Rădăcina pătrată a unui număr \(a\) este un număr al cărui pătrat este egal cu \(a\), iar rădăcina pătrată aritmetică reprezintă doar valoarea sa nenegativă: \(\sqrt{25} = 5\). Putem extrage rădăcina doar din numere nenegative, însă proprietățile radicalului transformă expresiile complexe în unele simple. Pe această pagină găsești definiția și domeniul de definiție, toate proprietățile rădăcinii pătrate cu formule, tabelul rădăcinilor pătrate de la 1 la 20, metode de extragere a rădăcinii și de scoatere a factorilor, exemple explicate, greșeli frecvente și un simulator interactiv.
Ce este rădăcina pătrată dintr-un număr
Rădăcina pătrată a unui număr \(a\) este acel număr al cărui pătrat este egal cu \(a\). Extragerea rădăcinii și ridicarea la pătrat sunt operații inverse: din \(7^2 = 49\) rezultă imediat că rădăcina pătrată din 49 este 7.
Totuși, un număr pozitiv are exact două rădăcini pătrate, care diferă doar prin semn: \(5^2 = 25\) și \((-5)^2 = 25\), adică rădăcinile pătrate din 25 sunt atât \(5\), cât și \(-5\). Pentru ca notația \(\sqrt{25}\) să reprezinte un singur număr, s-a stabilit: prin semnul \(\sqrt{\phantom{a}}\) se notează doar rădăcina nenegativă. Aceasta se numește aritmetică.
Notația are propriile denumiri: semnul \(\sqrt{\phantom{a}}\) este radicalul, iar numărul sau expresia de sub el este expresia de sub radical.
Rădăcina pătrată aritmetică: definiție și domeniu de definiție
Rădăcina pătrată aritmetică dintr-un număr nenegativ \(a\) se numește numărul nenegativ al cărui pătrat este egal cu \(a\). Se notează cu \(\sqrt{a}\) și se citește „rădăcina din a”.
Definiția conține două condiții la fel de importante:
- expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă: \(a \ge 0\);
- valoarea rădăcinii este nenegativă: \(\sqrt{a} \ge 0\).
De aici rezultă imediat: \(\sqrt{25} = 5\), nu \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); iar notația \(\sqrt{-9}\) nu are sens în mulțimea numerelor reale — nu există niciun număr al cărui pătrat să fie negativ.
Prima condiție stabilește domeniul de definiție al unei expresii cu radical. De exemplu, \(\sqrt{x-7}\) are sens când \(x - 7 \ge 0\), adică \(x \ge 7\): orice valoare mai mică a lui \(x\) ar introduce un număr negativ sub radical.
Din definiție rezultă și egalitatea \((\sqrt{a})^2 = a\) pentru \(a \ge 0\): ridicarea rădăcinii la pătrat returnează numărul de sub radical. Aceasta funcționează chiar și atunci când nu putem calcula exact rădăcina: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabelul rădăcinilor pătrate: pătratele numerelor de la 1 la 20
Rădăcina se extrage exact atunci când numărul de sub radical este un pătrat perfect. De aceea, tabelul pătratelor funcționează și ca tabel al rădăcinilor pătrate: se citește în ambele sensuri — \(14^2 = 196\), deci \(\sqrt{196} = 14\).
Tabelul ajută nu doar la numere întregi:
- fracții zecimale: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), deoarece \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- fracții ordinare: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — rădăcina se extrage separat din numărător și separat din numitor;
- numere rotunde: \(\sqrt{2500} = 50\), deoarece \(2500 = 25 \cdot 100\), iar rădăcina fiecărui factor este cunoscută.
Proprietățile rădăcinii pătrate
Proprietățile rădăcinii pătrate permit calcularea expresiilor fără a extrage fiecare rădăcină separat și simplificarea rezultatului.
Rădăcina unui produs este egală cu produsul rădăcinilor: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pentru \(a \ge 0\) și \(b \ge 0\). De exemplu, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — același rezultat ca și \(\sqrt{144}\).
