Criteriile de divizibilitate sunt reguli care permit să afli dacă un număr se împarte exact, fără a efectua împărțirea: este suficient să te uiți la ultimele cifre sau să aduni toate cifrele numărului. Pe această pagină este prezentat un tabel cu criteriile de divizibilitate la 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 și 25, o analiză clară a criteriilor la 3 și la 9 prin suma cifrelor, exemple cu rezolvare, greșeli frecvente și un simulator interactiv unde te poți verifica imediat.
Ce este un criteriu de divizibilitate
Un criteriu de divizibilitate este o regulă după care se poate afla dacă un număr se împarte exact la alt număr, fără a efectua împărțirea. Este suficient să te uiți la ultimele cifre sau să aduni toate cifrele numărului.
Criteriile de divizibilitate ajută oriunde este necesar să înțelegi rapid „structura” unui număr:
- la simplificarea fracțiilor — se vede imediat la ce se poate simplifica numărătorul și numitorul;
- la descompunerea unui număr în factori primi;
- la găsirea celui mai mare divizor comun și a celui mai mic multiplu comun;
- la verificarea rapidă a răspunsului la exerciții și probleme.
Este important să nu confunzi două întrebări diferite. „Se împarte 3726 la 9?” — la aceasta răspunde criteriul de divizibilitate: suma cifrelor 3 + 7 + 2 + 6 = 18 se împarte la 9, deci da. Iar „cât obții?” — aceasta este deja împărțirea propriu-zisă: 3726 : 9 = 414. Criteriul oferă doar răspunsul „da” sau „nu”, dar în schimb instantaneu și mental.
Tabelul criteriilor de divizibilitate
Toate criteriile de divizibilitate din școală sunt convenabil de ținut în fața ochilor într-un singur tabel. Culoarea indică unde să te uiți: la ultima cifră, la suma cifrelor, la „coada” formată din două-trei cifre finale sau direct la două criterii.
| La ce | Criteriu de divizibilitate | Exemplu |
|---|---|---|
| 2 | ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8 | 3726 → 6 |
| 3 | suma cifrelor se împarte la 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | ultima cifră este 0 sau 5 | 1435 → 5 |
| 6 | se împarte și la 2, și la 3 simultan | 5124 → 4 și 12 |
| 8 | ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | suma cifrelor se împarte la 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | ultima cifră este 0 | 2340 → 0 |
| 11 | cifrele de la dreapta la stânga, alternativ cu + și −; suma se împarte la 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75 | 1875 → 75 |
Criterii de divizibilitate la 2, 5 și 10
Cel mai simplu grup: ne uităm doar la ultima cifră, celelalte nu contează.
- la 2 se împart toate numerele pare — cele care se termină în 0, 2, 4, 6 sau 8;
- la 5 — numerele care se termină în 0 sau 5;
- la 10 — numerele care se termină în 0.
Lungimea numărului nu contează: 987 654 320 se împarte și la 2, și la 5, și la 10, deoarece se termină cu zero. Iar 1435 se împarte la 5 (ultima cifră 5), dar nu se împarte nici la 2, nici la 10 — numărul este impar.
De aici o concluzie utilă: la 10 se împart exact acele numere care se împart și la 2, și la 5 simultan.
Criterii de divizibilitate la 3 și la 9: suma cifrelor
Aici ultima cifră nu rezolvă nimic — funcționează suma tuturor cifrelor numărului:
- numărul se împarte la 3, dacă suma cifrelor sale se împarte la 3;
- numărul se împarte la 9, dacă suma cifrelor sale se împarte la 9.
Dacă suma obținută este mare, criteriul poate fi aplicat din nou: la numărul 899 991 suma cifrelor 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, iar la 45 suma 4 + 5 = 9 — deci numărul inițial se împarte și la 9, și la 3.
Criteriile sunt similare, dar nu se înlocuiesc reciproc. Orice număr care se împarte la 9 se împarte și la 3 — deoarece nouă însuși se împarte la trei. Inversul nu este valabil: suma cifrelor se poate împărți la 3 și, în același timp, să nu se împartă la 9, iar atunci numărul trece doar printr-unul din cele două criterii. Ambele cazuri sunt analizate mai jos.
Criterii de divizibilitate la 4, 8 și 25: ne uităm la coada numărului
Ultima cifră nu este suficientă aici — este necesară o „coadă” formată din câteva cifre finale:
- la 4 se împarte numărul la care ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4;
- la 8 — dacă ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8;
- la 25 — dacă ultimele două cifre formează 00, 25, 50 sau 75.
De ce este suficientă coada: 100 se împarte și la 4, și la 25, iar 1000 se împarte la 8. Prin urmare, tot ce se află în stânga se împarte deja la numărul necesar și nu influențează rezultatul.
De aici o consecință importantă: paritatea nu este suficientă pentru patru și opt. Un număr poate fi par, dar dacă coada sa de două sau trei cifre nu se împarte exact, atunci nici întregul număr nu se împarte. Analiza cozilor este în caseta de mai jos.
