Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a \neq 0\). Jumlah akarnya ditentukan oleh diskriminan \(D = b^2 - 4ac\), dan akar-akarnya sendiri ditemukan dengan rumus \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Halaman ini mengumpulkan semua tentang topik ini: bentuk standar dan koefisien, tiga jenis persamaan tidak lengkap, diskriminan dan tiga kasus, rumus akar dan varian 'genap'-nya, persamaan reduksi dan teorema Vieta, faktorisasi, dan persamaan bikudrat — dengan contoh langkah demi langkah, analisis kesalahan umum, dan pelatih interaktif.
Apa itu Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk
di mana \(x\) adalah variabel tak dikenal, dan \(a\), \(b\), \(c\) adalah angka (koefisien), dengan \(a \neq 0\). Penulisan seperti ini disebut bentuk standar persamaan kuadrat: suku-suku di sebelah kiri diurutkan berdasarkan penurunan pangkat, dan di sebelah kanan adalah nol.
Syarat \(a \neq 0\) bukanlah formalitas. Suku \(ax^2\) inilah yang membuat persamaan menjadi kuadrat: jika \(a = 0\), tersisa \(bx + c = 0\), yaitu persamaan linear biasa dengan satu akar. Oleh karena itu, dalam soal dengan parameter, hal pertama yang diperiksa adalah apakah koefisien tertinggi tidak menjadi nol.
Persamaan hampir selalu dapat dibawa ke bentuk standar: buka kurung, pindahkan semua suku ke sisi kiri, dan sederhanakan suku-suku sejenis. Misalnya, \(5x^2 = 3x - 2\) setelah dipindahkan menjadi \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), dari mana \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Istilah 'persamaan kuadrat' berarti hal yang sama persis — ini hanyalah varian nama lain.
Persamaan Kuadrat Lengkap dan Tidak Lengkap
Jika ketiga koefisien tidak sama dengan nol, persamaan disebut lengkap. Jika \(b\) atau \(c\) (atau keduanya) sama dengan nol — tidak lengkap. Ada tepat tiga jenis persamaan tidak lengkap, dan tidak satu pun di antaranya memerlukan diskriminan: masing-masing diselesaikan dalam satu atau dua baris, dan ini adalah cara tercepat untuk menghemat waktu saat ujian.
Ide kunci untuk \(ax^2 + bx = 0\) — mengeluarkan faktor persekutuan. Hasil kali \(x(ax + b)\) sama dengan nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dari sini langsung didapat dua akar. Untuk \(ax^2 + c = 0\) idenya berbeda: nyatakan \(x^2\) dan lihat tanda bilangan yang dihasilkan — kuadrat bilangan riil tidak bisa negatif.
| Bentuk Persamaan | Cara Menyelesaikan |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Pindahkan c ke kanan dan bagi dengan a: x2 = −c/a. Akarkan, jangan lupa tanda kedua.x = 5 dan x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Faktorkan x: x(ax + b) = 0. Hasil kali bernilai nol jika salah satu faktornya nol.x = 0 dan x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Bagi dengan a dan akarkan nol. Akarnya selalu tepat satu.x = 0 |
Diskriminan: Cara Menghitung dan Berapa Banyak Akarnya
Diskriminan adalah angka yang dihitung dari koefisien persamaan lengkap:
Kata itu sendiri berarti 'pembeda': diskriminan tidak menyelesaikan apa pun, ia hanya membedakan tiga situasi — dua akar, satu akar, atau tidak ada akar sama sekali. Oleh karena itu, pertanyaan 'berapa banyak akar persamaan' diselesaikan tanpa mencari akarnya.
Hitung \(D\) dengan hati-hati: \(b^2\) selalu positif, bahkan jika \(b\) itu sendiri negatif, dan tanda \(a\) dan \(c\) masuk ke dalam perkalian \(4ac\) apa adanya. Ambil \(x^2 + 4x - 5 = 0\): di sini \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), sehingga \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminan positif, dan akan ada dua akar.
