Formulele de calcul prescurtat (FCP) sunt identități algebrice gata de utilizat care permit desfacerea parantezelor și descompunerea expresiilor în factori fără a efectua înmulțiri lungi. Pe această pagină găsești tabelul tuturor celor șapte formule: pătratul sumei și al diferenței, diferența pătratelor, cubul sumei și al diferenței, suma și diferența cuburilor. Analizăm fiecare formulă cu demonstrații și exemple, iar la final te poți antrena cu un exercițiu interactiv.
Ce sunt formulele de calcul prescurtat
Formulele de calcul prescurtat sunt identități care se obțin prin înmulțirea corectă a polinoamelor, al căror rezultat merită reținut. Astfel, nu mai trebuie să desfaci parantezele de fiecare dată: este suficient să recunoști „șablonul” și să înlocuiești numerele sau literele tale.
În programa de algebră de clasa a 7-a, FCP se folosesc în două direcții:
- de la stânga la dreapta — pentru a desface rapid parantezele și a ridica o expresie la pătrat sau cub;
- de la dreapta la stânga — pentru a descompune un polinom în factori (necesar pentru simplificarea fracțiilor și rezolvarea ecuațiilor).
În total, se învață șapte formule. Mai jos găsești tabelul-sinteză, urmat de explicația fiecărei formule în parte.
Tabelul formulelor de calcul prescurtat
Cele șapte formule de calcul prescurtat sunt ușor de urmărit într-un singur tabel. Literele \(a\) și \(b\) reprezintă aici orice expresie: un număr, o variabilă sau un monom întreg precum \(2x\).
| Formulă | Scriere |
|---|---|
| Pătratul sumei | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Pătratul diferenței | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Diferența pătratelor | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Cubul sumei | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Cubul diferenței | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Suma cuburilor | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Diferența cuburilor | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Pătratul sumei și pătratul diferenței
Pătratul sumei se obține prin înmulțirea lui \((a+b)\) cu el însuși:
În cuvinte: pătratul sumei este egal cu pătratul primului termen plus dublul produsului dintre primul și al doilea termen, plus pătratul celui de-al doilea termen. La fel se deduce pătratul diferenței — semnul termenului din mijloc devine minus:
Important este să nu pierzi termenul din mijloc \(2ab\): tocmai din cauza lui \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Pătratul sumei și pătratul diferenței diferă doar prin semnul din fața lui \(2ab\), în timp ce termenii extremi \(a^2\) și \(b^2\) sunt întotdeauna pozitivi.
Exemplu. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Pătratul sumei are și o interpretare geometrică intuitivă: este aria unui pătrat mare cu latura \((a+b)\).
Diferența pătratelor
Dacă înmulțim suma și diferența acelorași expresii, termenii din mijloc se anulează reciproc:
Obținem formula diferenței pătratelor: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Aceasta este cea mai utilă FCP pentru descompunerea în factori: imediat ce vezi diferența a două pătrate, descompune-o în produs.
Exemplu (desfacerea parantezelor). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Exemplu (descompunerea în factori). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Important: suma pătratelor \(a^2 + b^2\) nu se descompune în factori prin această formulă — funcționează doar pentru diferență.
Cubul sumei, cubul diferenței, suma și diferența cuburilor
Cubul sumei și cubul diferenței conțin deja patru termeni:
La cubul diferenței, semnele alternează: \(+\,-\,+\,-\). Din nou, o capcană frecventă: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — nu poți pur și simplu să „distribui” puterea, termenii din mijloc \(3a^2b\) și \(3ab^2\) nu trebuie pierduți.
Exemplu. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Separat avem suma și diferența cuburilor — acestea, dimpotrivă, descompun expresia în factori:
Al doilea factor se numește pătrat incomplet al sumei sau diferenței. Semnul termenului din mijloc este întotdeauna opus semnului din prima paranteză: la suma cuburilor avem \(-ab\), la diferența cuburilor avem \(+ab\).
Exemplu. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Exemple de aplicare a formulelor de calcul prescurtat
Exemplul 1. Desfacerea parantezelor: pătratul sumei
Cerință. Ridică la pătrat \((2x+5)^2\).
