O progresie aritmetică este un șir de numere în care fiecare termen următor este mai mare decât cel precedent cu același număr \(d\) (rația progresiei). Orice termen al acesteia se găsește folosind formula \(a_n = a_1 + (n-1)d\), iar suma primilor \(n\) termeni — folosind formula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Pe această pagină sunt explicate definiția și rația, ambele formule pentru sumă, proprietatea caracteristică, verificarea apartenenței unui număr la progresie, diferența față de progresia geometrică, probleme tipice pentru OGE și un simulator interactiv pentru autoevaluare.
Ce este o progresie aritmetică
Progresia aritmetică este un șir numeric în care fiecare termen următor se obține din cel precedent prin adunarea aceluiași număr. Acest număr se numește rația progresiei și se notează cu litera \(d\).
Definiția printr-o singură formulă: șirul \(a_1, a_2, a_3, \dots\) se numește progresie aritmetică dacă pentru orice număr \(n\) este îndeplinită egalitatea
Să luăm șirul 3, 7, 11, 15, 19, … Primul termen aici este \(a_1 = 3\), iar rația \(d = 4\): fiecare număr următor este mai mare decât cel precedent exact cu 4. Prin urmare, următorul termen este 23, iar înaintea lui 3 (dacă am continua înapoi) ar fi fost cifra 1 cu semnul minus.
Întreaga progresie este definită de doar două numere — primul termen \(a_1\) și rația \(d\). Cunoscând această pereche, poți afla orice termen, poți calcula suma oricărui număr de termeni și poți verifica dacă un număr dat se regăsește în șir. Progresia se notează cu simbolul \((a_n)\), iar termenii ei cu \(a_1, a_2, a_3\) și așa mai departe, unde indicele inferior indică întotdeauna poziția (numărul), nu valoarea.
Rația progresiei aritmetice: cum să afli d
Rația este întotdeauna termenul următor minus cel precedent:
Ordinea scăderii este importantă: dacă scazi invers, semnul rației va fi opus. Pentru șirul 20, 17, 14, 11, 8 rația este egală cu \(17 - 20 = -3\), nu \(+3\).
Semnul lui \(d\) determină complet comportamentul progresiei:
- \(d > 0\) — progresia este crescătoare, termenii cresc;
- \(d < 0\) — progresia este descrescătoare, termenii scad;
- \(d = 0\) — toți termenii sunt egali, de exemplu 6, 6, 6, 6, … Aceasta este tot o progresie aritmetică, doar că este constantă.
Dacă se cunosc doi termeni cu indici diferiți, rația se găsește folosind formula
Exemplu. Fie \(a_4 = 30\) și \(a_{10} = 6\). Atunci \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), iar primul termen este \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Să verificăm începutul progresiei: 42, 38, 34, 30 — al patrulea termen este într-adevăr 30.
Rația nu trebuie să fie neapărat un număr întreg: pentru șirul 1; 1,5; 2; 2,5 rația este 0,5, și aceasta este o progresie aritmetică validă.
Formula termenului n al progresiei aritmetice
Formula principală a temei permite găsirea oricărui termen fără a-i scrie pe toți cei precedenți:
De unde vine \(n - 1\)? Pentru a ajunge de la primul termen la cel de-al \(n\)-lea, rația se adună nu de \(n\) ori, ci cu o dată mai puțin: până la al doilea termen — un pas, până la al treilea — doi, până la al douăzecelea — nouăsprezece.
Exemplu. Pentru progresia 3, 7, 11, 15, 19, … avem \(a_1 = 3\) și \(d = 4\), deci
O astfel de scriere compactă este foarte utilă: se vede imediat că \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), iar \(a_{100} = 399\). Totodată, ea indică rația: la orice progresie aritmetică, formula termenului \(n\) este liniară, de forma \(a_n = dn + c\), iar coeficientul din fața lui \(n\) este chiar rația.
Uneori primul termen este necunoscut, dar este dat un altul. Atunci funcționează aceeași idee în formă generală: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Proprietatea caracteristică a progresiei aritmetice
Orice termen al progresiei, în afară de primul, este egal cu media aritmetică a vecinilor săi:
Tocmai de aceea progresia se numește aritmetică. Această egalitate funcționează și invers: dacă într-un șir fiecare termen din mijloc este egal cu semisuma vecinilor, atunci șirul este o progresie aritmetică. Această afirmație se numește criteriul progresiei aritmetice și este folosită în probleme pentru a demonstra că trei numere formează o progresie.
Exemplu. Numerele 7, \(x\), 23 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii. Atunci \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Verificare: 7, 15, 23 — rațiile sunt 8 și 8, totul se potrivește.