Rumus Akar Persamaan Kuadrat
Ketika \(D \ge 0\), akar ditemukan menggunakan rumus utama topik ini:
Tanda \(\pm\) berarti dua perhitungan: sekali dengan penjumlahan, sekali lagi dengan pengurangan. Ketika \(D = 0\), kedua perhitungan memberikan angka yang sama \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — akar ini disebut akar ganda.
Dua tempat di mana kesalahan paling sering terjadi: di pembilang ada minus \(b\) (untuk \(b = -7\) ini adalah \(+7\)), dan di penyebut adalah \(2a\), bukan hanya \(2\). Ketika \(a = 1\) perbedaannya tidak terlihat, sehingga kesalahan muncul justru di mana koefisien tertinggi berbeda dari satu.
Mari selesaikan \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), sehingga \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) dan \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Koefisien Kedua Genap: Rumus dengan D₁
Jika \(b\) adalah bilangan genap, lebih baik menuliskannya sebagai \(b = 2k\) dan menghitung diskriminan 'yang dikurangi':
Angka-angka dalam perhitungan menjadi empat kali lebih kecil (\(D = 4D_1\)), dan tanda \(D_1\) sama dengan tanda \(D\) — ini berarti kesimpulan tentang jumlah akar tidak berubah.
Contoh: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Di sini \(b = 8\), yang berarti \(k = 4\), dan \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Maka \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) dan \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Dengan rumus biasa, kita harus bekerja dengan \(D = 100\) — hasilnya sama, tetapi aritmatikanya lebih banyak.
Persamaan Reduksi dan Teorema Vieta
Persamaan dengan \(a = 1\) disebut reduksi dan ditulis sebagai \(x^2 + px + q = 0\). Setiap persamaan kuadrat dapat dibawa ke bentuk ini dengan membagi dengan \(a\): misalnya, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) setelah dibagi 4 menjadi \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Bentuk reduksi berharga karena teorema Vieta berlaku untuknya: jumlah akar sama dengan \(-p\), dan hasil kalinya sama dengan \(q\). Untuk \(x^2 - 7x + 10 = 0\), kita memerlukan dua angka dengan jumlah 7 dan hasil kali 10 — yaitu 2 dan 5, dan diskriminan tidak perlu dihitung.
Pencocokan dengan Vieta berguna ketika akarnya adalah bilangan bulat dan kecil, dan juga secara gratis memeriksa jawaban yang ditemukan melalui diskriminan: jumlahnya harus sama dengan \(-p\), hasil kalinya — \(q\). Rumus untuk bentuk umum, teorema terbalik, dan algoritma pencocokan dibahas dalam materi terpisah — Teorema Vieta.
Faktorisasi Trinomial Kuadrat
Jika akar \(x_1\) dan \(x_2\) ditemukan, trinomial kuadrat dapat difaktorkan menjadi:
Faktor \(a\) tidak boleh dilupakan — tanpanya kesetaraan tidak akan benar. Memeriksa faktorisasi selalu mudah: buka kurung dan bandingkan dengan trinomial asli. Misalnya, akar dari \(x^2 + 2x - 8\) adalah 2 dan \(-4\), sehingga \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Cara sebaliknya juga berlaku: jika trinomial berhasil difaktorkan secara lisan, akarnya langsung terlihat dan diskriminan tidak diperlukan. Di sini rumus perkalian singkat membantu — misalnya, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) memberikan akar 4 dan \(-4\) secara instan.
Cara ketiga untuk menghindari rumus akar adalah melengkapi kuadrat sempurna. Dalam \(x^2 + 6x + 5 = 0\), dua suku pertama dilengkapi menjadi kuadrat jumlah: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), yaitu \((x + 3)^2 = 4\), dari mana \(x + 3 = \pm 2\) dan \(x = -1\) atau \(x = -5\). Justru dengan metode inilah rumus akar diturunkan dalam bentuk umum.