Pasul 1. Identificăm formula pătratului sumei: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), unde \(a = 2x\), \(b = 5\).
Pasul 2. Calculăm fiecare termen:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Rezultat. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței pătratelor
Cerință. Calculează produsul \((3x-4)(3x+4)\).
Pasul 1. Avem produsul dintre diferența și suma acelorași expresii — aceasta este diferența pătratelor \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), unde \(a = 3x\), \(b = 4\).
Pasul 2. Ridicăm la pătrat fiecare expresie: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Rezultat. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Exemplul 3. Descompunerea în factori
Cerință. Descompune în factori \(x^2 - 36\) și \(x^3 + 27\).
Diferența pătratelor. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Suma cuburilor. Observăm că \(27 = 3^3\), deci \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Aplicăm formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) unde \(a = x\), \(b = 3\):
Observă semnul \(-3x\) în pătratul incomplet — la suma cuburilor, termenul din mijloc are semnul minus.
Exemplul 4. Cubul sumei
Cerință. Desfă parantezele \((x+2)^3\).
Pasul 1. Formula cubului sumei: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), unde \(a = x\), \(b = 2\).
Pasul 2. Calculăm termenii pe rând:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Rezultat. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Greșeli frecvente în lucrul cu FCP
-
Se uită dublul produs: scriu $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
În pătratul sumei și al diferenței există întotdeauna termenul din mijloc \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Este ușor de verificat — desfă \((a+b)(a+b)\) prin înmulțire directă și termenul din mijloc va apărea de la sine.
-
Se confundă semnele la pătratul diferenței și la diferența pătratelor.
La pătratul diferenței, minusul apare doar la termenul din mijloc: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (termenii extremi sunt pozitivi). Iar la diferența pătratelor, minusul este între pătrate: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\) Sunt formule diferite.
-
Se „distribuie” puterea la cub: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Nu se face așa. Cubul sumei conține patru termeni: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) este cu totul altceva (suma cuburilor), ea se referă la descompunerea în factori.
-
În pătratul incomplet al sumei/diferenței cuburilor se pune dublul produs $2ab$.
Pătratul incomplet este \(a^2 \pm ab + b^2\), fără cifra 2 în fața lui \(ab\). Semnul este opus semnului din prima paranteză: suma cuburilor \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), diferența cuburilor \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Se încearcă descompunerea sumei pătratelor $a^2 + b^2$ în factori.
În factori se descompune doar diferența pătratelor \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Suma pătratelor \(a^2 + b^2\) nu se descompune în factori în programa școlară.
Întrebări și răspunsuri
Câte formule de calcul prescurtat există în total?
Șapte: pătratul sumei, pătratul diferenței, diferența pătratelor, cubul sumei, cubul diferenței, suma cuburilor și diferența cuburilor. Toate sunt adunate în tabelul de mai sus.
Cât este egal pătratul sumei?
Pătratul primului termen plus dublul produsului dintre primul și al doilea termen, plus pătratul celui de-al doilea: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). La pătratul diferenței, termenul din mijloc are semnul minus: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Cum se descompune diferența pătratelor în factori?
Conform formulei \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). De exemplu, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Este suficient să observi că ambii termeni sunt pătrate perfecte, iar între ei este un minus.
De ce $(a+b)^2$ nu este egal cu $a^2 + b^2$?
Deoarece la înmulțirea \((a+b)(a+b)\) apar încă doi termeni identici \(ab\), care formează termenul din mijloc \(2ab\). Acesta nu trebuie pierdut: corect este \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Cu ce diferă cubul sumei de suma cuburilor?
Cubul sumei \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) reprezintă desfacerea parantezelor. Suma cuburilor \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) reprezintă, dimpotrivă, descompunerea expresiei în factori. Sunt formule diferite, nu le confunda.
În ce clasă se studiază formulele de calcul prescurtat?
De obicei în clasa a 7-a la orele de algebră: mai întâi pătratul sumei și al diferenței, diferența pătratelor, apoi formulele pentru cuburi. Acestea sunt utilizate activ ulterior pentru simplificarea expresiilor, simplificarea fracțiilor și rezolvarea ecuațiilor.
