Proporsi adalah kesamaan dua rasio, misalnya \(2:3 = 8:12\). Untuk menyelesaikan proporsi, Anda hanya memerlukan satu alat — sifat dasar proporsi: hasil kali suku-suku terluar sama dengan hasil kali suku-suku tengah. Di sekolah, ini disebut aturan "kali silang". Di bawah ini adalah apa itu rasio dan proporsi, cara mencari suku yang tidak diketahui, bagaimana proporsionalitas langsung berbeda dari yang terbalik, analisis soal tentang resep, skala, dan harga, serta cara menghitung persentase dan simulator dengan 10 soal.
Apa itu Rasio dan Proporsi
Rasio dua bilangan adalah hasil baginya. Rasio \(2:3\) (dibaca "dua banding tiga") menunjukkan berapa kali satu bilangan lebih besar dari yang lain atau berapa bagian yang satu merupakan dari yang lain. Anda dapat menuliskannya dalam dua cara: \(2:3\) atau pecahan \(\frac{2}{3}\) — keduanya sama.
Proporsi adalah kesamaan dua rasio:
Dalam proporsi ada empat bilangan, dan mereka memiliki nama. Bilangan di ujung penulisan adalah suku terluar, bilangan di tengah adalah suku tengah. Proporsi benar jika kedua rasio sama dengan bilangan yang sama.
Sifat Dasar Proporsi: Aturan "Kali Silang"
Sifat Dasar Proporsi: hasil kali suku-suku terluar sama dengan hasil kali suku-suku tengah.
Mengapa demikian? Kalikan kedua sisi kesamaan \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) dengan \(b \cdot d\). Di sisi kiri, \(b\) akan saling meniadakan, di sisi kanan, \(d\) akan saling meniadakan, dan yang tersisa hanyalah \(a \cdot d = c \cdot b\). Tidak ada sihir — hanya sifat kesamaan biasa.
Inilah yang disebut siswa sebagai "menyelesaikan proporsi secara silang": bilangan dikalikan secara diagonal, kali silang. Sifat ini juga berlaku sebaliknya: jika untuk empat bilangan (tidak ada yang nol) berlaku \(a \cdot d = b \cdot c\), maka keempat bilangan tersebut dapat membentuk proporsi yang benar.
Dari sini muncul dua kemampuan: memeriksa apakah proporsi itu benar, dan mencari bilangan yang tidak diketahui di dalamnya.
Cara Mencari Suku Proporsi yang Tidak Diketahui
Dari sifat dasar, diperoleh dua aturan singkat:
- suku terluar yang tidak diketahui = hasil kali suku tengah : suku terluar yang diketahui;
- suku tengah yang tidak diketahui = hasil kali suku terluar : suku tengah yang diketahui.
Tidak perlu menghafalnya. Cukup satu trik universal: kalikan silang, dapatkan kesamaan berbentuk "bilangan \(\cdot\, x\) = bilangan" dan bagi. Mari kita bahas langkah demi langkah dengan proporsi \(x : 7 = 12 : 21\).
Langkah terakhir — pemeriksaan — hanya memakan waktu lima detik dan menangkap hampir setiap kesalahan aritmatika, jadi jangan dilewatkan.
Proporsionalitas Langsung dan Terbalik
Dua besaran disebut berbanding lurus jika ketika salah satunya meningkat beberapa kali, yang lain juga meningkat beberapa kali. Membeli dua kali lebih banyak buku berarti membayar dua kali lebih banyak. Rasio mereka konstan.
Besaran berbanding terbalik jika ketika salah satunya meningkat beberapa kali, yang lain berkurang beberapa kali. Dua kali lebih banyak pekerja berarti dua kali lebih sedikit hari untuk pekerjaan yang sama. Hasil kali mereka konstan.