O formă de scriere utilă a aceleiași proprietăți: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), adică dublul termenului din mijloc este egal cu suma extremelor. Sub această formă, proprietatea este mai ușor de aplicat atunci când termenii sunt dați prin expresii literale.
Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice
Suma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) se calculează folosind una dintre cele două formule:
Ideea primei formule este cea pe care, conform legendei, a găsit-o elevul Gauss, adunând numerele de la 1 la 100. Dacă aduni primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul și așa mai departe, toate perechile vor da aceeași sumă. De aici \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
A doua formulă rezultă din prima prin substituția \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ea este necesară atunci când ultimul termen nu este dat și nu vrei să-l calculezi separat.
Exemplu. Să calculăm suma primilor douăzeci de termeni ai progresiei 3, 7, 11, 15, 19, …
Folosind prima formulă: \(a_{20} = 79\), deci \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Folosind a doua: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Rezultatele coincid — aceasta este cea mai bună verificare a calculelor.
Cum să afli dacă un număr face parte dintr-o progresie aritmetică
Întrebarea „este un număr termen al progresiei” se rezolvă printr-o ecuație. Numărul face parte din progresie dacă și numai dacă poziția sa \(n\) este un număr natural: 1, 2, 3 și așa mai departe. Un \(n\) fracționar sau nepozitiv înseamnă că un astfel de termen nu există.
Exemplu 1. Numărul 99 face parte din progresia 3, 7, 11, 15, 19, …? Formula termenului \(n\) aici este \(a_n = 4n - 1\), deci rezolvăm \(4n - 1 = 99\), de unde \(4n = 100\) și \(n = 25\). Poziția este naturală — înseamnă că 99 este în progresie, este al douăzeci și cincilea termen.
Exemplu 2. Dar numărul 2026? Din \(4n - 1 = 2026\) obținem \(4n = 2027\) și \(n = 506,75\). Poziția este fracționară, deci 2026 nu este termen al acestei progresii.
Un indiciu util pentru estimare orală: la progresia cu formula \(a_n = 4n - 1\), toți termenii, împărțiți la 4, dau restul 3. Numărul 2026 dă restul 2, deci „ratează” progresia.
Probleme tipice pentru OGE despre progresia aritmetică
La examenul OGE de matematică, progresiile apar în fiecare an și aproape toate sarcinile se reduc la patru tipuri.
Găsirea termenului după poziție. Sunt date \(a_1\) și \(d\) (sau câțiva termeni inițiali) — înlocuim în \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Găsirea poziției după valoare. Este dat un număr — îl egalăm cu formula termenului \(n\) și rezolvăm ecuația pentru \(n\).
Găsirea sumei. Calculăm \(S_n\) folosind oricare dintre cele două formule; dacă lipsește \(a_n\) — îl găsim mai întâi.
Găsirea numărului de termeni. Din formula termenului \(n\) rezultă o consecință utilă: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Separat merită menționată problema text, unde progresia este ascunsă într-o poveste. De exemplu: în prima zi un muncitor a fabricat 12 piese, iar în fiecare zi următoare — cu 3 piese mai mult decât în cea precedentă; câte piese va face în 15 zile? Aici \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Calculăm ultimul termen: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Atunci \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) piese.
Sfatul principal pentru astfel de sarcini: scrieți mai întâi pe un rând separat ce este dat (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) și ce trebuie găsit. Jumătate din greșelile de la examen nu apar din cauza formulelor, ci din cauza confuziei dintre poziție și valoarea termenului.
Progresia aritmetică și geometrică: care este diferența
Ambele progresii sunt reguli după care se obține următorul termen. Diferența constă în acțiune: în cea aritmetică se adună la termen același număr \(d\), în cea geometrică se înmulțește cu același număr \(q\), numit rația progresiei.
De aici și comportamentul diferit. Progresia aritmetică crește uniform, „pe trepte”: 3, 7, 11, 15 — fiecare pas adaugă 4. Cea geometrică crește ca o avalanșă: 3, 6, 12, 24 — fiecare pas dublează numărul, și deja după zece pași termenul va fi mai mare de o mie cinci sute.
Verificarea tipului de șir este simplă: calculați diferențele termenilor vecini și raportul lor. Diferențe egale — progresie aritmetică, rapoarte egale — geometrică. Dacă nu se potrivește nici una, nici alta, în fața ta este doar un șir: de exemplu, 1, 4, 9, 16 — acestea sunt pătratele numerelor naturale, și nu este o progresie (diferențele 3, 5, 7 sunt diferite, rapoartele la fel).
