O proporție este egalitatea a două rapoarte, de exemplu \(2:3 = 8:12\). Pentru a rezolva proporții, este necesar un singur instrument — proprietatea fundamentală a proporției: produsul mezilor este egal cu produsul extremiilor. În școală, aceasta se numește regula „înmulțirii pe diagonală”. Mai jos — ce este un raport și o proporție, cum se găsește termenul necunoscut, cum diferă proporționalitatea directă de cea inversă, analiza problemelor despre rețete, scări și prețuri, trecerea la procente și un simulator cu 10 probleme.
Ce este un raport și o proporție
Raportul a două numere este câtul lor. Raportul \(2:3\) (se citește „doi la trei”) arată de câte ori un număr este mai mare decât altul sau ce parte reprezintă unul din celălalt. Poate fi scris în două moduri: \(2:3\) sau ca fracție \(\frac{2}{3}\) — este același lucru.
Proporția este egalitatea a două rapoarte:
Într-o proporție sunt în total patru numere, și ele au nume. Numerele de la capetele scrierii sunt termenii extremi, numerele din mijloc sunt termenii mezii. Proporția este corectă atunci când ambele rapoarte sunt egale cu același număr.
Proprietatea fundamentală a proporției: regula „înmulțirii pe diagonală”
Proprietatea fundamentală a proporției: produsul mezilor este egal cu produsul extremiilor.
De ce se întâmplă asta? Înmulțim ambele părți ale egalității \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) cu \(b \cdot d\). La stânga se va simplifica \(b\), la dreapta — \(d\), și va rămâne exact \(a \cdot d = c \cdot b\). Nicio magie — doar o proprietate obișnuită a egalităților.
Exact asta numesc elevii „a rezolva proporții pe diagonală”: numerele se înmulțesc pe diagonală, încrucișat. Proprietatea funcționează și invers: dacă pentru patru numere (niciunul dintre ele nu este zero) este valabil \(a \cdot d = b \cdot c\), atunci din ele se poate forma o proporție corectă.
De aici rezultă imediat două abilități: a verifica dacă proporția este corectă și a găsi numărul necunoscut în ea.
Cum se găsește termenul necunoscut al unei proporții
Din proprietatea fundamentală rezultă două reguli scurte:
- termenul extrem necunoscut = produsul mezilor : termenul extrem cunoscut;
- termenul mediu necunoscut = produsul extremiilor : termenul mediu cunoscut.
Nu este obligatoriu să le memorezi pe de rost. Este suficientă o singură metodă universală: înmulțești pe diagonală, obții o egalitate de forma „număr \(\cdot\, x\) = număr” și împarți. Vom analiza acest lucru pas cu pas pe proporția \(x : 7 = 12 : 21\).
Ultimul pas — verificarea — durează cinci secunde și prinde aproape orice eroare aritmetică, așa că nu ar trebui să fie omis.
Proporționalitate directă și inversă
Două mărimi se numesc direct proporționale dacă, atunci când una crește de un anumit număr de ori, cealaltă crește tot de atâtea ori. Am cumpărat de două ori mai multe caiete — am plătit de două ori mai mult. La astfel de mărimi, raportul lor este constant.
Mărimile sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un anumit număr de ori, cealaltă scade de atâtea ori. De două ori mai mulți muncitori — de două ori mai puține zile pentru aceeași lucrare. La astfel de mărimi, produsul lor este constant.
Principala diferență se vede în momentul în care scriem proporția. Pentru dependența directă, aceasta se formează „ca atare”: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Pentru cea inversă, al doilea raport este inversat: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
De ce? Pentru dependența inversă, produsul este constant: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Împărțim ambele părți la \(a_2 \cdot b_1\) — și obținem exact \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Deci, „inversarea” nu este o vrajă care trebuie memorată, ci o consecință a faptului că produsul rămâne constant, nu raportul.
| Semn | Directă | Inversă |
|---|---|---|
| Legătură | mai mult → mai mult | mai mult → mai puțin |
| Constant | raportul a : b | produsul a × b |
| Scriere | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Exemplu | 3 pixuri — 90 ₽, 5 pixuri — 150 ₽ | 4 zugravi — 9 zile, 6 zugravi — 6 zile |
Cum se formează o proporție pentru o problemă: rețetă, scară, preț
Problemele text „cu proporții” se rezolvă după un singur scenariu:
- Se extrage condiția în două coloane, astfel încât mărimile identice să stea una sub alta (porții sub porții, grame sub grame).
- Se notează necunoscuta cu \(x\).
- Se determină tipul dependenței: se mărește mental prima mărime și se observă dacă a doua crește sau scade.
- Se formează proporția — pentru dependența inversă, se inversează al doilea raport.
- Se rezolvă pe diagonală și se verifică dacă răspunsul obținut este rezonabil.