Criteriul de divizibilitate la 6
Șasele nu are o regulă proprie separată: 6 = 2 · 3, iar factorii sunt primi între ei. Prin urmare, criteriul este compus — numărul se împarte la 6 dacă se împarte simultan la 2 și la 3.
Verificăm 5124: ultima cifră 4 — numărul este par, deci se împarte la 2; suma cifrelor 5 + 1 + 2 + 4 = 12 se împarte la 3. Ambele condiții sunt îndeplinite → 5124 : 6 = 854.
Paritatea singură nu este suficientă: 1000 este par, dar suma cifrelor sale este 1 și nu se împarte la 3, prin urmare numărul nu se împarte la 6. Nici jumătatea inversă nu funcționează: la 4521 suma cifrelor 12 se împarte la 3, dar numărul în sine este impar — nu se împarte nici la 6.
Exact în același mod se construiesc și alte criterii compuse: la 12 — se împarte la 3 și la 4, la 15 — la 3 și la 5, la 18 — la 2 și la 9, la 45 — la 5 și la 9.
Criteriul de divizibilitate la 11
Criteriul de divizibilitate la 11 folosește suma alternantă a cifrelor. Cifrele se adună, începând cu ultima, schimbând alternativ semnul: plus, minus, plus, minus. Dacă rezultatul se împarte la 11 (inclusiv este zero), atunci și întregul număr se împarte la 11.
Același criteriu este adesea formulat diferit: diferența dintre suma cifrelor aflate pe locuri impare și suma cifrelor aflate pe locuri pare trebuie să se împartă la 11. Aceasta este aceeași regulă.
Exemple cu criterii de divizibilitate
Exemplul 1. La ce numere se împarte 7254
Exercițiu. Determină la ce numere dintre 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 se împarte 7254.
Pasul 1. La 2. Ultima cifră 4 — pară. Se împarte: 7254 : 2 = 3627.
Pasul 2. La 5 și la 10. Numărul se termină în 4, nu în 0 sau 5. Nu se împarte nici la 5, nici la 10.
Pasul 3. La 3 și la 9. Suma cifrelor: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Aceasta se împarte și la 3, și la 9. Deci, 7254 : 3 = 2418 și 7254 : 9 = 806.
Pasul 4. La 6. Numărul se împarte și la 2, și la 3 — deci se împarte la 6: 7254 : 6 = 1209.
Pasul 5. La 4. Ultimele două cifre formează 54, iar 54 nu se împarte la 4. Nu se împarte.
Răspuns. 7254 se împarte la 2, 3, 6 și 9.
Exemplul 2. Se împarte 4715 la 3 și la 9
Exercițiu. Verifică divizibilitatea numărului 4715 la 3 și la 9.
Pasul 1. Adunăm cifrele: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Pasul 2. La 3. 17 nu se împarte la 3 (multiplii cei mai apropiați — 15 și 18). Deci, nici 4715 nu se împarte la 3.
Pasul 3. La 9. 17 nici atât nu se împarte la 9. Deci, 4715 nu se împarte nici la 9.
Ce știe numărul totuși. Ultima cifră 5 → numărul se împarte la 5: 4715 : 5 = 943. Nu se împarte la 2 și la 10 — este impar.
Răspuns. Nici la 3, nici la 9 numărul 4715 nu se împarte.
Exemplul 3. Divizibilitatea la 4 și la 8: numărul 6248
Exercițiu. Verifică dacă 6248 se împarte la 4 și la 8.
Pasul 1. La 4. Luăm ultimele două cifre: 48. Numărul 48 se împarte la 4 (48 : 4 = 12), deci și 6248 se împarte: 6248 : 4 = 1562.
Pasul 2. La 8. Luăm ultimele trei cifre: 248. Împărțim: 248 : 8 = 31 — se împarte. Deci, 6248 : 8 = 781.
Atenție la raționamentul invers. Din divizibilitatea la 4 nu rezultă divizibilitatea la 8: la numărul 6244 coada 44 se împarte la 4 (6244 : 4 = 1561), iar ultimele trei cifre 244 nu se împart la 8 — numărul nu se împarte la 8.
Răspuns. 6248 se împarte și la 4, și la 8.
Exemplul 4. Criteriul de divizibilitate la 11: numărul 2926
Exercițiu. Verifică dacă 2926 se împarte la 11.
Pasul 1. Scriem cifrele și le aranjăm semnele de la dreapta: ultima cifră cu semnul plus, apoi alternativ minus și plus.
Pasul 2. Calculăm suma alternantă: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Pasul 3. Rezultatul 11 se împarte la 11 → se împarte și întregul număr.
Verificare prin împărțire. 2926 : 11 = 266.
Răspuns. 2926 se împarte la 11.
Exemplul 5. Simplificăm fracția folosind criteriile de divizibilitate
Exercițiu. Simplifică fracția 270/378.
Pasul 1. Calculăm sumele cifrelor: 2 + 7 + 0 = 9 și 3 + 7 + 8 = 18. Ambele se împart la 9 → și numărătorul, și numitorul se împart la 9.
Pasul 2. Simplificăm la 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Obținem 30/42.
Pasul 3. Ambele numere sunt pare → simplificăm la 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Obținem 15/21.
