \(a\), \(b\), \(c\) sunt numere (coeficienți), cu condiția \(a \neq 0\). Această scriere se numește forma standard a ecuației de gradul al doilea: în stânga, termenii sunt ordonați descrescător după grad, iar în dreapta este zero.
Condiția \(a \neq 0\) nu este o formalitate. Termenul \(ax^2\) este cel care face ecuația să fie de gradul al doilea: dacă \(a = 0\), rămâne \(bx + c = 0\), adică o ecuație liniară obișnuită cu o singură rădăcină. De aceea, în problemele cu parametri, primul lucru verificat este dacă coeficientul principal devine zero.
Aducerea unei ecuații la forma standard este aproape întotdeauna posibilă: desfacem parantezele, mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea. De exemplu, \(5x^2 = 3x - 2\) devine \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) după mutare, de unde \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Termenul „ecuație pătratică” înseamnă exact același lucru — este doar o altă denumire.
Ecuații de gradul al doilea complete și incomplete
Dacă toți cei trei coeficienți sunt diferiți de zero, ecuația se numește completă. Dacă \(b\) sau \(c\) (sau ambii) sunt egali cu zero, ecuația este incompletă. Există exact trei tipuri de ecuații incomplete și niciunul nu necesită folosirea discriminantului: fiecare se rezolvă în unul sau două rânduri, fiind cea mai rapidă metodă de a economisi timp la un test.
Ideea cheie pentru \(ax^2 + bx = 0\) este scoaterea factorului comun. Produsul \(x(ax + b)\) este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero, ceea ce ne dă imediat două rădăcini. Pentru \(ax^2 + c = 0\), ideea este alta: izolăm \(x^2\) și analizăm semnul numărului obținut — pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
| Tip ecuație | Cum se rezolvă |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Mută c în dreapta și împarte la a: x2 = −c/a. Extrage rădăcina pătrată, fără a uita al doilea semn.x = 5 și x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Scoate x factor comun: x(ax + b) = 0. Produsul este zero când unul dintre factori este zero.x = 0 și x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Împarte la a și extrage rădăcina din zero. Există întotdeauna o singură rădăcină.x = 0 |
Discriminantul: cum se calculează și câte rădăcini există
Discriminantul este un număr calculat pe baza coeficienților unei ecuații complete:
Cuvântul în sine înseamnă „cel care distinge”: discriminantul nu rezolvă ecuația, ci doar distinge trei situații — două rădăcini, o singură rădăcină sau nicio rădăcină. Prin urmare, întrebarea „câte rădăcini are ecuația” se rezolvă fără a calcula rădăcinile propriu-zise.
Calculul lui \(D\) trebuie făcut cu atenție: \(b^2\) este întotdeauna pozitiv, chiar dacă \(b\) este negativ, iar semnele lui \(a\) și \(c\) sunt incluse în produsul \(4ac\) așa cum sunt. Să luăm \(x^2 + 4x - 5 = 0\): aici \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), deci \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Discriminantul este pozitiv, deci vor exista două rădăcini.
Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
Când \(D \ge 0\), rădăcinile se află folosind formula principală a acestui subiect:
Semnul \(\pm\) înseamnă două calcule: unul cu adunare, celălalt cu scădere. Când \(D = 0\), ambele calcule dau același număr \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — această rădăcină se numește dublă.
Două locuri unde se greșește cel mai des: în numărător avem minus \(b\) (pentru \(b = -7\) aceasta devine \(+7\)), iar la numitor avem \(2a\), nu doar \(2\). Când \(a = 1\), diferența nu este vizibilă, de aceea eroarea apare exact acolo unde coeficientul principal este diferit de unu.
Să rezolvăm \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), deci \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) și \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Coeficientul secundar par: formula cu D₁
Dacă \(b\) este un număr par, este convenabil să-l scriem ca \(b = 2k\) și să calculăm discriminantul „redus”:
Numerele din calcule devin de patru ori mai mici (\(D = 4D_1\)), iar semnul lui \(D_1\) este același cu al lui \(D\) — deci concluzia privind numărul de rădăcini rămâne neschimbată.
Exemplu: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Aici \(b = 8\), deci \(k = 4\), iar \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Atunci \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) și \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Folosind formula obișnuită, ar fi trebuit să lucrăm cu \(D = 100\) — rezultatul este același, dar calculele sunt mai lungi.
