O fracție zecimală este un număr în care partea întreagă și partea fracționară sunt separate printr-o virgulă: 3,25 sau 0,7. Toate operațiile cu fracții zecimale — adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea — se efectuează aproape la fel ca la numerele naturale; cel mai important este să urmărești poziția virgulei. Pe această pagină am adunat toate regulile cu exemple de calcul în coloană, un ghid pentru mutarea virgulei, analiza greșelilor frecvente și un exercițiu interactiv pentru autoevaluare.
Ordinele fracției zecimale
Fiecare cifră după virgulă are denumirea și valoarea sa:
- prima poziție — zecimi (0,1);
- a doua — sutimi (0,01);
- a treia — miimi (0,001) și așa mai departe.
Proprietate importantă: dacă adăugăm zerouri la dreapta părții fracționare, numărul nu se schimbă: 5,7 = 5,70 = 5,700. Vom folosi această proprietate constant — ea permite egalarea numărului de cifre după virgulă la adunare, scădere și comparare.
Toate operațiile cu fracții zecimale: scurt ghid
Fiecare operație are propria regulă principală privind virgula. Cele patru carduri de mai jos reprezintă esența temei, iar ulterior fiecare operație este explicată detaliat, cu exemple.
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale în coloană
Adunarea și scăderea se efectuează după aceeași regulă:
- Scriem numerele în coloană astfel încât virgula să fie strict sub virgulă — atunci ordinele identice vor fi unul sub altul: zecimi sub zecimi, sutimi sub sutimi.
- Dacă numărul de cifre după virgulă este diferit, le egalăm cu zerouri.
- Adunăm sau scădem, fără a ține cont de virgule, ca la numerele naturale.
- În rezultat, punem virgula sub virgulele numerelor inițiale.
Un număr întreg poate fi scris și ca fracție zecimală: 6 = 6,00 — acest lucru ajută în exemple de tipul 6 − 2,35.
Regula înmulțirii fracțiilor zecimale
Înmulțirea este singura operație unde nu este nevoie să aliniem virgulele. Regula înmulțirii fracțiilor zecimale constă în doi pași:
- Înmulțim numerele, fără a ține cont de virgule, — ca pe niște numere naturale obișnuite.
- În rezultat, separăm prin virgulă de la dreapta atâtea cifre câte sunt după virgulă în ambii factori la un loc.
Dacă produsul are mai puține cifre decât trebuie să separăm, adăugăm zerouri la stânga: 12 × 3 = 36, iar pentru 0,12 × 0,3 trebuie să separăm trei cifre, deci rezultatul este 0,036.
Autoverificare rapidă: la înmulțirea cu un număr mai mic decât unu, rezultatul trebuie să fie mai mic decât primul factor. Dacă a ieșit mai mare — înseamnă că virgula nu este pusă corect.
Împărțirea fracțiilor zecimale
Există două cazuri.
Împărțirea la un număr natural. Împărțim prin metoda coloanei ca de obicei, iar virgula în cât o punem în momentul în care am terminat de împărțit partea întreagă a deîmpărțitului: 8,46 : 2 = 4,23.
Împărțirea la o fracție zecimală. Mai întâi scăpăm de virgula din împărțitor: mutăm virgula atât la deîmpărțit, cât și la împărțitor spre dreapta cu același număr de cifre — adică înmulțim ambele numere cu 10, 100 sau 1000. Câtul nu se schimbă, iar împărțirea se reduce la primul caz.
Înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000
Cele mai rapide operații cu fracții zecimale sunt înmulțirea și împărțirea cu puteri ale lui 10. Nu este nevoie de coloană: este suficient să muți virgula la dreapta sau la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în 10, 100 sau 1000. Dacă nu sunt destule cifre, adăugăm zerouri.
Compararea fracțiilor zecimale
Fracțiile zecimale se compară ordin cu ordin:
- Mai întâi părțile întregi: numărul cu partea întreagă mai mare este mai mare.
- Dacă părțile întregi sunt egale — comparăm zecimile, apoi sutimile, apoi miimile, până găsim o diferență.
- Pentru a nu te încurca, egalează numărul de cifre cu zerouri: este mai ușor să compari 5,7 și 5,68 sub forma 5,70 și 5,68 — șaptezeci de sutimi este mai mult decât șaizeci și opt, deci 5,7 > 5,68.
Lungimea scrierii nu spune nimic: 0,5 este mai mare decât 0,4999, deși are mai puține cifre.
Operații cu fracții zecimale: exemple rezolvate
Exemplul 1. Adunarea: 5,3 + 2,47
Pasul 1. Egalăm cifrele după virgulă: 5,3 = 5,30.
Pasul 2. Scriem în coloană, virgulă sub virgulă.
Pasul 3. Adunăm ca pe numerele naturale: 530 + 247 = 777.
Pasul 4. Punem virgula sub virgulele termenilor: 7,77.
Exemplul 2. Scăderea dintr-un număr întreg: 6 − 2,35
Pasul 1. Scriem 6 ca fracție zecimală: 6 = 6,00.
Pasul 2. Scriem în coloană: 6,00 − 2,35.
Pasul 3. Scădem cu împrumut din ordinele superioare: 3,65.