Pasul 4. Suma cifrelor 6 și 3 se împarte la 3 → simplificăm la 3.
Răspuns. 270/378 = 5/7.
Greșeli frecvente la criteriile de divizibilitate
-
Divizibilitatea la 6 se verifică doar prin paritate: dacă numărul este par — înseamnă că se împarte la 6.
Sunt necesare ambele condiții simultan: și la 2, și la 3. Numărul 7124 este par, dar suma cifrelor sale 14 nu se împarte la 3, prin urmare nu se împarte la 6. Și invers: 3471 trece criteriul lui trei (suma 15, 3471 : 3 = 1157), dar este impar — nu se împarte nici la 6.
-
Pentru divizibilitatea la 4 se privește o singură cifră finală: „8 se împarte la 4, deci și 9138 va fi potrivit”.
Pentru patru se iau ULTIMELE DOUĂ cifre. La 9138 acestea sunt 38, iar 38 nu se împarte la 4. Exemplu corect: la 9136 coada este 36, 36 : 4 = 9, deci 9136 : 4 = 2284. Pentru opt, coada este și mai lungă — trei cifre.
-
Criteriul de divizibilitate la 9 se verifică după ultima cifră: se caută numere care se termină în 9 sau în 0.
Ultima cifră pentru nouă nu înseamnă nimic. Se calculează suma tuturor cifrelor: la 4563 aceasta este 18, suma se împarte la 9 — și numărul se împarte (4563 : 9 = 507), deși se termină în 3.
-
Se consideră că dacă un număr se împarte la 3, atunci se împarte și la 9.
Funcționează doar într-un singur sens: se împarte la 9 → se împarte și la 3. Inversul nu este valabil. La 8241 suma cifrelor este 15: se împarte la 3 (8241 : 3 = 2747), dar nu la 9.
-
Pentru criteriul la 11 se adună pur și simplu toate cifrele, ca pentru 3 și 9.
La unsprezece suma este alternantă: cifrele se adună de la dreapta, schimbând semnul la fiecare două. Pentru 6479 aceasta este 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → se împarte (6479 : 11 = 589). Suma obișnuită a cifrelor aici este 26 și nu spune nimic.
-
Criteriul de divizibilitate se confundă cu împărțirea propriu-zisă: la întrebarea „se împarte 5391 la 9” se răspunde „da, 18”.
18 este suma cifrelor, un rezultat intermediar al criteriului. Câtul se calculează separat: 5391 : 9 = 599. Criteriul răspunde doar „se împarte / nu se împarte”.
Întrebări și răspunsuri
Ce este un criteriu de divizibilitate în cuvinte simple?
Este o regulă care permite să afli dacă un număr se va împărți exact, fără a efectua împărțirea. De obicei, este suficient să te uiți la ultimele cifre ale numărului sau să aduni toate cifrele sale.
Cum să afli dacă un număr se împarte la 3?
Adună toate cifrele numărului. Dacă suma obținută se împarte la 3, atunci și numărul în sine se împarte la 3. De exemplu, la 2571 suma cifrelor este 2 + 5 + 7 + 1 = 15, iar 15 se împarte la 3 → 2571 : 3 = 857.
Prin ce se diferențiază criteriul de divizibilitate la 3 de criteriul la 9?
Regula este aceeași — se calculează suma cifrelor, dar se verifică pe numere diferite: pentru trei suma trebuie să se împartă la 3, pentru nouă — la 9. Prin urmare, orice număr care se împarte la 9 se împarte și la 3, dar inversul nu este întotdeauna valabil: la 9420 suma cifrelor 15 se împarte la 3 (9420 : 3 = 3140), dar nu la 9.
Ce faci dacă suma cifrelor a ieșit mare?
Aplică criteriul încă o dată — deja la sumă. La numărul 777 771 suma cifrelor este 36, la 36 suma este 3 + 6 = 9. Nouă se împarte la 9, deci și numărul inițial se împarte la 9 (și implicit la 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Există criteriu de divizibilitate la 7?
O regulă simplă precum suma cifrelor pentru șapte nu există, și în tabelul școlar de criterii nu este inclusă. Există o metodă: se elimină ultima cifră, se dublează și se scade din numărul rămas. De exemplu, pentru 343: eliminăm 3, dublăm — 6, calculăm 34 − 6 = 28. Numărul 28 se împarte la 7, deci și 343 se împarte: 343 : 7 = 49.
Care sunt criteriile de divizibilitate la 12, 15 și 45?
Sunt compuse — numărul trebuie să treacă simultan două criterii: la 12 — să se împartă la 3 și la 4, la 15 — la 3 și la 5, la 45 — la 5 și la 9. Este important ca factorii să fie primi între ei: descompunerea 12 = 2 · 6 nu este potrivită, deoarece 18 se împarte și la 2, și la 6, dar nu se împarte la 12.
În ce clasă se studiază criteriile de divizibilitate?
În clasa a 6-a la orele de matematică: mai întâi criteriile la 10, 5 și 2, apoi la 3 și la 9. Criteriile la 4, 8, 11 și 25 sunt de obicei explicate suplimentar — vor fi utile la simplificarea fracțiilor și la olimpiade.
