Teorema lui Viète leagă rădăcinile unei ecuații pătratice de coeficienții săi: pentru ecuația redusă \(x^2 + px + q = 0\), suma rădăcinilor este egală cu \(-p\), iar produsul este egal cu \(q\). Acest lucru permite găsirea rădăcinilor "din cap" — prin ghicire, fără discriminant. Pe această pagină — formule precise pentru ecuația redusă și pentru forma generală, teorema inversă a lui Viète, algoritmul de ghicire a rădăcinilor, exemple rezolvate și un simulator interactiv.
Ce este teorema lui Viète
Teorema lui Viète este o regulă care leagă rădăcinile unei ecuații pătratice de coeficienții săi. Ea se formulează astfel: dacă \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse \(x^2 + px + q = 0\), atunci
În cuvinte: suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semn opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Semnul minus la sumă este cel mai important loc din toată tema: se scrie anume \(-p\), nu \(p\).
Pentru ecuația de formă generală \(ax^2 + bx + c = 0\) (unde \(a \neq 0\)), formulele se obțin prin împărțirea la \(a\):
Teorema funcționează numai atunci când există rădăcini reale, adică pentru \(D \ge 0\). Dacă discriminantul este negativ, nu este nimic de ghicit: nu există numere reale cu o astfel de sumă și un astfel de produs.
Ecuația redusă și forma generală: unde este necesar să se împartă la a
Redusă se numește ecuația pătratică la care coeficientul lui \(x^2\) este egal cu unu: \(x^2 + px + q = 0\). Anume pentru ea teorema lui Viète sună cel mai scurt, de aceea ghicirea rădăcinilor se începe întotdeauna cu reducerea la forma standard.
Dacă \(a \neq 1\), ecuația se împarte mai întâi la \(a\) termen cu termen. De exemplu, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) după împărțirea la \(3\) se transformă în \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), adică \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). De aici \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) și \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Aceeași idee poate fi scrisă imediat pentru forma generală, fără a reduce ecuația: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Greșeala cea mai frecventă este aplicarea formulelor „scurte” \(-p\) și \(q\) la o ecuație nerudusă și obținerea sumei \(10\) în loc de \(\frac{10}{3}\).
Teorema inversă a lui Viète
Teorema lui Viète are o variantă inversă, și anume ea permite rezolvarea ecuațiilor prin ghicire. Ea sună astfel: dacă numerele \(m\) și \(n\) sunt astfel încât
atunci \(m\) și \(n\) sunt rădăcinile ecuației \(x^2 + px + q = 0\).
Diferența este fundamentală. Teorema directă merge de la rădăcini la coeficienți: rădăcinile sunt deja cunoscute, obținem legături între ele. Teorema inversă merge invers: am ghicit o pereche de numere cu suma și produsul necesar — și avem tot dreptul să le numim rădăcini, nu mai este nimic de demonstrat.
De aici rezultă și o regulă utilă: dacă \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcini, atunci polinomul se descompune în factori \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). De exemplu, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Ghicirea rădăcinilor prin teorema lui Viète: algoritm
Ghicirea rădăcinilor — principala aplicație practică a teoremei. Funcționează mai rapid decât discriminantul, atunci când rădăcinile sunt întregi, și necesită cinci pași.
Semnele rădăcinilor conform coeficienților p și q
Chiar înainte de a ghici, poți înțelege ce semne vor avea rădăcinile — este suficient să te uiți la semnele lui \(p\) și \(q\). Acest lucru scurtează mult procesul de căutare: devine imediat clar dacă trebuie să cauți o pereche de numere pozitive, două negative sau numere de semne diferite.
| p și q | Rădăcini | Exemplu |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | ambele > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | ambele < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | semne diferite | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 și −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorema lui Viète sau discriminantul: ce să alegi
Formula rădăcinilor prin discriminant \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funcționează întotdeauna, dar necesită calcule. Teorema lui Viète funcționează instantaneu, dar numai dacă rădăcinile pot fi ghicite — de obicei, acestea sunt numere întregi mici.
Regula practică este următoarea:
- ecuația este redusă, iar \(q\) se descompune în factori mici → încearcă ghicirea prin Viète, răspunsul se obține oral;
- coeficienții sunt mari sau fracționari, rădăcinile nu se ghicesc în 10–15 secunde → calculează discriminantul;
- este necesar doar numărul rădăcinilor sau semnele rădăcinilor, iar rădăcinile în sine nu sunt necesare → este suficient D și tabelul de semne de mai sus.