În programa școlară, ambele teme sunt studiate consecutiv în clasa a 9-a, deci formulele sunt ușor de confundat. Rețineți: în cea aritmetică rația \(d\) se adună, în cea geometrică rația \(q\) se înmulțește. Tot restul sunt consecințe.
Exemple de rezolvare a problemelor cu progresii aritmetice
Exemplu 1. Găsirea primului termen și a rației după doi termeni
Dat. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Găsește \(a_1\), \(d\) și \(a_{20}\).
Pasul 1. De la al treilea termen la al șaptelea sunt exact \(7 - 3 = 4\) pași, la fiecare adunându-se \(d\). Deci \(a_7 = a_3 + 4d\), adică \(30 = 14 + 4d\), de unde \(4d = 16\) și \(d = 4\).
Pasul 2. Ne întoarcem la primul termen: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Pasul 3. Scriem formula termenului \(n\): \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Pasul 4. Calculăm termenul necesar: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Verificare. Să scriem începutul progresiei: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Al treilea termen este 14, al șaptelea 30 — s-a potrivit.
Răspuns: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Exemplu 2. Suma primilor 30 de termeni (ambele formule)
Dat. Progresia \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Găsește \(S_{30}\).
Pasul 1. Determinăm parametrii: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Pasul 2. Găsim al treizecelea termen: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Pasul 3. Calculăm folosind prima formulă: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Pasul 4. Verificare prin a doua formulă. Mai întâi numărătorul: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Continuăm ca la pasul trei: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Ambele căi au dat 1155 — înseamnă că aritmetica este corectă.
Răspuns: \(S_{30} = 1155\).
Exemplu 3. Suma tuturor numerelor de două cifre divizibile cu 7
Sarcina. Găsește suma tuturor numerelor de două cifre care se divid cu 7.
Pasul 1. Aceste numere formează ele însele o progresie aritmetică cu rația 7. Cel mai mic număr de două cifre divizibil cu șapte este 14, cel mai mare este 98 (următorul, 105, are deja trei cifre). Obținem \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Pasul 2. Calculăm numărul de termeni: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Pasul 3. Calculăm suma: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Pasul 4. Verificare prin a doua formulă. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Răspuns: 728.
Exemplu 4. Verificarea dacă un număr face parte din progresie
Sarcina. Numărul 145 este termen al progresiei \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Dar numărul 142?
Pasul 1. Parametrii progresiei: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), deci \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Pasul 2. Verificăm 145: ecuația \(5n + 2 = 145\) dă \(5n = 143\) și \(n = 28,6\). Poziția este fracționară, deci 145 nu este termen al progresiei.
Pasul 3. Verificăm 142: \(5n + 2 = 142\), de unde \(5n = 140\) și \(n = 28\). Poziția este naturală — numărul face parte.
Pasul 4. Verificare prin substituție. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Corect.
Răspuns: 145 nu face parte din progresie; 142 face parte și este al 28-lea termen.
Exemplu 5. Proprietatea caracteristică cu termeni literali
Sarcina. Pentru ce valoare a lui \(x\) numerele \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?
Pasul 1. Conform proprietății caracteristice, dublul termenului din mijloc este egal cu suma extremelor:
Pasul 2. Desfacem parantezele: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Pasul 3. Rezolvăm: \(2 + 4 = 5x - 4x\), adică \(x = 6\).
Pasul 4. Verificare. Înlocuim \(x = 6\): primul termen \(6 - 3 = 3\), al doilea \(2\cdot 6 + 1 = 13\), al treilea \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Diferențele: \(13 - 3 = 10\) și \(23 - 13 = 10\) — sunt egale.
Răspuns: \(x = 6\), progresia 3, 13, 23 cu rația 10.
Exemplu 6. Câți termeni negativi sunt în progresie
Sarcina. Câți termeni negativi are progresia \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Pasul 1. Parametrii: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formula termenului \(n\): \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Pasul 2. Scriem condiția „termenul este negativ”: \(3n - 24 < 0\), de unde \(3n < 24\) și \(n < 8\).
Pasul 3. Pozițiile sunt naturale, deci se potrivesc \(n = 1, 2, \dots, 7\) — în total șapte termeni.
Pasul 4. Verificarea limitei. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativ. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — zero nu este un număr negativ, deci al optulea termen nu îl mai numărăm. \(a_9 = 3\) — pozitiv.
Răspuns: șapte termeni negativi.
Greșeli frecvente în problemele cu progresii aritmetice
-
În formula termenului $n$ scriu $a_n = a_1 + nd$ în loc de $a_n = a_1 + (n-1)d$.
