Formula pătratică rezolvă orice ecuație de gradul al doilea de forma \(ax^2 + bx + c = 0\) (cu \(a \neq 0\)). Rădăcinile sale sunt date de \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Pe această pagină vei vedea ce înseamnă fiecare parte, cum să folosești formula pas cu pas, cum îți indică discriminantul câte soluții să aștepți și exemple complet rezolvate — plus un antrenor interactiv pentru a exersa imediat.
Ce este formula pătratică
O ecuație de gradul al doilea este orice ecuație pe care o poți scrie în forma standard \(ax^2 + bx + c = 0\), unde \(a\), \(b\) și \(c\) sunt numere și \(a \neq 0\). Numerele \(a\), \(b\) și \(c\) se numesc coeficienți: \(a\) este coeficientul lui \(x^2\), \(b\) este coeficientul lui \(x\), iar \(c\) este termenul liber.
Formula pătratică oferă soluțiile (rădăcinile) direct din acești trei coeficienți — fără a fi nevoie de factorizare. Funcționează pentru orice ecuație de gradul al doilea, chiar și pentru cele care nu se pot factoriza ușor.
De unde provine (derivare): formula este ceea ce obții prin completarea pătratului în ecuația generală. Împarte \(ax^2 + bx + c = 0\) la \(a\), mută termenul liber în partea cealaltă, adaugă \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) în ambele părți pentru a forma un pătrat perfect și extrage rădăcina pătrată. Rezultatul este formula unică de mai jos, valabilă pentru orice \(a\), \(b\), \(c\).
Discriminantul: câte rădăcini
Partea de sub rădăcina pătrată, \(b^2 - 4ac\), se numește discriminant (adesea scris \(D\)). Nu trebuie să finalizezi întreaga formulă pentru a ști câte soluții are o ecuație — semnul discriminantului îți spune imediat.
Deoarece nu poți extrage rădăcina pătrată reală dintr-un număr negativ, semnul lui \(D\) împarte orice ecuație de gradul al doilea în exact trei cazuri: două rădăcini, o rădăcină dublă sau nicio rădăcină reală. Pe un grafic, acesta este punctul în care parabola \(y = ax^2 + bx + c\) intersectează axa x — de două ori, o dată (în vârf) sau deloc.
| Discriminant D = b² − 4ac | Rădăcini reale | Ce obții |
|---|---|---|
| D > 0 | Două rădăcini reale distincte | Parabola intersectează axa x de două ori. Folosește ambele semne: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | O rădăcină reală (dublă) | Parabola atinge axa x în vârful său. Semnul ± dispare: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Nicio rădăcină reală | Parabola nu atinge niciodată axa x. Nu există rădăcină pătrată reală dintr-un număr negativ. |
Cum se folosește formula pătratică: pași
Formula pătratică funcționează întotdeauna în același mod. Urmează acești cinci pași în ordine și nu te va dezamăgi niciodată — cea mai dificilă parte este doar citirea corectă a coeficienților (cu semnele lor).
Exemple de formulă pătratică (pas cu pas)
Exemplul 1. Două rădăcini reale (D > 0)
Rezolvă \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Pasul 1–2. Este deja în formă standard, deci identifică coeficienții: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Pasul 3. Discriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Pasul 4. \(D = 25 > 0\), deci există două rădăcini reale distincte.
Pasul 5. Înlocuiește: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Folosind semnul plus: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Folosind semnul minus: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Rădăcini: \(x = 3\) și \(x = \tfrac{1}{2}\).
Exemplul 2. O rădăcină dublă (D = 0)
Rezolvă \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Pasul 1–2. Formă standard deja: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Pasul 3. Discriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Pasul 4. \(D = 0\), deci există exact o rădăcină reală (o rădăcină dublă). Termenul \(\pm\) dispare deoarece \(\sqrt{0} = 0\).
Pasul 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Rădăcină: \(x = 3\) (această ecuație este pătratul perfect \((x-3)^2 = 0\)).