Vom arăta pe o rețetă. Pentru 4 porții de clătite sunt necesare 300 g făină — câtă făină este necesară pentru 6 porții? Porții mai multe, deci și făină mai multă: dependența este directă, proporția se formează „ca atare”:
Pentru 6 porții sunt necesare 450 g făină. Răspunsul este rezonabil: porțiile au crescut de o dată și jumătate, iar făina necesară a crescut tot de o dată și jumătate.
Exact la fel se rezolvă problemele cu scara (distanța pe hartă se raportează la distanța pe teren la fel ca 1 la numărul scării) și cu prețul (cantitatea de marfă se raportează la cantitate la fel ca valoarea la valoare). Analize complete — în exemplele de mai jos.
Procente prin proporție
Procentul este a suta parte dintr-un număr, de aceea orice problemă simplă cu procente se transformă într-o proporție:
Undeva unul dintre cele patru numere este necunoscut — pe acesta îl găsim pe diagonală.
Găsirea părții. Cât înseamnă 15% din 240? Formăm \(x : 240 = 15 : 100\), deci \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) și \(x = 36\).
Găsirea întregului. Numărul 21 reprezintă 35% dintr-un anumit număr. Formăm \(21 : x = 35 : 100\), deci \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) și \(x = 60\).
Găsirea procentului. Câte procente reprezintă 18 din 45? Formăm \(18 : 45 = p : 100\), deci \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) și \(p = 40\), adică 40%.
O singură metodă — trei tipuri diferite de probleme, nu este necesar să memorezi nimic suplimentar. Separat merită menționat doar întrebarea „cu câte procente a crescut sau a scăzut o mărime”: acolo se calculează mai întâi modificarea, apoi se împarte la valoarea inițială — aceasta este deja o formulă de modificare procentuală, nu o proporție simplă.
Exemple de rezolvare a proporțiilor cu explicații pas cu pas
Exemplul 1. Termenul mediu necunoscut
Problemă. Găsiți termenul necunoscut al proporției \(15 : x = 45 : 24\).
Pasul 1. Identificăm ce termen este fiecare. Extremii sunt 15 și 24, mezii sunt \(x\) și 45.
Pasul 2. Aplicăm proprietatea fundamentală: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), adică \(360 = 45x\).
Pasul 3. Împărțim: \(x = 360 : 45 = 8\).
Verificare. \(15 : 8 = 1{,}875\) și \(45 : 24 = 1{,}875\) — rapoartele sunt egale.
Răspuns: \(x = 8\).
Exemplul 2. Proporționalitate directă: preț și cantitate
Problemă. Șase caiete costă 210 ₽. Cât costă 10 caiete identice?
Pasul 1. Mai multe caiete — cost mai mare, deci dependența este directă.
Pasul 2. Scriem condiția astfel încât mărimile identice să fie una lângă alta și formăm proporția „ca atare”:
Pasul 3. Pe diagonală: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), deci \(x = 2100 : 6 = 350\).
Verificare. Un caiet costă \(210 : 6 = 35\) ₽, iar zece — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Se potrivește.
Răspuns: 350 ₽.
Exemplul 3. Proporționalitate inversă: muncitori și zile
Problemă. Opt muncitori execută o comandă în 15 zile. În câte zile vor executa aceeași comandă 12 muncitori, dacă lucrează cu aceeași viteză?
Pasul 1. Mai mulți muncitori — mai puține zile necesare. Dependența este inversă.
Pasul 2. Formăm proporția, inversând al doilea raport:
Aici \(x\) sunt zilele pentru 12 muncitori, iar 15 sunt zilele pentru 8 muncitori: au schimbat locurile, deoarece dependența este inversă.
Pasul 3. Pe diagonală: \(8 \cdot 15 = 12x\), adică \(120 = 12x\) și \(x = 10\).
Verificare. Produsul este constant: \(8 \cdot 15 = 120\) și \(12 \cdot 10 = 120\). Se potrivește, iar răspunsul este rezonabil — zilele au scăzut.
Răspuns: 10 zile.
Exemplul 4. Scara hărții
Problemă. Scara hărții este \(1 : 200\,000\). Distanța dintre sate pe hartă este de 7 cm. Care este distanța dintre ele pe teren?
Pasul 1. Scara \(1 : 200\,000\) înseamnă: 1 cm pe hartă corespunde la 200 000 cm pe teren. Acesta este un raport gata format.
Pasul 2. Formăm proporția:
Pasul 3. Pe diagonală: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), adică \(x = 1\,400\,000\) cm.
Pasul 4. Convertim în unități convenabile: într-un kilometru sunt 100 000 cm, deci \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Răspuns: 14 km.
Exemplul 5. Procente prin proporție
Problemă. În clasă sunt 25 de elevi, la excursie au plecat 60% dintre ei. Câți elevi au plecat în excursie?
Pasul 1. Întregul este format din toți cei 25 de elevi, cărora le corespund 100%. Partea căutată este \(x\) elevi, cărora le corespund 60%.
Pasul 2. Formăm proporția „parte : întreg = procent : 100”:
Pasul 3. Pe diagonală: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), deci \(x = 15\).