Perbedaan utama terlihat saat kita menulis proporsi. Untuk ketergantungan langsung, proporsi disusun "apa adanya": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Untuk ketergantungan terbalik, rasio kedua dibalik: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Mengapa? Untuk ketergantungan terbalik, hasil kali konstan: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Bagi kedua sisi dengan \(a_2 \cdot b_1\) — dan Anda akan mendapatkan \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Jadi, "membalik" bukanlah mantra yang harus diingat, melainkan konsekuensi dari fakta bahwa hasil kali tetap konstan, bukan rasionya.
| Tanda | Langsung | Terbalik |
|---|---|---|
| Hubungan | lebih banyak → lebih banyak | lebih banyak → lebih sedikit |
| Konstan | rasio a : b | hasil kali a × b |
| Penulisan | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Contoh | 3 pulpen — 90 ₽, 5 pulpen — 150 ₽ | 4 tukang cat — 9 hari, 6 tukang cat — 6 hari |
Cara Menyusun Proporsi untuk Soal: Resep, Skala, Harga
Soal cerita "tentang proporsi" diselesaikan dengan satu skenario:
- Tulis kondisi dalam dua kolom sehingga besaran yang sama berada di bawah satu sama lain (porsi di bawah porsi, gram di bawah gram).
- Beri label yang dicari dengan \(x\).
- Tentukan jenis ketergantungan: secara mental tingkatkan besaran pertama dan lihat apakah yang kedua meningkat atau menurun.
- Susun proporsi — untuk ketergantungan terbalik, balikkan rasio kedua.
- Selesaikan secara silang dan periksa apakah jawabannya masuk akal.
Mari kita tunjukkan dengan resep. Untuk 4 porsi pancake dibutuhkan 300 g tepung — berapa gram tepung untuk 6 porsi? Porsinya lebih banyak, jadi tepungnya juga lebih banyak: ketergantungan langsung, proporsi disusun "apa adanya":
Untuk 6 porsi dibutuhkan 450 g tepung. Jawabannya masuk akal: porsinya bertambah 1,5 kali lipat, dan tepung yang dibutuhkan juga bertambah 1,5 kali lipat.
Soal tentang skala (jarak di peta berbanding jarak di medan seperti 1 banding angka skala) dan harga (jumlah barang berbanding jumlah barang seperti harga banding harga) diselesaikan dengan cara yang sama. Pembahasan lengkap ada di contoh-contoh di bawah.
Persentase Melalui Proporsi
Persentase adalah seperseratus bagian dari suatu bilangan, oleh karena itu setiap soal sederhana tentang persentase dapat diubah menjadi proporsi:
Di sini, salah satu dari empat bilangan tidak diketahui — itulah yang kita cari dengan cara silang.
Mencari bagian. Berapa 15% dari 240? Susun \(x : 240 = 15 : 100\), sehingga \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) dan \(x = 36\).
Mencari keseluruhan. Bilangan 21 merupakan 35% dari suatu bilangan. Susun \(21 : x = 35 : 100\), sehingga \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) dan \(x = 60\).
Mencari persentase. Berapa persen 18 dari 45? Susun \(18 : 45 = p : 100\), sehingga \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) dan \(p = 40\), yaitu 40%.
Satu trik — tiga jenis soal berbeda, tidak perlu menghafal tambahan apa pun. Yang terpisah hanya pertanyaan "berapa persen kenaikan atau penurunan suatu besaran": di sini, pertama-tama kita mencari perubahannya, lalu membaginya dengan nilai awal — ini sudah merupakan rumus perubahan persentase, bukan proporsi sederhana.
Contoh Penyelesaian Proporsi dengan Pembahasan Langkah demi Langkah
Contoh 1. Suku Tengah yang Tidak Diketahui
Soal. Cari suku proporsi yang tidak diketahui \(15 : x = 45 : 24\).
Langkah 1. Kita tentukan mana suku terluar dan mana suku tengah. Suku terluar adalah 15 dan 24, suku tengah adalah \(x\) dan 45.
Langkah 2. Terapkan sifat dasar: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), yaitu \(360 = 45x\).
Langkah 3. Bagi: \(x = 360 : 45 = 8\).
Pemeriksaan. \(15 : 8 = 1{,}875\) dan \(45 : 24 = 1{,}875\) — rasio sama.
Jawaban: \(x = 8\).
Contoh 2. Proporsionalitas Langsung: Harga dan Jumlah
Soal. Enam buku tulis berharga 210 ₽. Berapa harga 10 buku tulis yang sama?
Langkah 1. Jumlah buku lebih banyak — harga juga lebih banyak, jadi ketergantungan langsung.
Langkah 2. Tulis kondisi sehingga besaran yang sama berada berdekatan, dan susun proporsi "apa adanya":
Langkah 3. Kali silang: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), jadi \(x = 2100 : 6 = 350\).