Ecuația redusă și teorema lui Viète
Ecuația cu \(a = 1\) se numește redusă și se scrie \(x^2 + px + q = 0\). Orice ecuație de gradul al doilea poate fi adusă la această formă prin împărțirea la \(a\): de exemplu, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) devine \(x^2 - 3x + 2 = 0\) după împărțirea la 4.
Forma redusă este valoroasă deoarece pentru ea se aplică teorema lui Viète: suma rădăcinilor este egală cu \(-p\), iar produsul este egal cu \(q\). Pentru \(x^2 - 7x + 10 = 0\), avem nevoie de două numere cu suma 7 și produsul 10 — acestea sunt 2 și 5, deci nu a fost nevoie să calculăm discriminantul.
Metoda prin teorema lui Viète este utilă când rădăcinile sunt întregi și mici, și în plus, verifică gratuit răspunsul găsit prin discriminant: suma trebuie să dea \(-p\), produsul — \(q\). Formulele pentru cazul general, reciproca teoremei și algoritmul de selecție sunt explicate într-un material separat — teorema lui Viète.
Descompunerea trinomului de gradul al doilea în factori
Dacă rădăcinile \(x_1\) și \(x_2\) sunt găsite, trinomul de gradul al doilea se descompune în factori:
Factorul \(a\) nu trebuie uitat — fără el, egalitatea nu mai este adevărată. Verificarea descompunerii este întotdeauna ușoară: desfacem parantezele și comparăm cu trinomul inițial. De exemplu, pentru \(x^2 + 2x - 8\), rădăcinile sunt 2 și \(-4\), deci \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Funcționează și calea inversă: dacă trinomul poate fi descompus mental, rădăcinile sunt vizibile imediat și discriminantul nu este necesar. Aici ajută formulele de calcul prescurtat — de exemplu, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) ne dă rădăcinile \(4\) și \(-4\) instantaneu.
A treia metodă de a evita formula rădăcinilor este completarea pătratului. În \(x^2 + 6x + 5 = 0\), primii doi termeni sunt completați până la pătratul unei sume: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), adică \((x + 3)^2 = 4\), de unde \(x + 3 = \pm 2\) și \(x = -1\) sau \(x = -5\). Exact prin acest procedeu se deduce formula rădăcinilor în cazul general.
Ecuații reductibile la ecuații de gradul al doilea: ecuații bipătrate
Ecuația bipătrată are forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): puterile sunt doar pare. Se rezolvă prin substituția \(t = x^2\), cu condiția obligatorie \(t \ge 0\) — pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
După substituție, obținem o ecuație de gradul al doilea obișnuită \(at^2 + bt + c = 0\). Aceasta se rezolvă cu discriminantul, iar apoi, pentru fiecare rădăcină \(t\) nenegativă, revenim la \(x = \pm\sqrt{t}\). De aici și numărul de rădăcini: până la patru.
De exemplu, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) după substituție ne dă \(t^2 - 5t + 4 = 0\) cu rădăcinile \(t = 1\) și \(t = 4\). Ambele sunt pozitive, deci \(x = \pm 1\) și \(x = \pm 2\) — în total patru rădăcini. Dacă una dintre valorile lui \(t\) ar fi fost negativă, am fi ignorat-o pur și simplu.
Prin același procedeu se rezolvă ecuațiile raționale (după aducerea la același numitor și eliminarea valorilor interzise) și ecuațiile cu substituții de forma \(t = x^2 + 3x\).
Exemple de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea
Exemplul 1. Ecuație completă, D > 0
Rezolvă \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Pasul 1. Ecuația este deja în formă standard: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Pasul 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — două rădăcini.
Pasul 3. \(\sqrt{D} = 5\), deci \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Pasul 4. Verificare prin substituție. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Exemplul 2. Discriminantul este zero
Rezolvă \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Pasul 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Pasul 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — o singură rădăcină.
Pasul 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Pasul 4. Verificare. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Răspuns: \(x = 1{,}5\). Observă: partea stângă este un pătrat perfect \((2x - 3)^2\), de aceea am obținut o singură rădăcină.
Exemplul 3. Discriminant negativ
Rezolvă \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Pasul 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Pasul 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Pasul 3. Discriminantul este negativ, deci nu se poate extrage \(\sqrt{D}\) în mulțimea numerelor reale. Nu este nevoie să folosim formula rădăcinilor — rezolvarea se încheie aici.
Răspuns: nu există rădăcini reale. Acesta este un răspuns complet, nu un semn de eroare: graficul funcției \(y = 2x^2 + 3x + 5\) pur și simplu nu intersectează axa \(x\).