Verificare. 3,65 + 2,35 = 6 — se potrivește.
Exemplul 3. Înmulțirea: 2,5 × 0,04
Pasul 1. Înmulțim fără a ține cont de virgule: 25 × 4 = 100.
Pasul 2. Numărăm cifrele după virgulă: una în 2,5 și două în 0,04 — în total trei.
Pasul 3. Separăm trei cifre de la dreapta: 0,100.
Pasul 4. Eliminăm zerourile de la sfârșitul părții fracționare: 0,1.
Verificarea ordinului. 0,04 este mai mic decât unu, deci rezultatul trebuie să fie mai mic decât 2,5 — corect.
Exemplul 4. Împărțirea la o fracție zecimală: 1,44 : 1,2
Pasul 1. Facem împărțitorul întreg: mutăm virgula cu o cifră la dreapta la ambele numere — obținem 14,4 : 12.
Pasul 2. Împărțim prin metoda coloanei partea întreagă: 14 : 12 = 1, rest 2.
Pasul 3. Partea întreagă s-a terminat — punem virgula în cât și coborâm cifra 4: 24 : 12 = 2.
Rezultat: 1,2. Verificare: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Greșeli frecvente în operațiile cu fracții zecimale
-
La adunare și scădere, numerele sunt aliniate la dreapta, ca la numerele întregi: 3,25 + 4,8 este scris în coloană fără a ține cont de virgulă, obținându-se 3,73.
Aliniați după virgulă, nu după ultima cifră: 4,8 = 4,80, și atunci 3,25 + 4,80 = 8,05. Zecimile trebuie să stea sub zecimi, sutimile sub sutimi.
-
La înmulțire, se încearcă alinierea virgulelor sau se pune virgula în produs „sub virgulele” factorilor.
La înmulțire, virgulele nu se aliniază deloc. Înmulțiți ca pe numere întregi și separați la dreapta atâtea cifre câte sunt după virgulă în ambii factori la un loc.
-
Dacă produsul are mai puține cifre decât trebuie să separăm, se pierd zerouri: 0,12 × 0,3 = 0,36 în loc de 0,036.
12 × 3 = 36 — acestea sunt doar două cifre, iar trebuie să separăm trei. Adăugați zerourile lipsă la stânga: 0,036.
-
La împărțirea la o fracție zecimală, virgula este mutată doar la împărțitor: 4,2 : 0,7 este transformat în 4,2 : 7 și se obține 0,6.
Virgula se mută la ambele numere cu același număr de cifre: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Altfel, câtul se va micșora de 10 ori.
-
Fracțiile sunt comparate după numărul de cifre: se consideră că 5,68 este mai mare decât 5,7, deoarece scrierea este mai lungă.
Egalați cifrele cu zerouri și comparați ordin cu ordin: 5,70 și 5,68 — la zecimi 7 > 6, deci 5,7 > 5,68.
-
La înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000, virgula este mutată în direcția greșită.
Înmulțirea mărește numărul — virgula merge la dreapta: 3,74 × 10 = 37,4. Împărțirea micșorează — la stânga: 3,74 : 10 = 0,374. Numărul de cifre este egal cu numărul de zerouri.
Întrebări și răspunsuri
Ce operații cu fracții zecimale se studiază în clasa a 5-a?
În clasa a 5-a se studiază toate cele patru operații — adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor zecimale, precum și compararea și rotunjirea acestora. De obicei, se studiază mai întâi adunarea și scăderea în coloană, apoi înmulțirea și împărțirea la un număr natural, iar la final — împărțirea la o fracție zecimală.
Se schimbă fracția zecimală dacă adăugăm zerouri la dreapta?
Nu: 5,7 = 5,70 = 5,700 — este același număr. Adăugarea zerourilor se folosește pentru a egala numărul de cifre după virgulă la adunare, scădere și comparare. Însă, nu poți insera un zero între cifre sau elimina un zero din mijlocul numărului — acesta se va schimba.
Cum se rotunjește o fracție zecimală?
Găsește ordinul la care trebuie să rotunjești și uită-te la cifra următoare: dacă este mai mică decât 5 — cifra rotunjită nu se schimbă (3,748 ≈ 3,7), dacă este 5 sau mai mare — se mărește cu o unitate (2,85 ≈ 2,9). Toate cifrele din dreapta se elimină.
Cum transformăm o fracție ordinară în fracție zecimală?
Împarte numărătorul la numitor: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Nu orice fracție ordinară dă o scriere zecimală finită: de exemplu, 1/3 = 0,333… — o fracție periodică infinită. O fracție zecimală finită se obține atunci când numitorul se descompune doar în factori de 2 și 5.
În ce ordine efectuăm operațiile în expresiile cu fracții zecimale?
Ordinea este aceeași ca la numerele naturale: mai întâi operațiile din paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea de la stânga la dreapta. Scrierea zecimală a numerelor nu influențează ordinea operațiilor.
Se poate împărți o fracție zecimală mai mică la una mai mare?
Da. Dacă deîmpărțitul este mai mic decât împărțitorul, câtul va fi pur și simplu mai mic decât unu: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. În partea întreagă a câtului se scrie 0 și se continuă împărțirea după virgulă.