Pemeriksaan. Satu buku tulis berharga \(210 : 6 = 35\) ₽, dan sepuluh buku tulis berharga \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Cocok.
Jawaban: 350 ₽.
Contoh 3. Proporsionalitas Terbalik: Pekerja dan Hari
Soal. Delapan pekerja menyelesaikan pesanan dalam 15 hari. Berapa hari yang dibutuhkan oleh 12 pekerja untuk menyelesaikan pesanan yang sama, jika mereka bekerja dengan kecepatan yang sama?
Langkah 1. Jumlah pekerja lebih banyak — waktu yang dibutuhkan lebih sedikit. Ketergantungan terbalik.
Langkah 2. Susun proporsi dengan membalikkan rasio kedua:
Di sini \(x\) adalah hari untuk 12 pekerja, dan 15 adalah hari untuk 8 pekerja: mereka bertukar tempat karena ketergantungan terbalik.
Langkah 3. Kali silang: \(8 \cdot 15 = 12x\), yaitu \(120 = 12x\) dan \(x = 10\).
Pemeriksaan. Hasil kali konstan: \(8 \cdot 15 = 120\) dan \(12 \cdot 10 = 120\). Cocok, dan jawabannya masuk akal — waktu yang dibutuhkan lebih sedikit.
Jawaban: 10 hari.
Contoh 4. Skala Peta
Soal. Skala peta adalah \(1 : 200.000\). Jarak antara dua desa di peta adalah 7 cm. Berapa jarak antara keduanya di medan?
Langkah 1. Skala \(1 : 200.000\) berarti: 1 cm di peta sesuai dengan 200.000 cm di medan. Ini adalah rasio yang siap digunakan.
Langkah 2. Susun proporsi:
Langkah 3. Kali silang: \(1 \cdot x = 200.000 \cdot 7\), yaitu \(x = 1.400.000\) cm.
Langkah 4. Ubah ke satuan yang nyaman: satu kilometer ada 100.000 cm, jadi \(1.400.000 : 100.000 = 14\) km.
Jawaban: 14 km.
Contoh 5. Persentase Melalui Proporsi
Soal. Di kelas ada 25 siswa, 60% di antaranya pergi berkemah. Berapa orang yang pergi berkemah?
Langkah 1. Keseluruhan adalah 25 siswa, yang sesuai dengan 100%. Bagian yang dicari adalah \(x\) orang, yang sesuai dengan 60%.
Langkah 2. Susun proporsi "bagian : keseluruhan = persentase : 100":
Langkah 3. Kali silang: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), jadi \(x = 15\).
Pemeriksaan. 15 orang dari 25 adalah \(15 : 25 = 0{,}6\), yaitu tepat 60%.
Jawaban: 15 orang.
Kesalahan Umum dalam Menyelesaikan Proporsi
-
Mengalikan bilangan "segaris", bukan "silang": dalam proporsi 5 : 2 = 20 : 8, mereka menghitung 5 · 2 dan 20 · 8.
Sifat dasar menghubungkan suku terluar dengan suku tengah, yaitu bilangan secara diagonal: 5 · 8 = 40 dan 2 · 20 = 40. Hasil kali sama — proporsi benar. Sedangkan 5 · 2 dan 20 · 8 tidak sama dan tidak memberitahu apa-apa.
-
Dalam soal ketergantungan terbalik, mereka menyusun proporsi "langsung". Enam pompa mengisi kolam renang dalam 10 jam; penulisan 6 : 15 = 10 : x menghasilkan 25 jam untuk 15 pompa.
Lebih banyak pompa — lebih sedikit waktu yang dibutuhkan, tetapi hasilnya lebih banyak: berarti proporsi tidak disusun dengan benar. Rasio kedua harus dibalik: 6 : 15 = x : 10, maka 15x = 60 dan x = 4 jam. Selalu periksa jawaban dengan akal sehat.
-
Setelah "kali silang", mereka membagi sebaliknya: dari kesamaan 8x = 96 mereka mendapatkan x = 8 : 96.
Untuk mencari x, hasil kali dibagi dengan koefisien yang berada di samping x: x = 96 : 8 = 12. Kebiasaan yang berguna adalah memasukkan kembali bilangan yang ditemukan: 8 · 12 = 96, semuanya benar.