Exemplul 3. Nicio rădăcină reală (D < 0)
Rezolvă \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Pasul 1–2. Formă standard: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Pasul 3. Discriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Pasul 4. \(D = -16 < 0\). Deoarece nu poți extrage rădăcina pătrată reală dintr-un număr negativ, această ecuație nu are rădăcini reale — parabola sa nu intersectează niciodată axa x.
Pasul 5. Nu este necesară nicio altă lucrare pentru soluții reale. (Dacă ai învățat numerele complexe, rădăcinile sunt \(x = -1 \pm 2i\), dar pentru un răspuns real ne oprim aici.)
Greșeli comune cu formula pătratică
-
Greșirea semnului lui b, mai ales când b este negativ.
Formula începe cu −b. Dacă b = −7, atunci −b = +7 — cele două semne minus se anulează. Scrie substituția complet, de ex. −(−7), înainte de a simplifica.
-
Uitarea semnului ± și raportarea unei singure rădăcini.
Când D > 0, ± produce două răspunsuri: unul cu + și unul cu −. Calculează întotdeauna ambele (−b + √D)/(2a) și (−b − √D)/(2a) dacă D ≠ 0.
-
Împărțirea doar a unei părți a numărătorului la 2a.
Întreg numărătorul, −b ± √D, se împarte la 2a — nu doar partea cu √D. Păstrează-l ca o singură fracție: (−b ± √D) / (2a).
-
Calcularea greșită a discriminantului când a sau c este negativ.
În D = b² − 4ac, scăderea lui 4ac când a·c este negativ adaugă de fapt. Pentru 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, deci D = 4 + 12 = 16, nu 4 − 12.
-
Aplicarea formulei înainte de a scrie ecuația în formă standard.
Mută fiecare termen într-o parte astfel încât ecuația să fie ax² + bx + c = 0 mai întâi. De exemplu, x² = 5x − 6 trebuie să devină x² − 5x + 6 = 0 înainte de a identifica a, b, c.
Întrebări frecvente
Ce este formula pătratică?
Formula pătratică este x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Oferă soluțiile oricărei ecuații de gradul al doilea ax² + bx + c = 0 (cu a ≠ 0) direct din coeficienții a, b și c.
Cum folosești formula pătratică pas cu pas?
Scrie ecuația în formă standard ax² + bx + c = 0, identifică a, b și c cu semnele lor, calculează discriminantul D = b² − 4ac, verifică semnul acestuia pentru a vedea câte rădăcini există, apoi înlocuiește în x = (−b ± √D) / (2a) și simplifică ambele versiuni, cu plus și cu minus.
Ce este discriminantul și de ce contează?
Discriminantul este D = b² − 4ac, expresia de sub rădăcina pătrată. Semnul său îți indică numărul de rădăcini reale fără a finaliza calculul: D > 0 oferă două rădăcini reale, D = 0 oferă o rădăcină dublă, iar D < 0 oferă nicio rădăcină reală.
Când ar trebui să folosesc formula pătratică în loc de factorizare?
Factorizarea este rapidă când ecuația se factorizează cu numere întregi mici. Formula pătratică funcționează pentru orice ecuație de gradul al doilea, inclusiv cele care nu se factorizează ușor sau care au rădăcini iraționale sau non-întregi, deci este metoda de rezervă sigură ori de câte ori factorizarea nu este evidentă.
De unde provine formula pătratică?
Este derivată prin completarea pătratului în ecuația generală ax² + bx + c = 0: împarte la a, completează pătratul adunând (b/2a)², rescrie partea stângă ca un pătrat perfect și extrage rădăcina pătrată din ambele părți. Rezultatul este formula pătratică.
Poate formula pătratică să nu dea niciun răspuns?
Dacă discriminantul este negativ (D < 0), nu există nicio soluție reală deoarece nu poți extrage rădăcina pătrată reală dintr-un număr negativ. Ecuația are totuși două rădăcini complexe, dar nu există rădăcini reale — pe un grafic, parabola pur și simplu nu atinge niciodată axa x.