De la primul termen la cel de-al \(n\)-lea se face cu un pas mai puțin decât numărul poziției. Pentru progresia \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) al zecelea termen este \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), nu 45. Verificare rapidă a formulei: înlocuiește \(n = 1\) — ar trebui să obții exact \(a_1\).
-
Rația este calculată invers: $d = a_1 - a_2$, și semnul iese opus.
Rația este termenul următor minus cel precedent: \(d = a_2 - a_1\). Pentru progresia \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) este corect \(d = 34 - 40 = -6\). Semnul minus aici nu este o greșeală, ci un semn al unei progresii descrescătoare.
-
În formula sumei uită să împartă la 2 sau să înmulțească cu $n$: scriu $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Se însumează perechi „primul cu ultimul”, sunt exact \(\dfrac{n}{2}\), deci împărțirea la 2 este obligatorie. Pentru progresia \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) avem \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) și \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), nu 670.
-
La verificarea apartenenței unui număr obțin $n = 0$ sau un $n$ negativ și totuși răspund „face parte”.
Poziția termenului este un număr natural, numărătoarea începe de la unu. De exemplu, pentru progresia \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) ecuația \(10 + 4(n-1) = 6\) dă \(n = 0\), ceea ce înseamnă că 6 nu face parte din progresie: acest număr ar fi stat înaintea primului termen.
-
Confundă ce a fost găsit: înlocuiesc valoarea termenului acolo unde este nevoie de poziția sa, și invers.
\(a_n\) — este valoarea, \(n\) — este poziția. Dacă în problemă se întreabă „care este poziția termenului egal cu 142”, răspunsul va fi 28, nu 142. Obicei util: scrieți înainte de rezolvare rândul „dat: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), de găsit: \(n\)”.
-
Consideră că progresia trebuie să crească și să fie formată din numere întregi.
Rația poate fi negativă (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), fracționară (1; 1,5; 2; 2,5) și chiar zero (8, 8, 8, …). Toate cele trei cazuri sunt progresii aritmetice valide, și toate formulele pentru ele funcționează fără modificări.
Întrebări și răspunsuri
Ce este o progresie aritmetică în cuvinte simple?
Este un șir de numere în care fiecare număr următor se obține din cel precedent prin adunarea aceluiași număr \(d\) — rația progresiei. De exemplu, 3, 7, 11, 15, 19, … — o progresie cu primul termen 3 și rația 4.
Care este formula termenului n al progresiei aritmetice?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), unde \(a_1\) — primul termen, \(d\) — rația, \(n\) — poziția. Dacă este cunoscut nu primul, ci un alt termen, funcționează forma generală \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Cum să afli rația progresiei aritmetice?
Scade din orice termen pe cel precedent: \(d = a_n - a_{n-1}\). Dacă sunt dați doi termeni cu poziții diferite, folosește \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). De exemplu, la \(a_5 = 23\) și \(a_9 = 43\) obținem \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), iar primul termen este \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Cum să afli primul termen al progresiei aritmetice?
Din formula termenului \(n\): \(a_1 = a_n - (n-1)d\). De exemplu, dacă \(a_{12} = 60\) și \(d = 4\), atunci \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Verificare: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Cum să afli suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice?
Folosind formula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), dacă este cunoscut ultimul termen, sau formula \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), dacă sunt cunoscuți doar primul termen și rația. Ambele dau același rezultat, deci a doua este utilă ca verificare a primei.
Cum să afli numărul de termeni ai progresiei aritmetice?
Din formula termenului \(n\): \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). De exemplu, în progresia \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) rația este 5, deci \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) termeni.
Prin ce diferă progresia aritmetică de cea geometrică?
În cea aritmetică la fiecare termen se adună rația \(d\), iar în cea geometrică fiecare termen se înmulțește cu rația \(q\). Formulele termenului \(n\): \(a_n = a_1 + (n-1)d\) față de \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Pentru a determina tipul, calculează diferențele termenilor vecini și rapoartele lor: diferențe egale — aritmetică, rapoarte egale — geometrică.
Poate rația să fie negativă sau egală cu zero?
Da. La \(d < 0\) progresia scade (de exemplu, 20, 17, 14, 11), la \(d = 0\) toți termenii sunt egali (6, 6, 6, …) — aceasta este o progresie constantă. Rația poate fi și fracționară: 1; 1,5; 2; 2,5 — tot o progresie aritmetică.
În ce clasă se studiază progresia aritmetică?
În clasa a 9-a la lecțiile de algebră, împreună cu progresia geometrică și șirurile numerice. Sarcinile despre progresii fac parte din OGE: de obicei se cere găsirea termenului după poziție, a poziției după valoare, a numărului de termeni sau a sumei primilor \(n\) termeni.