Persamaan yang Dapat Direduksi Menjadi Persamaan Kuadrat: Persamaan Bikudrat
Persamaan bikudrat berbentuk \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): pangkatnya hanya genap. Persamaan ini diselesaikan dengan substitusi \(t = x^2\), dengan syarat \(t \ge 0\) — kuadrat bilangan riil tidak bisa negatif.
Setelah substitusi, diperoleh persamaan kuadrat biasa \(at^2 + bt + c = 0\). Persamaan ini diselesaikan dengan diskriminan, dan kemudian untuk setiap akar \(t\) yang tidak negatif, kembali ke \(x = \pm\sqrt{t}\). Dari sinilah jumlah akar: hingga empat.
Misalnya, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) setelah substitusi menghasilkan \(t^2 - 5t + 4 = 0\) dengan akar \(t = 1\) dan \(t = 4\). Keduanya positif, sehingga \(x = \pm 1\) dan \(x = \pm 2\) — total empat akar. Jika salah satu \(t\) negatif, ia akan dibuang begitu saja.
Dengan metode yang sama, persamaan rasional pecahan diselesaikan (setelah dibawa ke penyebut bersama dan nilai yang dilarang dibuang) dan persamaan dengan substitusi berbentuk \(t = x^2 + 3x\).
Contoh Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Contoh 1. Persamaan Lengkap, D > 0
Selesaikan \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Langkah 1. Persamaan sudah dalam bentuk standar: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Langkah 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — ada dua akar.
Langkah 3. \(\sqrt{D} = 5\), sehingga \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Langkah 4. Pemeriksaan dengan substitusi. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Contoh 2. Diskriminan Sama Dengan Nol
Selesaikan \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Langkah 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Langkah 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — akarnya satu.
Langkah 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Langkah 4. Pemeriksaan. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Jawaban: \(x = 1{,}5\). Perhatikan: sisi kiri adalah kuadrat sempurna \((2x - 3)^2\), itulah sebabnya akarnya hanya satu.
Contoh 3. Diskriminan Negatif
Selesaikan \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Langkah 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Langkah 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Langkah 3. Diskriminan negatif, berarti \(\sqrt{D}\) tidak dapat diakarkan di antara bilangan riil. Rumus akar tidak perlu digunakan — penyelesaian selesai di sini.
Jawaban: tidak ada akar riil. Ini adalah jawaban yang lengkap, bukan tanda kesalahan: grafik fungsi \(y = 2x^2 + 3x + 5\) tidak memotong sumbu x.
Contoh 4. Persamaan Tidak Lengkap Jenis ax² + c = 0
Selesaikan \(3x^2 - 27 = 0\).
Langkah 1. Pindahkan konstanta: \(3x^2 = 27\).
Langkah 2. Bagi dengan 3: \(x^2 = 9\).
Langkah 3. Kuadrat dari dua bilangan adalah 9: \(x = 3\) dan \(x = -3\). Tanda kedua paling sering hilang.
Langkah 4. Pemeriksaan. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Bandingkan dengan persamaan \(2x^2 + 8 = 0\): di sana \(x^2 = -4\), dan tidak ada akar riil.
Contoh 5. Persamaan Tidak Lengkap Jenis ax² + bx = 0
Selesaikan \(5x^2 - 15x = 0\).
Langkah 1. Keluarkan faktor persekutuan: \(5x(x - 3) = 0\).
Langkah 2. Hasil kali sama dengan nol jika salah satu faktornya nol: \(5x = 0\) atau \(x - 3 = 0\).
Langkah 3. Dari sini \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Langkah 4. Pemeriksaan. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Jika persamaan asli dibagi dengan \(x\), hanya tersisa \(x = 3\) — akar \(x = 0\) akan hilang. Membagi dengan ekspresi yang mengandung variabel tidak diizinkan.
Contoh 6. Koefisien Kedua Genap
Selesaikan \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Langkah 1. \(b = -22\) adalah genap, jadi \(k = -11\), dan \(a = 5\), \(c = 8\).