Verificare. 15 elevi din 25 înseamnă \(15 : 25 = 0{,}6\), adică exact 60%.
Răspuns: 15 elevi.
Greșeli frecvente la rezolvarea proporțiilor
-
Se înmulțesc numerele „pe lung”, nu pe diagonală: în proporția 5 : 2 = 20 : 8 se calculează 5 · 2 și 20 · 8.
Proprietatea fundamentală leagă termenii extremi de mezii, adică numerele pe diagonală: 5 · 8 = 40 și 2 · 20 = 40. Produsele au coincis — proporția este corectă. Iar 5 · 2 și 20 · 8 nu sunt egale și nu spun nimic.
-
În problema cu dependență inversă se formează proporție „directă”. Șase pompe umplu un bazin în 10 ore; scrierea 6 : 15 = 10 : x dă 25 de ore pentru 15 pompe.
Mai multe pompe — mai puțin timp, dar a ieșit mai mult: deci, proporția nu a fost formată corect. Al doilea raport trebuie inversat: 6 : 15 = x : 10, atunci 15x = 60 și x = 4 ore. Întotdeauna verifică răspunsul cu bunul simț.
-
După „înmulțirea pe diagonală” se împarte invers: din egalitatea 8x = 96 se obține x = 8 : 96.
Pentru a găsi x, produsul se împarte la coeficientul care stă lângă x: x = 96 : 8 = 12. Un obicei util — înlocuiește numărul găsit înapoi: 8 · 12 = 96, totul este corect.
-
Nu se aliniază unitățile de măsură. În problema cu scara 1 : 50 000 la 3 cm pe hartă se scrie răspunsul „1,5” fără unități sau se numește metri.
Mai întâi se calculează în unitățile în care este dată scara: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Și abia apoi convertim: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Unitățile din răspuns sunt la fel de importante ca și numărul în sine.
-
Se confundă raportul și proporția: la rugămintea de a forma o proporție se scrie un singur raport „12 : 4”.
Raportul este un singur cât: 12 : 4 = 3. Proporția este egalitatea a două rapoarte, conține obligatoriu patru numere și semnul egal: 12 : 4 = 30 : 10 (verificăm: 12 · 10 = 120 și 4 · 30 = 120).
Întrebări și răspunsuri
Cum diferă raportul de proporție?
Raportul este câtul a două numere, de exemplu 12 : 4. Proporția este egalitatea a două rapoarte, conține patru numere: 12 : 4 = 30 : 10. Raportul răspunde la întrebarea „de câte ori”, iar proporția afirmă că două astfel de comparații dau un rezultat egal.
Ce sunt termenii extremi și mezii unei proporții?
În scrierea a : b = c : d, termenii extremi sunt cei care stau la capete, adică a și d. Mezii sunt cei care stau în mijloc, adică b și c. Dacă proporția este scrisă sub formă de fracții, termenii extremi sunt numărătorul primei fracții și numitorul celei de-a doua, iar mezii — numitorul primei și numărătorul celei de-a doua.
Cum se verifică dacă o proporție este corectă?
Se înmulțesc pe diagonală și se compară produsele. De exemplu, pentru 9 : 12 = 15 : 20 calculăm 9 · 20 = 180 și 12 · 15 = 180 — numerele au coincis, deci proporția este corectă. Dacă produsele sunt diferite, proporția este incorectă.
Se pot schimba locurile membrilor proporției?
Da, dacă se face conform regulilor. Într-o proporție corectă se pot schimba locurile termenilor extremi, se pot schimba locurile mezilor, sau se pot inversa ambele părți simultan — proporția va rămâne corectă. Din 4 : 6 = 10 : 15 obținem 4 : 10 = 6 : 15 sau 6 : 4 = 15 : 10 — produsul pe diagonală este peste tot 60. Dar nu se poate schimba locul doar unui singur număr.
Ce înseamnă „a rezolva proporția pe diagonală”?
Aceasta este denumirea colocvială a proprietății fundamentale a proporției. Numerele se înmulțesc pe diagonală, încrucișat: extremul cu extremul și mediul cu mediul. Se obține o ecuație cu un singur necunoscut, care se rezolvă printr-o singură împărțire. Nu există o „metodă a diagonalei” separată, în afara proprietății fundamentale.
Cum se înțelege dacă dependența dintr-o problemă este directă sau inversă?
Mărește mental prima mărime de 2 ori și privește a doua. Dacă și aceasta a crescut de două ori — dependența este directă, proporția se formează „ca atare”. Dacă a scăzut de două ori — dependența este inversă, al doilea raport trebuie inversat. Un alt indiciu: la dependența directă raportul mărimilor este constant, la cea inversă — produsul lor.
Cum se rezolvă problemele cu procente prin proporție?
Formează proporția „parte : întreg = procent : 100” și găsește necunoscuta pe diagonală. De exemplu, 12% din 350: obținem x : 350 = 12 : 100, deci 100x = 4200 și x = 42. În același mod se caută și întregul după partea cunoscută, și procentul însuși.