Exemplul 4. Ecuație incompletă de forma ax² + c = 0
Rezolvă \(3x^2 - 27 = 0\).
Pasul 1. Mutăm termenul liber: \(3x^2 = 27\).
Pasul 2. Împărțim la 3: \(x^2 = 9\).
Pasul 3. Pătratul este 9 pentru două numere: \(x = 3\) și \(x = -3\). Al doilea semn este pierdut cel mai des.
Pasul 4. Verificare. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Compară cu ecuația \(2x^2 + 8 = 0\): acolo \(x^2 = -4\), deci nu există rădăcini reale.
Exemplul 5. Ecuație incompletă de forma ax² + bx = 0
Rezolvă \(5x^2 - 15x = 0\).
Pasul 1. Scoatem factorul comun: \(5x(x - 3) = 0\).
Pasul 2. Produsul este zero când unul dintre factori este zero: \(5x = 0\) sau \(x - 3 = 0\).
Pasul 3. De aici \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Pasul 4. Verificare. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Dacă simplificăm ecuația inițială prin \(x\), rămâne doar \(x = 3\) — rădăcina \(x = 0\) se pierde. Nu avem voie să împărțim la o expresie care conține necunoscuta.
Exemplul 6. Coeficient secundar par
Rezolvă \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Pasul 1. \(b = -22\) — este par, deci \(k = -11\), iar \(a = 5\), \(c = 8\).
Pasul 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Pasul 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Pasul 4. Verificare. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Discriminantul obișnuit ar fi dat \(D = 324\) — același răspuns, dar calculele ar fi durat mai mult.
Exemplul 7. Aducerea la forma standard mai întâi
Rezolvă \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Pasul 1. Desfacem parantezele: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), adică \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Pasul 2. Mutăm nouă în stânga: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Abia acum putem scrie coeficienții: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Pasul 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Pasul 4. Verificare în ecuația inițială. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Răspuns: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). O greșeală frecventă aici este egalarea fiecărei paranteze cu 9: regula „produsul este zero” funcționează doar pentru zero.
Exemplul 8. Descompunerea trinomului în factori
Descompune \(2x^2 - 5x - 3\) în factori.
Pasul 1. Egalăm trinomul cu zero și găsim rădăcinile: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Pasul 2. Înlocuim în formula \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Pasul 3. Este convenabil să introducem doi în a doua paranteză: \((x - 3)(2x + 1)\).
Pasul 4. Verificare prin desfacerea parantezelor. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Răspuns: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Exemplul 9. Ecuație bipătrată
Rezolvă \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Pasul 1. Substituția \(t = x^2\), unde \(t \ge 0\). Ecuația devine \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Pasul 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Pasul 3. Ambele valori sunt nenegative, deci revenim la \(x\): din \(x^2 = 9\) obținem \(x = \pm 3\), din \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Pasul 4. Verificare. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Pentru valori negative, puterile pare dau aceleași numere.
Răspuns: \(x = \pm 2\) și \(x = \pm 3\) — patru rădăcini.
Greșeli frecvente la rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea
-
Calcularea discriminantului fără a aduce ecuația la forma standard: pentru $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ se iau direct $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Mai întâi mutăm totul în stânga și reducem termenii: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), adică \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Abia de aici avem \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Formula rădăcinilor funcționează exclusiv cu forma standard.
-
Pierderea semnului la ridicarea lui $b$ la pătrat: pentru $x^2 - 9x + 14 = 0$ se scrie $D = -81 - 56$.
Pătratul oricărui număr este nenegativ: \((-9)^2 = 81\), nu \(-81\). Corect este \(D = 81 - 56 = 25\), rădăcinile \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), adică 7 și 2. Verificare: \(49 - 63 + 14 = 0\) și \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Lăsarea lui $b$ în numărător în loc de $-b$: pentru $x^2 + 5x - 6 = 0$ se calculează $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
În formulă avem \(-b\), deci pentru \(b = 5\) în numărător va fi \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), de unde \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Substituția confirmă: \(1 + 5 - 6 = 0\) și \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Când $D = 0$ se scrie „nu există rădăcini”: pentru $x^2 + 14x + 49 = 0$ discriminantul este zero, iar rezolvarea este abandonată.
Nu există rădăcini doar când \(D < 0\). Când \(D = 0\) există o singură rădăcină: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Verificare: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Simplificarea ecuației $4x^2 - 9x = 0$ prin $x$ și obținerea singurei rădăcini $x = 2{,}25$.