-
Tidak menyelaraskan satuan pengukuran. Dalam soal skala 1 : 50.000 dengan 3 cm di peta, mereka menulis jawaban "1,5" tanpa satuan atau menyebutnya meter.
Pertama, kita hitung dalam satuan yang sama dengan skala: 3 · 50.000 = 150.000 cm. Dan baru kemudian kita ubah: 150.000 cm = 1500 m = 1,5 km. Satuan dalam jawaban sama pentingnya dengan bilangannya sendiri.
-
Mencampuradukkan rasio dan proporsi: ketika diminta menyusun proporsi, mereka menulis satu rasio "12 : 4".
Rasio adalah satu hasil bagi, misalnya 12 : 4. Proporsi adalah kesamaan dua rasio, di dalamnya ada empat bilangan dan tanda sama dengan: 12 : 4 = 30 : 10 (kita periksa: 12 · 10 = 120 dan 4 · 30 = 120).
Pertanyaan dan Jawaban
Apa perbedaan rasio dan proporsi?
Rasio adalah hasil bagi dua bilangan, misalnya 12 : 4. Proporsi adalah kesamaan dua rasio, di dalamnya ada empat bilangan: 12 : 4 = 30 : 10. Rasio menjawab pertanyaan "berapa kali", sedangkan proporsi menyatakan bahwa dua perbandingan semacam itu memberikan hasil yang sama.
Apa itu suku terluar dan suku tengah proporsi?
Dalam penulisan a : b = c : d, suku terluar adalah yang berada di ujung, yaitu a dan d. Suku tengah adalah yang berada di tengah, yaitu b dan c. Jika proporsi ditulis dalam bentuk pecahan, suku terluar adalah pembilang pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua, sedangkan suku tengah adalah penyebut pecahan pertama dan pembilang pecahan kedua.
Bagaimana cara memeriksa apakah proporsi itu benar?
Kalikan secara silang dan bandingkan hasil kalinya. Misalnya, untuk 9 : 12 = 15 : 20, kita hitung 9 · 20 = 180 dan 12 · 15 = 180 — bilangannya sama, jadi proporsi itu benar. Jika hasil kalinya berbeda, proporsi itu salah.
Bisakah suku-suku proporsi ditukar tempat?
Ya, jika dilakukan sesuai aturan. Dalam proporsi yang benar, Anda dapat menukar suku terluar, Anda dapat menukar suku tengah, atau Anda dapat membalikkan kedua sisi sekaligus — proporsi akan tetap benar. Dari 4 : 6 = 10 : 15 kita mendapatkan 4 : 10 = 6 : 15 atau 6 : 4 = 15 : 10 — hasil kali diagonalnya di mana-mana adalah 60. Tetapi menukar hanya satu bilangan tidak diperbolehkan.
Apa artinya "menyelesaikan proporsi secara silang"?
Ini adalah sebutan umum untuk sifat dasar proporsi. Bilangan dikalikan secara diagonal, kali silang: suku terluar dengan suku terluar dan suku tengah dengan suku tengah. Ini menghasilkan persamaan dengan satu variabel yang tidak diketahui, yang diselesaikan dengan satu pembagian. Tidak ada "metode silang" terpisah selain sifat dasar.
Bagaimana cara mengetahui apakah ketergantungan dalam soal itu langsung atau terbalik?
Secara mental, tingkatkan besaran pertama 2 kali lipat dan lihat yang kedua. Jika yang kedua juga meningkat 2 kali lipat — ketergantungan itu langsung, proporsi disusun "apa adanya". Jika berkurang 2 kali lipat — ketergantungan itu terbalik, rasio kedua perlu dibalik. Tanda lain: untuk ketergantungan langsung, rasio besaran konstan, untuk ketergantungan terbalik, hasil kali mereka konstan.
Bagaimana cara menyelesaikan soal persentase melalui proporsi?
Susun proporsi "bagian : keseluruhan = persentase : 100" dan cari yang tidak diketahui dengan cara silang. Misalnya, 12% dari 350: kita mendapatkan x : 350 = 12 : 100, sehingga 100x = 4200 dan x = 42. Dengan cara yang sama, kita mencari keseluruhan dari bagian yang diketahui, dan persentasenya sendiri.
