As propriedades das potências são oito regras utilizadas para multiplicar, dividir, elevar a uma potência e simplificar expressões. Nesta página, reunimos todas as fórmulas em uma única tabela: produto e quociente de potências de mesma base, potência de potência, potência de produto e quociente, além de expoentes zero, negativos e fracionários. Cada propriedade é explicada detalhadamente, seguida de exemplos passo a passo, análise de erros comuns com sinais e um simulador interativo para você testar seus conhecimentos.
O que é uma potência: base e expoente
Potência é uma forma abreviada de escrever a multiplicação de fatores iguais. A notação \(a^n\) significa que o número \(a\) é multiplicado por si mesmo \(n\) vezes:
Aqui, \(a\) é a base da potência (o número que multiplicamos) e \(n\) é o expoente (quantas vezes multiplicamos). Por exemplo, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): a base é 3 e o expoente é 4.
Duas notações importantes para memorizar: \(a^1 = a\) (uma "cópia" do número), \(a^2\) é "ao quadrado" e \(a^3\) é "ao cubo". Todas as regras abaixo funcionam com base nos expoentes e bases: algumas propriedades exigem bases iguais, outras exigem expoentes iguais. Distinguir esses dois casos é mais importante do que decorar as fórmulas.
Todas as propriedades das potências: tabela de fórmulas
As oito propriedades fundamentais das potências são fáceis de visualizar em uma única tabela. As cinco primeiras funcionam para qualquer expoente, enquanto as três últimas estendem o conceito de potência para expoentes zero, negativos e fracionários.
| Propriedade | Fórmula |
|---|---|
| Produto bases iguais — somamos os expoentes | am · an = am+n |
| Quociente bases iguais — subtraímos os expoentes | am : an = am−n |
| Potência de potência multiplicamos os expoentes | (am)n = amn |
| Potência de um produto cada fator é elevado à potência | (ab)n = anbn |
| Potência de um quociente numerador e denominador são elevados à potência | (a/b)n = an/bn |
| Expoente zero qualquer número, exceto zero, resulta em um | a0 = 1 |
| Expoente negativo invertemos para uma fração | a−n = 1/an |
| Expoente fracionário é uma raiz de índice n | am/n = ⁿ√(am) |
Multiplicação e divisão de potências de mesma base
Estas são as duas operações mais comuns com potências.
Na multiplicação, somamos os expoentes e a base permanece a mesma:
Por que funciona assim: no primeiro fator temos \(m\) números iguais, no segundo \(n\), totalizando \(m+n\). Por exemplo, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Na divisão, subtraímos os expoentes (do expoente do dividendo subtraímos o expoente do divisor):
Por exemplo, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Importante: na adição e subtração de potências, os expoentes não são somados. A expressão \(2^3 + 2^4\) não pode ser reduzida a uma única potência: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), enquanto \(2^7 = 128\). As propriedades funcionam apenas para multiplicação e divisão.
A base na multiplicação também não muda. \(2^3 \cdot 2^4\) é \(2^7\), e não \(4^7\): somamos os expoentes e mantemos a base como ela é.
Potência de potência, potência de produto e potência de quociente
Potência de potência — multiplicamos os expoentes:
Por exemplo, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Potência de um produto — cada fator é elevado à potência:
Por exemplo, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Potência de um quociente — tanto o numerador quanto o denominador são elevados à potência:
Por exemplo, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
As duas últimas fórmulas são frequentemente usadas da direita para a esquerda — permitindo multiplicar potências com bases diferentes, mas expoentes iguais: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
E se as bases e os expoentes forem diferentes, a expressão geralmente é reduzida a uma mesma base: observamos se os números são potências de um mesmo valor. Por exemplo, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), e o produto \(4^3 \cdot 8^2\) torna-se \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Expoente zero e negativo
Qualquer número, exceto zero, elevado a zero é igual a um:
Isso não é uma invenção, mas uma consequência da regra de divisão: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), mas o mesmo quociente é igual a \(216 : 216 = 1\). Portanto, \(6^0 = 1\). A expressão \(0^0\) não é definida.