Rădăcina unui cât este egală cu câtul rădăcinilor: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pentru \(a \ge 0\) și \(b > 0\). De exemplu, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Condiția \(b > 0\) este strictă: împărțirea la zero nu este permisă.
Rădăcina unui pătrat este egală cu modulul: \(\sqrt{a^2} = |a|\), și acest lucru este valabil pentru orice număr \(a\). Aceasta este principala subtilitate a temei. Dacă \(a \ge 0\), nimic nu se schimbă: \(\sqrt{7^2} = 7\). Dar pentru \(a\) negativ, semnul se „redresează”: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), nu \(-6\) — deoarece rădăcina aritmetică nu poate fi negativă.
Pătratul rădăcinii returnează numărul de sub radical: \((\sqrt{a})^2 = a\) pentru \(a \ge 0\).
Totuși, pentru sumă și diferență nu există proprietăți similare: rădăcina unei sume nu este egală cu suma rădăcinilor. Aceasta este cea mai frecventă greșeală, explicația fiind mai jos.
| Proprietate și condiție | Exemplu |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpentru a ≥ 0 și b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpentru a ≥ 0 și b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|pentru orice a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apentru a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpentru b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Cum să extragi rădăcina pătrată dintr-un număr
Nu avem mereu un calculator la îndemână, iar sarcinile școlare sunt aproape întotdeauna concepute astfel încât rădăcina să poată fi extrasă. Ordinea acțiunilor este următoarea:
- Verifică în tabelul pătratelor. Dacă numărul este în tabel, rezultatul este gata: \(\sqrt{289} = 17\).
- Separă un factor rotund. Pentru numere cu zerouri, este util să extragi \(100\), \(10\,000\) etc.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Descompune în factori primi. Aceasta este o metodă universală: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), împărțim exponenții la doi și obținem \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Transformă fracția zecimală în fracție ordinară. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). În același timp, acest lucru previne pierderea ordinului de mărime.
- Dacă nu există un pătrat perfect — rădăcina este irațională. Atunci fie o lăsăm sub formă de simbol (scriem: \(\sqrt{30}\)), fie o estimăm între pătrate vecine.
Verificarea durează o secundă: ridicăm numărul obținut la pătrat și vedem dacă am revenit la numărul de sub radical. \(24^2 = 576\) — corect.
Scoaterea factorilor de sub semnul radicalului
Rădăcina este rar lăsată „brută” — scoatem de sub ea tot ce se poate extrage. Funcționează proprietatea \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) pentru \(b \ge 0\): căutăm cel mai mare divizor pătrat perfect al numărului de sub radical.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Operația inversă este introducerea factorului sub radical: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) pentru \(a \ge 0\). De exemplu, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Cu un factor negativ trebuie să fim atenți: minusul nu intră sub radical și rămâne în exterior. Notația corectă este \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), nu \(\sqrt{12}\).
De ce este necesar: după scoaterea factorului, radicalii cu aceeași expresie de sub radical devin termeni asemenea și pot fi adunați. Iar introducerea factorului sub radical este cea mai rapidă metodă de a compara două expresii cu radicali.
Cât este rădăcina pătrată care nu se extrage
Dacă numărul de sub radical nu este un pătrat perfect, rădăcina este un număr irațional: scrierea sa zecimală este infinită și neperiodică. De exemplu, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), iar valoarea exactă se scrie doar prin simbolul \(\sqrt{2}\). Rezultatul rotunjit se scrie doar atunci când se cere în sarcină.
O astfel de rădăcină poate fi estimată fără calculator: găsim două pătrate perfecte vecine între care se află numărul de sub radical. Funcționează regula de comparare: pentru \(a \ge 0\) și \(b \ge 0\), din \(a < b\) rezultă \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — unui număr mai mare de sub radical îi corespunde o rădăcină mai mare.
Exemple de calcule cu rădăcini pătrate
Exemplul 1. Valoarea unei expresii cu radicali
Calculează \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Pasul 1. \(\sqrt{121} = 11\), deoarece \(11^2 = 121\).