Este utilă și o combinație: ai calculat discriminantul și ai găsit rădăcinile — verifică răspunsul prin Viète. Suma ar trebui să dea \(-p\), produsul \(q\). O astfel de verificare durează câteva secunde și prinde aproape orice greșeală aritmetică.
Exemple de rezolvare prin teorema lui Viète
Exemplul 1. Ghicirea rădăcinilor: ambele rădăcini sunt pozitive
Rezolvă \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Pasul 1. Ecuația este redusă: \(p = -9\), \(q = 20\).
Pasul 2. Verificăm discriminantul: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — există două rădăcini.
Pasul 3. Scriem relațiile: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Pasul 4. Parcurgem descompunerile numărului 20: \(1\cdot 20\) (suma 21), \(2\cdot 10\) (suma 12), \(4\cdot 5\) (suma 9) — se potrivește ultima pereche. Ambii factori sunt pozitivi, deoarece \(q > 0\), iar \(p < 0\).
Pasul 5. Verificare prin substituție. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Exemplul 2. Rădăcini de semne diferite
Rezolvă \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Pasul 1. Ecuația este redusă: \(p = 3\), \(q = -28\).
Pasul 2. \(q < 0\), deci rădăcinile au semne diferite și discriminantul este garantat pozitiv: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Pasul 3. Relații: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Pasul 4. Descompunerile lui 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Este necesară o diferență de 3 — se potrivește perechea 4 și 7. Deoarece suma este negativă, rădăcina cu modulul mai mare o luăm cu semn minus: \(4\) și \(-7\).
Pasul 5. Verificare. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Exemplul 3. Ecuație de formă generală (a ≠ 1)
Rezolvă \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Pasul 1. Coeficientul \(a = 3\), de aceea formulele „scurte” \(-p\) și \(q\) nu pot fi aplicate. Folosim forma generală: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Pasul 2. Produsul este egal cu 1 — deci rădăcinile sunt invers proporționale: dacă una este \(t\), cealaltă este \(\tfrac{1}{t}\). Suma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) sugerează \(t = 3\), deoarece \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Pasul 3. Verificare prin substituție. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Răspuns: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Exemplul 4. Construiește ecuația după rădăcinile sale
Sarcină. Construiește o ecuație pătratică redusă ale cărei rădăcini sunt \(-4\) și \(6\).
Pasul 1. Calculăm suma și produsul: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Pasul 2. Conform teoremei inverse a lui Viète, coeficienții sunt \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) și \(q = x_1 x_2 = -24\). Aici se ascunde principala capcană: \(p\) este suma cu semn opus.
Pasul 3. Scriem ecuația: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Pasul 4. Verificare prin substituție. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Răspuns: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Același rezultat îl dă descompunerea \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Exemplul 5. Verificarea răspunsului altcuiva prin teorema lui Viète
Sarcină. Un elev a rezolvat ecuația \(x^2 + 5x + 6 = 0\) și a scris răspunsul: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Verifică dacă s-a înșelat.
Pasul 1. Prin Viète, ar trebui să avem \(x_1 + x_2 = -p = -5\) și \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Pasul 2. La răspunsul propus, produsul se potrivește (\(2\cdot 3 = 6\)), dar suma nu: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Deci, răspunsul este incorect: s-a pierdut un semn.
Pasul 3. Căutăm perechea corectă: avem nevoie de numere cu produsul 6 și suma −5 — acestea sunt −2 și −3 (ambele negative, deoarece \(q > 0\) și \(p > 0\)).
Pasul 4. Verificare prin substituție. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Răspuns: rădăcinile corecte sunt \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Greșeli frecvente la lucrul cu teorema lui Viète
-
Se pierde minusul la sumă: se scrie $x_1 + x_2 = p$ în loc de $x_1 + x_2 = -p$.
Minusul este doar la sumă, produsul se ia cu același semn: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Verifică pe ecuația simplă \(x^2 - 5x + 6 = 0\): aici \(p = -5\), suma rădăcinilor este egală cu \(5\), iar rădăcinile sunt într-adevăr 2 și 3.
-
Se aplică formulele $-p$ și $q$ la o ecuație nerudusă: pentru $2x^2 - 9x + 4 = 0$ se spune „suma 9, produs 4”.
Atâta timp cât \(a \neq 1\), funcționează formulele generale: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Rădăcinile aici sunt 4 și \(\tfrac{1}{2}\), nu 4 și 1. Sau, mai întâi, împarte toată ecuația la \(a\).