Langkah 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Langkah 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Langkah 4. Pemeriksaan. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Diskriminan biasa akan menghasilkan \(D = 324\) — hasil yang sama, tetapi perhitungannya lebih lama.
Contoh 7. Bawa Dulu ke Bentuk Standar
Selesaikan \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Langkah 1. Buka kurung: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), yaitu \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Langkah 2. Pindahkan 9 ke kiri: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Baru sekarang kita bisa menulis koefisiennya: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Langkah 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Langkah 4. Pemeriksaan pada persamaan asli. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Jawaban: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Kesalahan umum di sini adalah menyamakan setiap kurung dengan 9: aturan 'hasil kali sama dengan nol' hanya berlaku untuk nol.
Contoh 8. Faktorisasi Trinomial
Faktorkan \(2x^2 - 5x - 3\) menjadi faktor.
Langkah 1. Samakan trinomial dengan nol dan cari akarnya: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Langkah 2. Substitusikan ke dalam rumus \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Langkah 3. Angka 2 lebih baik dimasukkan ke dalam kurung kedua: \((x - 3)(2x + 1)\).
Langkah 4. Pemeriksaan dengan membuka kurung. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Jawaban: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Contoh 9. Persamaan Bikudrat
Selesaikan \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Langkah 1. Substitusi \(t = x^2\), di mana \(t \ge 0\). Persamaan menjadi \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Langkah 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Langkah 3. Kedua nilai tidak negatif, jadi kembali ke \(x\): dari \(x^2 = 9\) didapat \(x = \pm 3\), dari \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Langkah 4. Pemeriksaan. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Untuk nilai negatif, pangkat genap menghasilkan angka yang sama.
Jawaban: \(x = \pm 2\) dan \(x = \pm 3\) — empat akar.
Kesalahan Umum dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
-
Menghitung diskriminan tanpa membawa persamaan ke bentuk standar: untuk $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ langsung diambil $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Pertama, pindahkan semuanya ke kiri dan sederhanakan suku sejenis: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), yaitu \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Baru dari sini \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Rumus akar hanya bekerja dengan bentuk standar.
-
Kehilangan tanda saat mengkuadratkan $b$: untuk $x^2 - 9x + 14 = 0$ ditulis $D = -81 - 56$.
Kuadrat bilangan apa pun tidak negatif: \((-9)^2 = 81\), bukan \(-81\). Benar \(D = 81 - 56 = 25\), akar \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), yaitu 7 dan 2. Pemeriksaan: \(49 - 63 + 14 = 0\) dan \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Di pembilang meninggalkan $b$ alih-alih $-b$: untuk $x^2 + 5x - 6 = 0$ dihitung $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Dalam rumus ada \(-b\), jadi ketika \(b = 5\) di pembilang akan ada \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), dari mana \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Substitusi mengonfirmasi: \(1 + 5 - 6 = 0\) dan \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Pada $D = 0$ ditulis 'tidak ada akar': untuk $x^2 + 14x + 49 = 0$ diskriminannya nol, dan penyelesaiannya dihentikan.
Tidak ada akar hanya jika \(D < 0\). Jika \(D = 0\), akarnya tepat satu: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Pemeriksaan: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Menyederhanakan persamaan $4x^2 - 9x = 0$ dengan $x$ dan mendapatkan satu-satunya akar $x = 2{,}25$.
Membagi dengan ekspresi yang mengandung variabel tidak diizinkan: \(x\) bisa nol, dan akar \(x = 0\) akan hilang. Benar untuk mengeluarkan faktor: \(x(4x - 9) = 0\), dari mana \(x_1 = 0\) dan \(x_2 = 2{,}25\). Pemeriksaan: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Pada persamaan $x^2 = 16$ hanya ditulis $x = 4$.
Kuadrat dari 16 juga dimiliki oleh bilangan \(-4\). Harus ditulis kedua akar: \(x = \pm 4\). Lebih aman menyelesaikannya melalui bentuk standar \(x^2 - 16 = 0\), yaitu \((x - 4)(x + 4) = 0\) — maka kedua faktor langsung terlihat.