Pasul 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), deoarece \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Pasul 3. Rădăcina dintr-o fracție se extrage din numărător și numitor: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Pasul 4. Adunăm: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Rezultat: 11.
Exemplul 2. Rădăcina unui produs
Calculează \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Pasul 1. Acești radicali nu se extrag separat, deci îi unim într-unul singur: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Pasul 2. Calculăm produsul de sub radical: \(8 \cdot 18 = 144\).
Pasul 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Altă cale — scoatem factorii din timp: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) și \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), atunci \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Rezultatele coincid.
Rezultat: 12.
Exemplul 3. Extragerea rădăcinii prin descompunerea în factori
Calculează \(\sqrt{576}\) și \(\sqrt{6400}\).
Pasul 1. Numărul 576 nu este în tabelul pătratelor, deci îl descompunem în factori primi: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Pasul 2. Împărțim exponenții la doi: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Pasul 3. Verificare. \(24^2 = 576\) — corect.
Pasul 4. Pentru numărul 6400 este mai comod să separăm un factor rotund: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Verificare: \(80^2 = 6400\).
Rezultat: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Exemplul 4. Scoaterea factorului și reducerea termenilor asemenea
Simplifică \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Pasul 1. Scoatem factorii de sub fiecare radical: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), deci \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Pasul 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Pasul 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Pasul 4. Putem aduna doar radicalii cu aceeași expresie de sub radical: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), iar termenul cu \(\sqrt{3}\) rămâne separat.
Rezultat: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Exemplul 5. Rădăcina dintr-un pătrat cu variabilă
Simplifică \(\sqrt{(x-4)^2}\) pentru \(x < 4\).
Pasul 1. Conform proprietății rădăcinii dintr-un pătrat, \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — scriem imediat modulul, nu \(x - 4\).
Pasul 2. Desfacem modulul conform condiției. Dacă \(x < 4\), atunci diferența \(x - 4\) este negativă, iar modulul unui număr negativ este numărul opus: \(|x-4| = 4 - x\).
Pasul 3. Verificare. Luăm \(x = 1\): în stânga \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), în dreapta \(4 - 1 = 3\) — se potrivește.
Rezultat: \(4 - x\). Pentru comparație, pentru \(x \ge 4\) rezultatul ar fi fost \(x - 4\).
Exemplul 6. Compararea expresiilor cu radicali
Compară \(3\sqrt{5}\) și \(5\sqrt{2}\).
Pasul 1. Ambele numere sunt pozitive, deci introducem factorul sub radical: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Pasul 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Pasul 3. Comparăm numerele de sub radical: \(45 < 50\), iar unui număr mai mare de sub radical îi corespunde o rădăcină mai mare.
Rezultat: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Greșeli frecvente în lucrul cu rădăcina pătrată
-
Scriu $\sqrt{a^2} = a$, uitând de modul.
Egalitatea corectă este \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pentru un număr negativ, acest lucru este esențial: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), nu \(-13\). Rădăcina aritmetică nu poate fi negativă, de aceea semnul de sub radical se „redresează”.
-
Consideră că rădăcina unei sume este egală cu suma rădăcinilor: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
O astfel de proprietate nu există. Mai întâi efectuăm operația de sub radical: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), nu 7. Proprietățile există doar pentru produs și cât: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) și \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Răspund că $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — rădăcina aritmetică este întotdeauna una singură și este nenegativă. Două valori apar în altă sarcină: ecuația \(x^2 = 49\) are rădăcinile \(x = 7\) și \(x = -7\). Nu trebuie confundată notația rădăcinii cu rezolvarea ecuației.
-
Scriu $\sqrt{-16} = -4$, raționând „minus cu minus”.
Sub radical nu poate sta un număr negativ: \((-4)^2 = 16\), nu \(-16\), deci \(\sqrt{-16}\) nu există în mulțimea numerelor reale. Însă expresia \(-\sqrt{16} = -4\) este perfect corectă — minusul stă în fața radicalului, nu sub el.