O expoente negativo significa um dividido pela potência:
Por exemplo, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), e \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Uma consequência útil: uma fração com expoente negativo é invertida, e o expoente torna-se positivo:
O sinal negativo no expoente não torna o número negativo. A expressão \(2^{-3}\) é a fração positiva \(\frac{1}{8}\), não \(-8\). O sinal do expoente indica a "inversão", não o sinal do resultado.
O principal: todas as oito propriedades da tabela continuam funcionando para expoentes zero e negativos — por exemplo, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Expoente fracionário e raízes
O expoente fracionário é outra forma de escrever uma raiz:
O denominador da fração indica o índice da raiz, e o numerador indica a potência do radicando. Exemplos: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Restrição: para um denominador \(n\) par, a base deve ser não negativa (\(a \geqslant 0\)) — raízes de índice par de números negativos não são extraídas no currículo escolar.
Por que isso é útil: as mesmas propriedades funcionam com expoentes fracionários, por isso é conveniente multiplicar e dividir raízes convertendo-as em potências. Por exemplo, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Potência de número negativo: onde o sinal se perde
Se a base for negativa, o sinal do resultado depende da paridade do expoente:
- expoente par — resultado positivo: \((-3)^2 = 9\);
- expoente ímpar — resultado negativo: \((-3)^3 = -27\).
É especialmente importante distinguir as notações com parênteses e sem parênteses: \((-3)^2 = 9\), mas \(-3^2 = -9\). No segundo caso, apenas o três é elevado ao quadrado, e o sinal de menos permanece na frente. Este é o erro de sinal mais comum em provas.
É particularmente útil lembrar as potências de menos um: \((-1)^{100} = 1\), e \((-1)^{101} = -1\) — expoente par resulta em \(+1\), expoente ímpar resulta em \(-1\).
Ordem das operações em expressões com potências
Quando uma expressão contém potências e operações comuns, a ordem é: primeiro parênteses, depois potências e raízes, em seguida multiplicação e divisão, e por fim adição e subtração.
Por exemplo, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): primeiro elevamos ao quadrado, depois multiplicamos e somamos.
Exemplos: como aplicar as propriedades das potências
Exemplo 1. Multiplicação e divisão na mesma expressão
Exercício. Simplifique \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Passo 1. Multiplicação: bases iguais, somamos os expoentes — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Passo 2. Divisão: subtraímos os expoentes — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Resposta. \(x^2\) (para \(x \neq 0\)).
Exemplo 2. Potência de um produto com coeficiente
Exercício. Eleve à potência \((3a^4)^3\).
Passo 1. Cada fator é elevado à potência: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Passo 2. Calculamos separadamente: \(3^3 = 27\), e na potência de potência multiplicamos os expoentes — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Resposta. \(27a^{12}\). Um erro comum aqui é esquecer de elevar o três ao cubo e escrever \(3a^{12}\).
Exemplo 3. Expoente negativo no produto
Exercício. Calcule \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Passo 1. Bases iguais — somamos os expoentes pela regra usual, o sinal de menos simplesmente participa da soma: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Passo 2. \(8^3 = 512\).
Resposta. \(512\). Note: não foi necessário converter \(8^{-2}\) em fração — as propriedades das potências funcionam diretamente com expoentes negativos.
Exemplo 4. Fração com expoente negativo
Exercício. Calcule \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Passo 1. O expoente negativo inverte a fração: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Passo 2. Elevamos o numerador e o denominador ao quadrado: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Resposta. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Exemplo 5. Expoente fracionário
Exercício. Calcule \(81^{\frac{3}{4}}\).
Passo 1. O denominador do expoente é o índice da raiz: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Passo 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), porque \(3^4 = 81\).
Passo 3. Resta elevar ao cubo: \(3^3 = 27\).
Resposta. \(27\). É mais conveniente extrair a raiz primeiro — os números ficam menores do que se calculássemos \(81^3\) primeiro.
Exemplo 6. Expressão combinada
Exercício. Calcule \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Passo 1. Potência de potência no numerador: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Passo 2. Divisão de potências de mesma base: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Passo 3. \(3^2 = 9\).
Resposta. \(9\). Regra geral: primeiro resolvemos os parênteses e potências de potência, depois trabalhamos com multiplicação e divisão.