-
Tidak memeriksa syarat $a \neq 0$ dalam persamaan dengan parameter: dalam $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ langsung menghitung diskriminan.
Jika \(m = 2\), koefisien tertinggi menjadi nol, dan persamaan menjadi linear \(3x - 1 = 0\) dengan satu-satunya akar \(x = \dfrac{1}{3}\). Kasus \(m = 2\) dibahas secara terpisah, dan rumus akar hanya diterapkan jika \(m \neq 2\).
Pertanyaan dan Jawaban
Apa itu persamaan kuadrat?
Ini adalah persamaan berbentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), \(c\) adalah angka dan \(a \neq 0\). Variabel tak dikenal muncul dalam pangkat dua, sehingga bisa ada dua, satu, atau tidak ada akar.
Bagaimana bentuk standar persamaan kuadrat?
Bentuk standar (umum) adalah \(ax^2 + bx + c = 0\): semua suku dikumpulkan di sisi kiri berdasarkan penurunan pangkat, di sisi kanan adalah nol. Setiap persamaan kuadrat dibawa ke bentuk ini sebelum menghitung diskriminan.
Bagaimana cara mencari diskriminan?
Menggunakan rumus \(D = b^2 - 4ac\), dengan mensubstitusikan koefisien beserta tandanya. Misalnya, untuk \(x^2 + 3x - 10 = 0\) kita dapatkan \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), dan akarnya adalah \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), yaitu 2 dan \(-5\).
Apa rumus akar persamaan kuadrat?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), atau lebih singkat \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Rumus ini diterapkan jika \(D \ge 0\); di penyebutnya adalah \(2a\), bukan 2.
Berapa banyak akar yang bisa dimiliki persamaan kuadrat?
Tidak lebih dari dua. Jika \(D > 0\) ada dua akar, jika \(D = 0\) — satu akar (ganda), jika \(D < 0\) tidak ada akar riil.
Apa itu persamaan kuadrat tidak lengkap?
Ini adalah persamaan di mana \(b = 0\), \(c = 0\), atau keduanya sekaligus: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Ketiganya diselesaikan tanpa diskriminan — dengan memindahkan suku atau mengeluarkan \(x\) dari kurung.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat tanpa diskriminan?
Ada tiga cara: mencocokkan akar menggunakan teorema Vieta untuk persamaan reduksi, faktorisasi, dan melengkapi kuadrat sempurna. Cara tercepat adalah mencocokkan, ketika akarnya adalah bilangan bulat kecil.
Apa yang harus dilakukan jika diskriminan negatif?
Tulis bahwa tidak ada akar riil, dan selesaikan. Diskriminan negatif adalah jawaban yang normal: grafik parabola yang sesuai tidak memotong sumbu x. Akar dalam kasus seperti itu hanya ada di antara bilangan kompleks, yang dipelajari nanti.
Bagaimana cara memeriksa akar yang ditemukan?
Substitusikan setiap akar ke dalam persamaan asli — seharusnya menghasilkan kesetaraan yang benar. Untuk persamaan reduksi, ada juga pemeriksaan cepat menggunakan teorema Vieta: jumlah akar sama dengan \(-p\), hasil kalinya sama dengan \(q\).
Apakah persamaan kuadrat dan persamaan kuadratik sama?
Ya, ini adalah dua nama untuk objek yang sama \(ax^2 + bx + c = 0\). Jangan bingung dengan fungsi kuadrat \(y = ax^2 + bx + c\): akar persamaan adalah absis titik di mana grafik fungsi memotong sumbu x.
Kelas berapa persamaan kuadrat dipelajari?
Di kelas 8 pada pelajaran aljabar: pertama persamaan tidak lengkap, kemudian diskriminan, rumus akar, dan teorema Vieta. Selanjutnya topik ini muncul dalam fungsi kuadrat, pertidaksamaan, soal-soal OGE dan ЕГЭ.