-
Introduc un factor negativ sub radical: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Regula \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) funcționează doar pentru \(a \ge 0\). Minusul rămâne în exterior: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Verificare prin semn: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), iar \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — numere opuse.
-
Pierd ordinul de mărime la fracția zecimală: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Verificați prin ridicarea inversă la pătrat: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), nu se potrivește. Corect este \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), deoarece \(0{,}2^2 = 0{,}04\). O metodă sigură este trecerea la fracția ordinară: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Sunt siguri că rădăcina este întotdeauna mai mică decât numărul în sine.
Acest lucru este valabil doar pentru numere mai mari decât unu. Pe intervalul de la 0 la 1 totul este invers: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), iar \(0{,}5\) este mai mare decât \(0{,}25\). Iar pentru 0 și 1, rădăcina este egală cu numărul în sine.
Întrebări și răspunsuri
Ce este rădăcina pătrată aritmetică în cuvinte simple?
Este un număr nenegativ care, ridicat la pătrat, dă numărul de sub radical. Se notează \(\sqrt{a}\), iar expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă: \(a \ge 0\). De exemplu, \(\sqrt{64} = 8\), deoarece \(8 \ge 0\) și \(8^2 = 64\).
Cu ce diferă rădăcina pătrată de rădăcina pătrată aritmetică?
Un număr pozitiv are două rădăcini pătrate — opuse ca semn. Aritmetică se numește doar cea nenegativă dintre ele, și tocmai pe aceasta o reprezintă semnul \(\sqrt{\phantom{a}}\). De aceea \(\sqrt{25} = 5\), deși ecuația \(x^2 = 25\) are două rădăcini: 5 și \(-5\).
Cum să extragi rădăcina pătrată dintr-un număr fără calculator?
Mai întâi verifică numărul în tabelul pătratelor. Dacă nu este acolo — descompune-l în factori și extrage pătratele perfecte: \(784 = 16 \cdot 49\), deci \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Verifică întotdeauna rezultatul prin operația inversă: \(28^2 = 784\).
Se poate extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ?
În mulțimea numerelor reale — nu: pătratul oricărui număr este nenegativ, deci expresia \(\sqrt{-9}\) nu are sens. Tocmai din această condiție se caută domeniul de definiție: de exemplu, \(\sqrt{x-7}\) există doar pentru \(x \ge 7\).
Cât este rădăcina dintr-un pătrat al unui număr?
Modulul acestui număr: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pentru \(a\) nenegativ, obținem numărul în sine, pentru \(a\) negativ — opusul său: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Cum să scoți factorul de sub semnul radicalului?
Găsește cel mai mare divizor pătrat perfect al numărului de sub radical și aplică proprietatea \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). De exemplu, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Operația inversă este introducerea factorului sub radical: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Cât este rădăcina pătrată din 2?
Numărul \(\sqrt{2}\) este irațional: scrierea sa zecimală este infinită și neperiodică, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Nu există o valoare exactă sub formă de fracție, deci în rezultate se lasă simbolul \(\sqrt{2}\), iar rotunjirea se face doar dacă cerința o impune.
Cum să compari două numere cu radicali fără a le calcula?
Introdu factorii sub radical și compară numerele de sub radical: unui număr mai mare de sub radical îi corespunde o rădăcină mai mare. De exemplu, \(\sqrt{17}\) și 4: deoarece \(4 = \sqrt{16}\) și \(17 > 16\), atunci \(\sqrt{17} > 4\).
În ce clasă se studiază rădăcinile pătrate?
În clasa a 8-a la lecțiile de algebră: mai întâi definiția rădăcinii pătrate aritmetice și proprietățile sale, apoi transformarea expresiilor cu radicali și rezolvarea ecuațiilor de tipul \(x^2 = a\). Ulterior, radicalii apar în formula discriminantului și în sarcinile de la examene.