Erros comuns nas operações com potências
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Somar os expoentes na **adição** de potências: escrever $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Os expoentes são somados apenas na multiplicação. Aqui temos \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), enquanto \(2^4 = 16\) — a igualdade é falsa. A soma de potências não pode ser reduzida a uma única potência, ela só pode ser colocada em evidência: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
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Multiplicar também as bases: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
A base na multiplicação de potências permanece a mesma, apenas o expoente muda: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
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Acreditar que $(a+b)^n = a^n + b^n$, confundindo soma com produto.
A potência só pode ser "distribuída" para um produto: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — correto. Já \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), enquanto \(2^2 + 3^2 = 13\). Para somas, usamos produtos notáveis, não propriedades de potências.
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Acreditar que $a^0 = 0$.
Pelo contrário: qualquer número, exceto zero, elevado a zero é igual a um — \(9^0 = 1\). O zero só resulta em zero se a própria base for zero (\(0^n = 0\) para \(n > 0\)), e a expressão \(0^0\) não é definida.
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Subtrair os expoentes na ordem errada: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Do expoente do dividendo subtraímos o expoente do divisor, e não o contrário: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). A ordem aqui é tão importante quanto na subtração comum.
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Pensar que o expoente negativo torna o número negativo: $2^{-2} = -4$.
O expoente negativo indica uma fração, não um sinal de menos: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). O resultado permanece positivo.
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Perder o sinal de uma base negativa: escrever $(-4)^2 = -16$.
Com expoente par, o sinal de menos "desaparece": \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Já a notação sem parênteses significa outra coisa: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Os parênteses definem tudo.
Perguntas e respostas sobre propriedades das potências
Os expoentes são somados ou multiplicados na multiplicação?
Na multiplicação de potências de mesma base, somamos os expoentes, e a base permanece a mesma: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Por exemplo, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Os expoentes são multiplicados em outro caso — quando elevamos uma potência a outra potência: \((a^m)^n = a^{mn}\).
Na divisão, os expoentes são somados ou subtraídos?
Subtraídos: do expoente do dividendo subtraímos o expoente do divisor, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) para \(a \neq 0\). Por exemplo, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Quanto é um número elevado a zero?
Um, se a base não for zero: \(a^0 = 1\). Isso decorre da regra de divisão — o quociente \(a^n : a^n\) é igual a \(a^0\) e a um simultaneamente. A expressão \(0^0\) não é definida no currículo escolar.
Como eliminar um expoente negativo?
Inverta a expressão para uma fração: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Por exemplo, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Se a base já for uma fração, ela simplesmente é invertida e o expoente torna-se positivo.
O que é a base e o expoente de uma potência?
Na notação \(a^n\), o número \(a\) é a base da potência, ou seja, o fator que se repete; \(n\) é o expoente, que indica quantos desses fatores existem. Na notação \(5^4\), a base é 5, o expoente é 4 e o valor é 625.
É possível multiplicar potências com bases diferentes?
É possível reduzir a uma única potência se os expoentes forem iguais: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Por exemplo, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Se tanto as bases quanto os expoentes forem diferentes, a expressão é primeiro reduzida a uma base comum (quando possível), caso contrário, permanece como está.
Quantas propriedades das potências existem ao todo?
Existem oito principais: produto e quociente de potências de mesma base, potência de potência, potência de produto, potência de quociente, expoente zero, expoente negativo e expoente fracionário. Em diferentes livros didáticos, elas são agrupadas de formas variadas, por isso existem formulações como "cinco propriedades" ou "dez propriedades", mas o conteúdo é o mesmo — todo o resumo está na tabela acima.
O que significa um expoente fracionário?
Raiz. O denominador da fração é o índice da raiz, o numerador é a potência do radicando: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Por exemplo, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Para um denominador par, a base deve ser não negativa.
Em que ano se estudam as propriedades das potências?
A potência com expoente natural e suas propriedades básicas são estudadas no 7º ano do ensino fundamental, a potência com expoente inteiro negativo no 8º ano, e a potência com expoente racional (fracionário) e raízes no 9º ao 11º ano. Essas mesmas propriedades são necessárias em exames de admissão e vestibulares para a simplificação de expressões.