Nu avem voie să împărțim la o expresie cu necunoscută: \(x\) poate fi zero, iar rădăcina \(x = 0\) se pierde. Corect este să scoatem factorul comun: \(x(4x - 9) = 0\), de unde \(x_1 = 0\) și \(x_2 = 2{,}25\). Verificare: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
În ecuația $x^2 = 16$ se scrie doar $x = 4$.
Pătratul este 16 și pentru numărul \(-4\). Trebuie scrise ambele rădăcini: \(x = \pm 4\). Este mai sigur să rezolvăm prin forma standard \(x^2 - 16 = 0\), adică \((x - 4)(x + 4) = 0\) — atunci ambii factori sunt vizibili imediat.
-
Neverificarea condiției $a \neq 0$ în ecuația cu parametru: în $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ se calculează direct discriminantul.
Când \(m = 2\), coeficientul principal devine zero, iar ecuația devine liniară \(3x - 1 = 0\) cu singura rădăcină \(x = \dfrac{1}{3}\). Cazul \(m = 2\) se analizează separat, iar formula rădăcinilor se aplică doar când \(m \neq 2\).
Întrebări și răspunsuri
Ce este o ecuație de gradul al doilea?
Este o ecuație de forma \(ax^2 + bx + c = 0\), unde \(a\), \(b\), \(c\) sunt numere și \(a \neq 0\). Necunoscuta apare la puterea a doua, deci pot exista două rădăcini, una singură sau niciuna.
Cum arată forma standard a ecuației de gradul al doilea?
Forma standard (generală) este \(ax^2 + bx + c = 0\): toți termenii sunt adunați în stânga în ordine descrescătoare a puterii, în dreapta este zero. Orice ecuație de gradul al doilea este adusă la această formă înainte de calcularea discriminantului.
Cum se calculează discriminantul?
Folosind formula \(D = b^2 - 4ac\), înlocuind coeficienții cu tot cu semnele lor. De exemplu, pentru \(x^2 + 3x - 10 = 0\) obținem \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), iar rădăcinile sunt \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), adică 2 și \(-5\).
Care este formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), sau mai scurt \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Se aplică atunci când \(D \ge 0\); la numitor este \(2a\), nu 2.
Câte rădăcini poate avea o ecuație de gradul al doilea?
Cel mult două. Când \(D > 0\) sunt două rădăcini, când \(D = 0\) — una (dublă), când \(D < 0\) nu există rădăcini reale.
Ce este o ecuație de gradul al doilea incompletă?
Este o ecuație în care \(b = 0\), \(c = 0\) sau ambele: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Toate trei se rezolvă fără discriminant — prin mutarea termenului sau scoaterea lui \(x\) factor comun.
Cum se rezolvă ecuațiile de gradul al doilea fără discriminant?
Există trei căi: alegerea rădăcinilor prin teorema lui Viète pentru ecuația redusă, descompunerea în factori și completarea pătratului. Cel mai rapid funcționează alegerea, când rădăcinile sunt numere întregi mici.
Ce facem dacă discriminantul este negativ?
Scriem că nu există rădăcini reale și încheiem rezolvarea. Un discriminant negativ este un răspuns normal: graficul parabolei corespunzătoare nu intersectează axa \(x\). Rădăcinile în acest caz există doar în mulțimea numerelor complexe, care se studiază mai târziu.
Cum verificăm rădăcinile găsite?
Înlocuim fiecare rădăcină în ecuația inițială — trebuie să obținem o egalitate adevărată. Pentru ecuația redusă există și o verificare rapidă prin teorema lui Viète: suma rădăcinilor este \(-p\), produsul este \(q\).
Ecuație de gradul al doilea și ecuație pătratică — sunt același lucru?
Da, sunt două denumiri pentru același obiect \(ax^2 + bx + c = 0\). Nu o confunda cu funcția de gradul al doilea \(y = ax^2 + bx + c\): rădăcinile ecuației sunt exact abscisele punctelor unde graficul funcției intersectează axa \(x\).
În ce clasă se studiază ecuațiile de gradul al doilea?
În clasa a 8-a la algebră: mai întâi ecuațiile incomplete, apoi discriminantul, formula rădăcinilor și teorema lui Viète. Mai târziu, subiectul apare la funcția de gradul al doilea, inecuații, probleme de evaluare națională și bacalaureat.