-
Se încearcă ghicirea rădăcinilor fără a verifica discriminantul: la $x^2 + x + 1 = 0$ se încearcă găsirea unei perechi de numere cu suma −1 și produsul 1.
Mai întâi asigură-te că există rădăcini: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), nu există rădăcini reale, deci ghicirea este imposibilă. Teorema lui Viète funcționează numai pentru \(D \ge 0\).
-
Se alege o pereche doar după produs, fără a verifica suma: pentru $x^2 - 8x + 12 = 0$ se iau 3 și 4, deoarece produsul lor este 12.
Trebuie verificate ambele relații simultan. Pentru \(x^2 - 8x + 12 = 0\), produsul 12 este dat de perechile (1; 12), (2; 6), (3; 4), iar suma 8 — doar de perechea 2 și 6. Verificare: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) și \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
La construirea ecuației după rădăcini, se ia $p$ egal cu suma: pentru rădăcinile 2 și 5 se scrie $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Coeficientul \(p\) este egal cu suma cu semn opus: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), adică \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Substituția confirmă: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Se consideră că teorema lui Viète este valabilă doar pentru rădăcini întregi și nu se aplică pentru verificarea răspunsului.
Relațiile \(x_1 + x_2 = -p\) și \(x_1 x_2 = q\) sunt valabile pentru orice rădăcini reale — întregi, fracționare și iraționale. Doar ghicirea orală este convenabilă pentru cele întregi, iar pentru celelalte, teorema rămâne un mod rapid de a verifica răspunsul găsit prin discriminant.
Întrebări și răspunsuri
Cum sună teorema lui Viète în cuvinte simple?
Dacă o ecuație pătratică redusă \(x^2 + px + q = 0\) are rădăcini, atunci suma lor este egală cu al doilea coeficient cu semn opus, iar produsul este egal cu termenul liber: \(x_1 + x_2 = -p\) și \(x_1 x_2 = q\).
Cât sunt suma și produsul rădăcinilor ecuației $ax^2 + bx + c = 0$?
Pentru ecuația de formă generală, suma rădăcinilor este egală cu \(-\dfrac{b}{a}\), iar produsul \(\dfrac{c}{a}\). Aceste formule se obțin din cazul redus prin împărțirea întregii ecuații la \(a\).
Prin ce se diferențiază teorema inversă a lui Viète de cea directă?
Teorema directă merge de la rădăcini la coeficienți: cunoscând rădăcinile, obținem suma \(-p\) și produsul \(q\). Teorema inversă merge invers: dacă o pereche de numere dă suma și produsul necesar, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Anume teorema inversă permite rezolvarea ecuațiilor prin ghicire.
Cum se ghicesc rădăcinile prin teorema lui Viète?
Adu ecuația la forma \(x^2 + px + q = 0\), asigură-te că \(D \ge 0\), scrie \(x_1 + x_2 = -p\) și \(x_1 x_2 = q\), parcurge descompunerile numărului \(q\) în perechi de factori și alege perechea a cărei sumă este egală cu \(-p\). De exemplu, pentru \(x^2 + 6x + 8 = 0\) sunt necesare numere cu produsul 8 și suma −6 — acestea sunt −2 și −4.
Funcționează teorema lui Viète dacă coeficientul lui $x^2$ nu este egal cu unu?
Da, dar în forma generală: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Formulele scurte \(-p\) și \(q\) sunt valabile doar pentru ecuația redusă, de aceea, la \(a \neq 1\), ecuația se împarte mai întâi la \(a\).
Ce faci dacă rădăcinile nu se pot ghici prin teorema lui Viète?
Înseamnă că rădăcinile nu sunt întregi sau nu există deloc. Calculează discriminantul: la \(D < 0\) nu există rădăcini reale, iar la \(D \ge 0\) găsește rădăcinile după formula \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) și abia apoi verifică răspunsul prin teorema lui Viète.
Cum se determină semnele rădăcinilor fără a rezolva ecuația?
După semnele lui \(p\) și \(q\) la \(D \ge 0\): dacă \(q > 0\) și \(p < 0\) — ambele rădăcini sunt pozitive; dacă \(q > 0\) și \(p > 0\) — ambele sunt negative; dacă \(q < 0\) — rădăcinile au semne diferite; dacă \(q = 0\) — una dintre rădăcini este zero.
În ce clasă se studiază teorema lui Viète?
În clasa a 8-a la lecțiile de algebră, imediat după ecuațiile pătratice și discriminant. Mai departe este folosită la descompunerea trinomului pătratic în factori \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), la studiul rădăcinilor cu parametru și în problemele de la OGE și EGE.
